(优辅资源)天津市耀华中学高三第一次校模拟考试数学(理)试题Word版含解析

天津市耀华中学2017届高三第一次校模拟考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）
A. -6
B. 13
C.
D.
【答案】A
【解析】解答：
∵是纯虚数，
∴，解得a=−6.
本题选择A选项.
2. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）
A. 4
B. -5
C. -6
D. -8
【答案】D
【解析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.
本题选择D选项.
3. 命题：，命题：，则是成立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】试题分析：p真：-1<x<1,q真：,所以
,,因为,所以是成立的必要不充分条件.
考点：充要条件与简易逻辑的综合.
点评：要先求出p,q真的条件，得到,真的条件，再根据,为真对应的集合之间的包含关系，从而可求出是成立的充要关系.
4. 在展开式所得的的多项式中，系数为有理数的项有（）
A. 16项
B. 17项
C. 24项
D. 50项
【答案】B
【解析】展开式的通项为，其中r=0，1，2…100，要使系数为有理数则需要r是6的倍数，
∴r=0，6，16，18，…96共17个值，
故系数为有理数的项有17项.
本题选择A选项.
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
5. 若，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：，则：. 本题选择A选项.
6. 将标号为1、2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内，每一个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A. 120 B. 240 C. 360 D. 720
【答案】B
【解析】
7. 过双曲线（，）的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，若，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），
∴，∵，
∴，b=2a，∴，∴，∴
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质
8. 如图，梯形中，，，，,和分别为
与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得
成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为,∴A(−1,2),B(1,2),C(2,0),D(−2,0),∴.
1)当P在DC上时,设P(x,0)(−2⩽x⩽2),则.
于是，
∴当时,方程有一解,当时，λ有两解；
(2)当P在AB上时,设P(x,2)(−1⩽x⩽1),则. ∴，
∴当时,方程有一解,当时，λ有两解；
(3)当P在AD上时，直线AD方程为y=2x+4，
设P(x,2x+4)(−2<x<−1),则.
于是，
∴当或时,方程有一解,当时，方程有两解；(4)当P在CD上时,由对称性可知当或时，方程有一解，
当时，方程有两解；
综上,若使梯形上有8个不同的点P满足成立，
则λ的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9. 已知集合，集合
，则集合__________．
【答案】.
【解析】∵|x+3|−|x−3|>3，
当x<−3时,−x−3−(3−x)>3−6>3无解；
−当3⩽x⩽3时,x+3−(3−x)>3解得：；
当x>3时，x+3−x+3>3解得：x>3；
∴集合，
∴，
对于集合B，令，
即集合B={x|x⩾−2}，
可得 .
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．
【答案】2
【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：
11. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为__________．
【答案】
考点：定积分及运用．
12. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________．
【答案】12
【解析】由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半。

∴.
13. 设与均为正数，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意，
即x+2y的最小值为．
点睛：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14. 设函数的定义域为，如果存在正实数，使得对任意，都有，且
恒成立，则称函数为上的“的型增函数”，已知是定义在上的奇函数，且在时，，若为上的“2017的型增函数”，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x−a|−2a，
∴，
又f(x)为R上的“2017型增函数”，
(1)当x>0时，由定义有|x+2017−a|−2a>|x−a|−2a，
即|x+2017−a|>|x−a|，其几何意义为到点a小于到点a−2017的距离，
由于x>0,故可知a+a−2017<0得
当x<0时，
①若x+2017<0，则有−|x+2017+a|+2a>−|x+a|+2a，
即|x+a|>|x+2017+a|，其几何意义表示到点−a的距离小于到点−a−2017的距离，
由于x<0,故可得−a−a−2017>0,得；
②若x+2017>0，则有|x+2017−a|−2a>−|x+a|+2a，
即|x+a|+|x+2017−a|>4a，其几何意义表示到到点−a的距离与到点a−2017的距离的和大于
4a，
(2)当a⩽0时，显然成立，当a>0时，由于|x+a|+|x+2017+a|⩾|−a−a+2017|=|2a−2017|，故有|2a−2017|>4a,必有2017−2a>4a,解得，
综上,对x∈R都成立的实数a的取值范围是，即：.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数，.
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）设中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小.
【答案】（Ⅰ）的最大值为; （Ⅱ）.
【解析】试题分析：
(1)化简三角函数式可得的最大值为;
(2)利用题意结合正弦定理求得，，.
试题解析：
（Ⅰ）
.
（注：也可以化为）
所以的最大值为.
（Ⅱ）解：因为，由（Ⅰ）和正弦定理，
得.
又，所以，即，
而是三角形的内角，所以，故，，
所以，，
16. 一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数分分布列与期望.
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.
【解析】略
17. 如图，四棱锥中，平面，，，
，是棱的中点.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）求的值，使二面角的平面角最小.
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得，.∴平面.
(2)建立空间直角坐标系，由题意可得，要使最小，则最大，得
.
试题解析：
当时，
∵，.
∴.
又平面，∴.
∴平面.
又平面，
∴.
又，是棱的中点，
∴.
∴平面.
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，
，.
∴、.
设平面的法向量为，
则
取，得.
又易知平面的法向量为.
设二面角的平面角为，
则
要使最小，则最大，即，
∴，得
18. 已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设，问是否存在实数使得数列（）
是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）; （Ⅲ）. 【解析】试题分析：
(1)由题意求得，，∴；
(2)利用题意错位相减可得；
(3)题中不等式转化为，分类讨论当为大于或等于4的偶数，当为大于或等于3的奇数时，两种情况可得的取值范围是.
试题解析：
（Ⅰ）设此等比数列为，，，，…，其中，.
由题意知：，①
.②
②①得，
即，解得或.
∵等比数列单调递增，∴，，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（），
由（），
得（），
故，即（），
当时，，，∴；
（Ⅲ）∵，
∴当时，，，
依据题意，有，
即，
①当为大于或等于4的偶数时，有恒成立，
又随增大而增大，
则当且仅当时，，故的取值范围为；
②当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，且仅当时，，故的取值范围为；
又当时，由，得，
综上可得，所求的取值范围是.
19. 已知抛物线：的焦点也是椭圆：（）的一个焦点，
与的公共弦长为.
（Ⅰ）求的方程
（Ⅱ）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，同向. （1）若求直线的斜率；
（2）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形.
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为
即可求解；（2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得
，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；
（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从
而是钝角，即可得证
试题解析：（1）由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，
∴①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为
，由此易知与的公共点的坐标为，∴②，联立①，②，得，，故的方程为；（2）如图，，，，
，
（i）∵与同向，且，∴，从而，即
，于是③，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，∴，④，由得
，而，是这个方程的两根，∴，
⑤，将④⑤带入③，得，即
，
∴，解得，即直线的斜率为.
（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即
，令，得，即，∴，而，于是
，因此是锐角，从而
是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此
类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；（2）当看到题目中出现
直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条
件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
20. 已知函数，（）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：当时，函数（）有最小值.记的最小值为
，求的值域；
（Ⅲ）若存在两个不同的零点，（），求的取值范围，并比较
与0的大小.
【答案】（Ⅰ）在，单调递增; （Ⅱ）; （Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：
(1)首先求得函数的定义域，然后结合导函数的解析式可得在，单调递增；
(2)结合(1)的结论可得.结合新函数的性质有值域为
(3)结合导函数的性质，可得实数a的取值范围为，构造新函数
即可证得题中的结论
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为.
，
当且仅当时，，所以在，单调递增，（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，单调递增，
对任意，，
因此，存在唯一，使得.
当时，，递减，当时，，递增. 所以有最小值.
而，所以在上递增.
所以，即的值域为
（Ⅲ）定义域为，
当时，在上递增，舍.
当时，在上递增，在上递减，
，，，，
所以，.
设，
所以在上递增，，即
所以，
又，所以，且在上递减
所以，即，.
所以
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。