高一数学-[原创]超越方程根的探究 精品

a x+1=-x2+2x+2a（a＞0且a≠1）根的探究
由于用一般的代数方法不能解决超越方程的求解问题，因此在高中阶段，仅局限于讨论超越方程解的个数。

但是讨论超越方程解的个数并不是教学的真正目的，其真正目标应该是：通过寻找解决这一问题的方法，加深理解函数与其图像之间的本质联系，逐步渗透数形结合思想，培养学生的探究意识。

数学软件“几何画板”能够为我们实现上述教学目标给予有力的支持下面是一段课堂实录：
提出问题：求关于x的方程a x+1=-x2+2x+2a（a＞0且a≠1）的实数解的个数。

学生忙乎了5分钟：“老师，解不出来。

”
老师：“同学们，我们称这种方程为超越方程，用一般的代数方法是解不了的。

目前我们仅了解它的实数解的个数就行了。

请大家继续。

”
学生继续忙乎，大部分还是不得要领。

学生1：“画图看一下。

”
老师：“看什么？”
学生1：“看曲线的交点个数。

”
老师：“画什么图呢？”
学生1：“画函数y=a x+1和y=-x2+2x+2a的图像。

”
老师：“好的，试试看。

”
学生在练习本上画的过程中发现，由于参数a的变化，两条曲线具有不确定性，很难把握问题的特征。

教师设法使学生明了：除了学生感到的难点之外，由于所选择的函数都含有参数，两条曲线都在变化，也是难点之一。

故要适当选择曲线。

对方程a x+1=-x2+2x+2a变形：
a x—2a=-x2+2x—1，a x—2a=—（x—1）2，
令y
1=a x—2a，y
2
=—（x—1）2。

这样就发现函数y
2
的图像是确定
的，y
1
的图像随着参数a的变化而变化。

用几何画板作图，拖动页面《变形》
中的点“拖动”，变化参数a的值，观察交点的个数。

学生2：“可以发现有两个交点，说明方程有二个根。

”
老师：“一定有二个根吗？当a→0时，请观察。

”
学生4：“好像只有一个，但是a≠0，所以很可能就有二个交点。

”
老师：“从图象的变化过程，我们猜测方程可能有二个根，那么去证明呢？”
教师启发：“怎样才能使二条曲线有二交点？”
学生5：“哦，曲线1上至少有一点在曲线2的内部。

”
老师：“对，怎么找这一点？”
经过讨论，学生找出曲线2的对称轴与曲线1的交点P（1，-a），要证明点P在曲线1的内部很容易，只要-a＜0即可，显然成立。

改变问题：求关于x的方程
a x+1=-x2+2x+a（a＞0且a≠1）的实数
解的个数。

整理方程得：a x—a=—（x—1）2，
由观察可以得到一个根为x=1，但是是
否还有其他根呢？
同样用几何画板探究：拖动页面
《变式》中的点“拖动”发现a≥1.5的时候二根的情
形比较明显，a＜1.5时候就看不大清楚了。

利用几何画板的表格功能，观察数据变化，再根据
函数图像的凹凸性质判断，也可以发现0＜a＜1.5且a
≠1时，仍然有二个根。

老师：“怎么从理论上来证明呢？”
老师：“我们能不能用代数的方法，譬如解方程来
证明？”
由于高一学生知识所限，所以无从下手。

老师可以
向学生介绍一种解法：
设y
1=a x—a，y
2
=—（x—1）2，可知y
1
=a x—a过点A（1，0），B（0，1-a），则直线AB的方
程为y=（a-1）x+1-a，与y
2
联立得x2+（a-3）x+2-a=0，△=（a-2）2＞0恒成立,所以有两个交点A（1，0）、C（2-a，-（a-1）2）；
当a=2时，B、C重合，即方程有二个根x=1和x=0；
当1＜a＜2时，0＜2-a＜1，即点C在A、B之间，而C,A之间指数函数在直线AB下方,二次函数在直线上方,所以恒有两解；
老师：“同学们课后解决0＜a＜1和a＞2时的情形。

”
提示：利用导数知识（高三）也可以解决这一问题。

反思：通过探究、交流、论证等过程，学生对函数本质的理解能力、对数学思想的把握能力、对数学学习方式的转变层次，都可以得到不同程度的提高。

数学实质上是人们常识的系统化。

教师不必将各种规则、方法灌输给学生，要重视学生的亲身体验，用学生自己的思维方式，来认识数学知识。

信息技术可以为学生创造出图文并茂、丰富多彩、人机交互、及时反馈的学习环境，在这样的环境中，学生可以利用信息技术模拟现实情境，进行数学探究、交流等，这在传统的数学学习中是较难实现的，也是数学学习方式转变的具体体现。