2014年高考数学(文科,江西专用)一轮复习用书配套考向案第七章直线和圆(44张ppt)

考 向 案
考题解构 视角拓展
高频考点:直线与圆的位置关系的应用
(2012年江西卷)过直线x+y-2 2=0上点P作圆x2+y2=1的两条
切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是
.
【解析】(法一)因为点P在直线x+y-2 2 =0上,所以可设点
P x0 ,x0 2 2 ,设其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60,
33
33
【解析】如图所示,曲线(x-2)2+y2=1是以B(2,0)为圆心,1为半
径的圆,要使过点A(4,0)的直线l与圆有交点,可由图形得直线
l的斜率取值范围为[ kl1 , k l2 ].设直线l的方程为y=k(x-4),
利用d=r得k=± 3 ,故应为[- 3 , 3 ].
3
33
【答案】C
15.(能力综合)已知A(3,1)、B(-1,2),若∠ACB的平分线在y=x+
1上,则AC所在直线方程是
.
【解析】设点B关于直线y=x+1对称的点为B‘(x0,y0),则

y0 x0
2 1

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1,
解得

y0 2
2

x0 1 2
1,

x0 y0
1, 0,
又l3⊥l2,∴ kl3 =-
1 kl2
=-2.故选C.
【答案】C
4.(视角拓展)设过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平 行,则|AB|的值为 ( ) (A) 2 . (B)2. (C)6. (D)不能确定.
【解析】 b a =1,∴b-a=1,|AB|= (b a)2 12 = 2 .
则k的取值范围是 ( )
(A)[- 3 ,0].
4
(C)[- 3 , 3 ].
(B)[- 3, 3 ]. 33
(D)[- 2 ,0].
3
【解析】直线y=kx+3经过圆上一定点(0,3),当 MN ≥2 3 时,圆
心(2,3)到直线y=kx+3的距离d= 2k 3 3 ≤1,解得- 3 ≤k≤ 3 .
真题索引
情境构造
角度切入
2011年 江西卷文14
直线与圆相切的性 先根据直线的方程巧
质,直角三角形的性 设点 的坐标,再利用相
质,点到点的距离公 切构成直角三角形,求
式的应用.
出点P与点O的距离,
从而求得点P的坐标.
直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切一直是高考 考查的重点和热点.题型多为选择题,难度中等,着重考查点 到直线的距离、方程的思想、数形结合等综合能力.
7.(高度提升)已知动圆圆心在抛物线y2=4x上,且动圆恒与直 线x=-1相切,则此动圆必过定点 ( )
(A)(2,0). (B)(1,0).
(C)(0,1). (D)(0,-1).
【解析】因为动圆的圆心在抛物线y2=4x上,且x=-1是抛物线 y2=4x的准线,所以由抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的 焦点(1,0),所以选B. 【答案】B
【答案】[-2,2)∪{2 2 }
14.(高度提升)☉O:x2+y2=1,☉C:(x-4)2+y2=4,动圆P与☉O和☉C
都外切,则动圆圆心P的轨迹方程为
.
【解析】☉P与☉O和☉C都外切,设☉P的圆心P(x,y),半径为 R, 则|PO|= x2 y2 =R+1,|PC|= (x 4)2 y2 =R+2,∴ (x 4)2 y 2 - x2 y2 =1, 移项、平方化简得60x2-4y2-240x+225=0. 【答案】60x2-4y2-240x+225=0
【解析】设P(0,y),∵l1∥l2,∴
y 1 =2,∴y=3,故选D.
0 1
【答案】D
2.(基础再现)过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程 为 ( ) (A)x-2y+7=0. (B)2x-y+7=0. (C)2x+y-1=0. (D)x-2y-7=0. 【解析】设该直线为x-2y+m=0,又经过点P(-1,3),所以-1-2×3+ m=0,得m=7. 【答案】A
5
5
即y= 2x-2或y= 8x+4.
5
5
17.(视角拓展)一个圆和已知圆x2+y2-2x=0外切, 并与直线l:x+ 3y=0相切于点M(3,- 3),求该圆的方程. 【解析】已知圆方程可化为 (x-1)2+y2=1,其圆心P(1,0),半径为1. 设所求圆的圆心为C(a,b),
令x=0得y=5k-4,令y=0得x=4 -5.
k
根据题意得 1 | -45|·|5k-4|=5,
2k
即(5k-4)2=10|k|.
当k>0时,原方程可化为(5k-4)2=10k,解得k1=52 ,k2= 85 ;
当k<0时,原方程可化为(5k-4)2=-10k,此方程无实数解.
故直线l的方程为y+4= 2 (x+5)或y+4= 8 (x+5),

+ OB
=(x1+x2,y1+y2),
由方程①,
x1+x2=-
4(k 1
k
23 ) ,
②
又y1+y2=k(x1+x2)+4, ③
而P(0,2),Q(6,0), PQ =(6,-2),
所以

OA +
O B 与 PQ
共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),
将②③代入上式,解得k=-3 ,
所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.由点到
点的距离公式得 x02 x0 2 2 2 =2,解得x0= 2 .故点P 2, 2 .
(法二)设其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°,所以 ∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.又圆心O到直
cos 60°=6.
【答案】C
9.(能力综合)倾斜角α=120°的直线l与两坐标轴围成的三角 形面积S不大于 3 ,则直线l在y轴上的截距的取值范围为 ()
(A)(-6,6).
(B)[-6,6].
(C)(- 6 , 6 ). (D)[- 6 , 6].
【解析】设直线l方程为y=- 3 x+b与两坐标轴交点为( 3b ,0), 3
54
【答案】A
5.(视角拓展)如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线 经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又 回到P点,则光线所经过的路程是 ( )
(A)2 10.
(B)6.
(C)3 3 .
(D)2 5 .
【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y
(0,b),
∴S= 1 ×|
2
3b |×|b|= b32≤
3
6
3,∴b2≤6,
∴- 6 ≤b≤ 6 .
【答案】D
10.(能力综合)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点 到直线l:ax+by=0的距离为2 2 ,则直线l的倾斜角的取值范围 是 ( )
(A)[ , ].
于
2 ,∴|
2a 2b | ≤
a2 b2
2
,∴( ba )2+4( ba )+1≤0,∴-2- 3≤ ba ≤-2+
3 ,
又k=- ba ,∴2- 3 ≤k≤2+ 3 ,直线l的倾斜角的取值范围是[ 12 , 512 ]
.【答案】B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分)
11.(基础再现)已知l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1,若两直线平行,则
代入圆方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,
整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0. ①
直线与圆交于两个不同的点A,B等价于
Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,
解得- 3 <k<0,即k的取值范围为(- 3,0).
4
4
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则O A
8.(高度提升)圆C的方程为(x-2)2+y2=4,圆M的方程为(x-2-5cosθ)2
+(y-5sin θ)2=1(θ∈R).过圆M上任意一点P作圆C的两条切
线PE、PF,切点分别为E、F,则


PE · PF
的最小值是 (
)
(A)12. (B)10. (C)6. (D)5.
【解析】由题意可知,圆心M(2+5cos
角度探究:
切入角度
说明
直线与圆的位置关系、点 在坐标系中画出直线与圆,分析点
到直线距离公式.
到直线的距离的变化.
直线的方程、直线与圆的 直接写出直线的方程,并代入圆的
位置关系、向量共线的充 方程,转化为判别式求范围;以向量
要条件.
共线为载体考查根与系数的关系.
案例落实:
1.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若 M N ≥2 3 ,
m的值为
.
【解析】已知l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1即3x-y-1=0互相平行,
故 2 = m≠ ,1解得m=- . 2
3 1 1
3
【答案】- 2
3
12.(基础再现)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距
离为 2 ,则a=
.
2
【解析】由于圆x2+y2-2x-4y=0的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的
即B'(1,0).显然B'点在直线AC上,
∴直线AC的方程为y= 1 0 (x-1),即x-2y-1=0.
31
【答案】x-2y-1=0
三、解答题(本大题共6小题,共75分) 16.(基础再现)已知直线l经过点P(-5,-4),且l与两坐标轴围成 的三角形的面积为5,求直线l的方程. 【解析】由已知,直线l的斜率存在, 故设l:y+4=k(x+5).
距离为 2 , 2
∴ |1 2 a | = 2 ,∴a=2或a=0.
2
2
【答案】2或0
13.(视角拓展)若直线y=x+m与曲线y= 4 x2 有且只有一个公
共点,则实数m的取值范围是
.
【解析】∵曲线y= 4 x 2 表示半圆x2+y2=4(y≥0), ∴利用数形结合法,可得实数m的取值范围是-2≤m<2或m=2 2 .
轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程PMN的长为|CD|= 2 1 0 .故选A. 【答案】A
6.(视角拓展)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共 点,则直线l的斜率的取值范围为 ( )
(A)[- 3 , 3 ].
(B)(- 3 , 3 ).
(C)[- 3 , 3 ]. (D)(- 3 , 3 ).
4
由(1)知k∈(- 3 ,0),故没有符合题意的常数k.
4
基础·角度·思路
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分) 1.(基础再现)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴
交于点P,则P点坐标为 ( )
(A)(3,0). (B)(-3,0). (C)(0,-3). (D)(0,3).
12 4
(C)[ , ].
63
(B)[ , 5 ].
12 12
(D)[0, ].
2
【解析】圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为(x-2)2+(y-2)2=(3 2 )2,∴圆 心坐标为(2,2),半径为3 2 ,要求圆上至少有三个不同的点到
直线l:ax+by=0的距离为2 2 ,则圆心到直线的距离应小于等
θ,5sin
θ),设 xy

2 5cosθ, 5sin θ,
则可得圆心M的轨迹方程为(x-2)2+y2=25.由图分析可知,只有
当P、M、C三点共线时,才能够满足P E · PF 最小,
此时|PC|=4,|EC|=2,故|PE|=|PF|=2
3 ,则 PE

·PF =(2 3
)2×
线x+y-2 2 =0的距离为d= 2 2 =2,所以点P即为圆心O在直 12 12
线x+y-2 2 =0上的垂足,故直线OP的方程为y=x.联立
x y 2
y x,
2
0,
解得
x

y
2, 2,
故点P 2, 2 .
【答案】( 2 , 2 )
3.(基础再现)已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=x对称,
直线l3⊥l2,则l3的斜率为 ( )
(A) 1 . (B)- .1 (C)-2. (D)2.
2
2
【解析】由于直线l1与l2关于y=x对称,则直线l2的方程为x=2y
+3,即y= 12 x- ,32∴ k=l2 .
1 2
k2 1
3
3
【答案】B
2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为 Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在常数k,使得向量O A

+ OB
与 PQ 共线?如果存在,求出
k值;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为Q(6,0), 过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2.