高中数学北师大版选修1-1课件：第二章 1.1 椭圆及其标准方程

②
由①－②得到|PF1||PF2|＝4.
故△F1PF2 的面积为 S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin60°＝ 3.
[答案] B
题目类型三、椭圆定义的应用
例 3 已知 B、C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长 等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．
[分析] 由△ABC 的周长等于 18，|BC|＝8，可知点 A 到 B、 C 两个定点的距离之和是 10，所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦 点的椭圆，但点 A 与点 B、C 不能在同一直线上．适当建立平 面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
牛刀小试
1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是 ____________． (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[解析] (1)因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|， 由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆． (2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2. [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 线段F1F2
∵椭圆过 A(0,2)，B12，

3.

∴m401m＋＋4n＝3n＝11
，解得nm＝＝41 ，
即所求椭圆方程为 x2＋y42＝1. [答案] (1)x2＋y42＝1 (2)1x02 ＋＝1
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所求椭 圆方程为xm2＋m＋y2 5＝1(m>0)，
[解析] 本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的 形式，由 mn>0，若 m＝n，则方程 mx2＋ny2＝1 表示圆，故 mn>0⇒/ 方程 mx2＋ny2＝1 表示椭圆，若 mx2＋ny2＝1 表示椭圆 ⇒mn>0，故 mn>0 是方程表示椭圆的必要不充分条件．
[答案] B
4．椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上有一点 P 到左焦点的距离是 4，则点
牛刀小试
2．椭圆1x424＋1y629＝1 的焦点坐标是(
)
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
[解析] ∵169>144，∴焦点在y轴上， 又∵c2＝a2－b2＝169－144＝25， ∴c＝5，∴焦点坐标为(0，±5)． [答案] B
3．对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭 圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A．2 3
B. 3
C．4
D．2
[解析] 根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4 3，
平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝48
①
在△F1PF2 中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝36.
1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出 椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程．
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待 定系数法求椭圆的标准方程.
知识点一、椭圆的定义
思维导航 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截面的 外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光 斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的．那么椭 圆是怎样定义的？怎样才能画出椭圆呢？ 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？
又椭圆经过点(2，－3)，则有m4 ＋m＋9 5＝1， 解得 m＝10 或 m＝－2(舍去)， 即所求椭圆的方程为1x02 ＋1y52 ＝1.
题目类型二、椭圆的焦点三角形
例 2 已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为椭圆 的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积．
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)解法一：①当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
新知导学
1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为
____连__结__这__两__点__的__线__段__的__垂__直__平__分__线____．也曾讨论过到两定点
距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点 距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的_和___等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 __焦__点____，____两__焦__点___间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等 于|F1F2|时轨迹为____线__段__|_F_1_F_2_| _，当常数小于|F1F2|时，轨迹 ___不__存__在___．
P 到右焦点的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－4＝6. [答案] D
5．椭圆xm2＋y42＝1 的焦距为 2，则 m 的值为________．
[解析] 若焦点在x轴上，则m－4＝1，∴m＝5； 若焦点在y轴上，则4－m＝1，∴m＝3. [答案] 5或3
解：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的 垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，
如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，
点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦
点的距离之和 2a＝10，但点 A 不在 x 轴上．由 a＝5，c＝4，得
b2 ＝ a2 － c2 ＝ 25 － 16 ＝ 9. 所 以 点
[方法规律总结] 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形 PF1F2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运 用椭圆定义，又可运用正、余弦定理．有时还运用整体思想求
|PF1|·|PF2|等．
变式训练：
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1，F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
知识点二、椭圆的标准方程
思维导航 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单． 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点 在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方 程简单，必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使已知点的 坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程 时，选择x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线段F1F2 的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．
第二章 圆锥曲线与方程
§1 椭 圆
1.1 椭圆及其标准方程
情景导学
北京时间2003年10月15日9时9分50秒，我国自行研制的 “神舟”5号载人飞船，在酒泉卫星发射基地发射升空 后，准确进入预定轨道，中国首位航天员被顺利送上太 空．“神舟”5号飞船运行的轨道面和地球的赤道面之 间成43°的夹角，在太空绕地球飞行14圈，历时约21小 时，于16日6时准确返回．这标志着我国成为世界上第 三个把人类送上太空的国家．你知道“神舟”5号飞船 运行的轨道是什么图形吗？
2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c，常数为2a？为何 令a2－c2＝b2， 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两个 焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆． 3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？ (1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其 他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程 的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， ∵c＝4,2a＝10，∴b2＝a2－c2＝9， 所以所求的椭圆方程为2x52 ＋y92＝1. (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设所求椭圆的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
由椭圆定义知
变式训练：
根据下列条件，写出椭圆的标准方程．
(1)经过两点 A(0,2)，B12，
3的椭圆标准方程为________；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆 9x2＋4y2＝36 有共同的焦点的
椭圆标准方程为________．
[解析] (1)设所求椭圆的方程为xm2＋yn2＝1(m>0，n>0)，
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
[方法规律总结] 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤： (1)定位，确定焦点在哪个轴上； (2)定量，依据条件及a2＝b2＋c2确定a、b、c的值； (3)写出标准方程． 2．当焦点位置不确定时，可设方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， 且A≠B)，这样可以避免讨论．
解：由椭圆的定义，有 |PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理有 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ＝4c2， 即 4a2－4c2＝2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ) ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinθ ＝b2·1＋sincoθsθ＝b2tan2θ.
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离的和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别为(0，－2)、(0,2)，并且椭圆经过 点(－32，52)．
[分析] 根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆 的标准方程，从而确定 a、b 的值．
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11
，
解得ab22＝＝155 .所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
②当焦点在
y
轴
上
时
，
设
椭
圆
的
标
准
方
程
为
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)．依题意有a1－2＋a22 －2＋2b2
2a＝ －322＋52＋22＋ －322＋52－22＝2 10.
即 a＝ 10，又 c＝2， ∴b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的方程为1y02 ＋x62＝1. [点评] 根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的标 准方程是解决此题的关键．
题目类型一、椭圆的标准方程
例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3,0)、(3,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．
b322＝1 32＝1
，
解得ba22＝＝155 .因为 a<b， 所以方程无解．故所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且
m≠n)，依题意有31m2m＋＋4nn＝ ＝11 ，解得nm＝＝15115
.
4．椭圆的标准方程中参数 a、 b(a>b>0)有什么意义？方程ax22＋by22＝1 与 ay22＋bx22＝1 有何不同？a、b、c 满足什么 关系？
a 表示椭圆上的点到两焦点距离和 的一半，a、b、c 的关系如图．
当 a>b>0 时，方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，方 程ay22＋bx22＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应 的那个项的分母就大．