高中数学必修1第二章课后习题解答

新课程标准数学必修1第二章课后习题解答
第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）
1. a 2
1=a ,a 4
3=43
a ,a
5
3-
=
5
3
1
a
,a
3
2-
=
3
2
1
a
.
2. (1)32x =x 3
2, (2)43)(b a +=(a +b )4
3, (3)32
n)-(m =(m -n )3
2, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 2
5,(6)
m
m 3=m
2
13-
=m 2
5.
3. (1)(4936)23
=［(76)2］23
=(76)3=343
216;
(2)23×3
5.1×6
12=2×32
1×(2
3)3
1×(3×22
)61=231311--×361
3121++=2×3=6;
(3)a 21a 4
1a 8
1-
=a
8
14121-+=a 8
5; (4)2x
3
1-
(21x 31-2x 32-)=x 3
131+--4x 32
21--=1-4x -1=1x
4-. 练习（P58）
1.如图
图2-1-2-14
2.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =3
2
-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;
(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(2
1
)x 1
的定义域是｛x ∣x ≠0｝.
3.y =2x (x ∈N *)
习题2.1 A 组（P59）
1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .
2解：(1)
6
2
3
b a a
b
=212
162
122
12
3)(⨯⨯
⨯b a a b =2
3
232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a a
a
2
12
1=21212
1a a a
⨯=2121a a ⨯=a 2
1.
(3)
4
15643)(m
m m m m •••=
4
16
54
13121m
m m m m ••=
4
165413121+++m
m
=m 0=1.
点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按
键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按
键,再按1
2,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按
键,再按
键,再按2,最后按
即可.
答案：4.728 8;
对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按
键,再按π键,最后按
即可.
答案：8.825 0.
4.解：(1)a 3
1a 4
3a
12
7=a 1274331++=a 3
5; (2)a 3
2a 4
3÷a 6
5=a
6
54332-+=a 12
7;
(3)(x 3
1y
43-
)12=124
3123
1⨯-⨯y
x =x 4y -9;
(4)4a 32b 3
1-
÷(32-a 31
-b 31
-)=(3
2-×4)31
313
1
32+-+b a =-6ab 0=-6a ;
(5))2516(
4
6
2r t s -2
3-=
)
2
3(4)
2
3(2)
2
3(6)23(2)
2
3(45
2
-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯r
t
s
=6393652----r
t s =36964125s r r ;
(6)(-2x 4
1y
3
1-)(3x
2
1
-y 3
2)(-4x 41y 3
2)=［-2×3×(-4)］x 3
232314
12141++-+-y
x
=24y ;
(7)(2x 2
1+3y
4
1-
)(2x 2
1-3y
41-)=(2x 21)2
-(3y 41-)2=4x -9y 2
1
-
;
(8)4x 4
1 (-3x 4
1y
3
1-)÷(-6x
2
1-
y
3
2-)=3
2
3121
41416
43+-++-⨯-y x =2xy 31
. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R .
(3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(
2
1)5x
的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x
1的定义域为{x |x ≠0}.
点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.
6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+
100p ),两年内产量是a (1+100
p )2
,…,x 年内的产
量是a (1+
100p )x ,则y =a (1+100
p )x
(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.
7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；
因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.
(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.
(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.
(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.
8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.
因为2m <2n ,所以m <n .
(2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n .
点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.
9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21
)57301
.
当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(2
1
)
5730
57309⨯=(
2
1)9
≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.
(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(2
1
)
5370
10000t <0.001,解得t >5.7.
答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.
B 组
1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;
当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；
当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.
2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 2
1+x
2
1-,那么y 2=(x 2
1+x
21-
)2
=x +x -1+2.由于
x +x -1=3,所以y =5.
(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.
(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.
1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ),
2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …
x 期后的本利和为y =a (1+r )x .
将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =5
1-
. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-
. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <5
1
-.
2．2对数函数 练习（P64）
1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）2
1log 12=-； （4）2711log 33=- 2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）4
1381
-=
3.（1）设5log 25x =，则2
5255x ==，所以2x =；
（2）设2
1log 16x =，则41
2216
x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则3
10100010x
==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3
100.00110x
-==，所以3x =-；
4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）
5.
练习（P68）
1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；
（2）2
22lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；
（3）33311
lg
lg()lg lg lg lg 3lg lg
22xy x y z x y z =-=+-=+-；
（4）22
11lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22
y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）2234
33333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；
（2）22
lg1002lg1002lg104lg104====；
（3）5
lg 0.00001lg10
5lg105-==-=-; （4）11
ln 22
e ==
3. (1)22226
log 6log 3log log 213
-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511
log 3log log (3)log 1033
+=⨯==;
(4)13333351
log 5log 15log log log 31153
--====-.
4.(1)1; (2)1; (3)5
4
练习（P73）
1.函数3log y x =及13
log y x =的图象如右图所示.
相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，
13
log y x =的图象是下降的
关系：3log y x =和13
log y x =的图象是关于x 轴对称的.
2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞U ; （3）1(,)3
-∞； （4）[1,)+∞
3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)223
3
log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>
习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)4
1
log 6
x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =
2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173
x
=
(5) 100.3x
= (6) 3x
e =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3a
b
=
==; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +=
==+=+; (4)3
lg lg3lg 22
b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) m
x n
=; (3) 3n x m =; (4)b x =.
6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x
+=
解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.
7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4
.
8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，
那么6
2000ln 112000ln(1)61402M M M M e m
m m m ⎛⎫+
=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪
⎝
⎭
答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.
所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3
log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5
⋅⋅=
⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c
⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则3
12700
log 2100
v =
，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100
O
=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.
B 组
1. 由3log 41x =得：143,43x
x
-==，于是110
44333
x x -+=+= 2. ①当1a >时，3
log 14
a
<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以3
04
a <<.
综上所述：实数a 的取值范围是3
{04
a a <<或1}a >
3. (1)当1I = W/m 2时，1121
10lg 12010
L -==；
(2)当12
10
I -= W/m 2时，1211210
10lg 010
L --==
答：常人听觉的声强级范围为0120dB :.
4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-
∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称
又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.
5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3x y =，0.1x
y =.
习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =
21
x
是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,
因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.
所以α=2
1
,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21
,x ≥0.
3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =4
3
400＝81400,即v =81400r 4
； （3）把r =5代入v =
81400r 4,得v =81
400×54
≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .
第二章 复习参考题A 组（P82）
1.（1）11； （2）
87； （3）1000
1； （4）259. 2.（1）原式=
)
)(()()(2
12
12
12
12
2
12
122
12
1
b a b a b a b a -+++-=
b a b b a a b b a a -++++-2
1212121
22=b
a b a -+)
(2;
（2）原式=))(()(112
1----+-a a a a a a =a
a a a 11
+-
=1122+-a a . 3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =
32lg 210
lg
2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=b
a a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7
b =
37147log 27log 56log 27⨯=
⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b a
b a ÷++÷111
)1
(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21
,+∞）;（2）［0,+∞）.
5.（3
2
,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.
6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.
7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .
又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）. （2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.
8.证明:因为f （x ）=lg
x
x
+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lg
b
b a a +-++-11lg
11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （
ab b a ab b
a +++
++-
1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （ab
b
a ++1）.
9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.
因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,
所以0
22192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩
⎪⎨⎧≈=
=.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,
即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；
当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,
即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：
图2-2
10.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,
2
2）, 所以22=2α,即221
-=2α.所以α=2
1
-.所以f （x ）=x 21
-（x >0）.
图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.
B 组
1.A
2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以
a 1+
b 1
=10log 12+10
log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 1
22
+-
x
在x ∈（-∞,+∞）上是增函数.
证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.
f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -122
1+x =)
12)(12()22(212
21++-x x x x . 因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）, 所以.012.012
12
>+>+x x
又因为x 1<x 2, 所以21
22
x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.
所以函数f （x ）=a 1
22
+-
x
在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,
即a 121
+-
-x +a 122+-
x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +1
21
+x
=1, 即存在实数a =1使f （x ）=1
21
+--x 为奇函数.
4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2
x
x e e -+,
所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］
=)2
2)(22(x
x x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.
（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2
x
x e e -+,
所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2
x x e e -+=222x
x e e --.
所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.
（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2
x
x e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,
［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2
x x e
e -+）2+（2x
x e e --）2
=4222222x x x x e e e e --+-+++=2
22x
x e e -+.
所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.
5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,
解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.
答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.
6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,
解得k =5
1
-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51
(.
所以,当t =10时,P=P 0e 9.0105
1
n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.
答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0e
t )9.0ln 5
1
(,解得t =
9.0ln 5
1
5
.0ln ≈33.
答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:
图2-3。