【金版学案】2014-2015学年高中数学 1.3简单曲线的极坐标方程同步检测试题 新人教A版选修4-4
《1.3简单曲线的极坐标方程》教学案2
《简单曲线的极坐标系方程》教学案教学目标：1.知识目标：进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法，掌握极坐标方程的意义和掌握一些特殊位置下的圆和直线(如过极点或垂直于极轴的直线)的极坐标方程.2.能力目标：结合数学实例培养学生归纳类比推理的能力，培养学生逻辑推理能力.3.情感目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识，辨析能力以及良好的思维品质. 教学重点：求简单曲线的极坐标方程的基本方法.教学难点：求简单曲线的极坐标方程的基本方法.教学过程：问题引领：1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a ，0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ，θ)满足的条件？2、提问：（1）曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？（2）曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线定义自主构建：1.求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程.2.已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程.合作探究：例1．求圆心在点(3，0)，且过极点的圆的极坐标方程.点拨提升：练习：1．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.2.已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径. 合作探究：【问题1】：求经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4π的直线l 的极坐标方程. 【问题2】：求过点A (a ，0)(a >0)且垂直与极轴的直线的极坐标方程.【问题3】：设点P 的极坐标为),(11θρ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程.【问题4】：在问题3中，如果以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，那么直线l 的直角坐标方程是什么？比较直线l 的极坐标方程与直角坐标方程，你对不同坐标系下的直线方程有什么认识？合作探究：例2．求经过极点，且倾斜角是6π的直线的极坐标方程. 练习：求直线)(43R ∈=ρπρ的直角坐标方程.自主构建：课堂小结本节课你有哪些收获？知识层面：________________________________________；思想层面：________________________________________；方法层面：________________________________________.。
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。
2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。
二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。
2. 极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 圆的极坐标方程。
4. 直线的极坐标方程。
5. 椭圆的极坐标方程。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。
2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。
4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。
六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 极坐标系的图示或模型。
3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。
4. 练习题。
七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程。
以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。
将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。
利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。
3. 讲解直线的极坐标方程。
以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。
【金版学案】2013-2014学年度高中数学 1.3.1 函数的单调性同步辅导与检测课件 新人教A版必修1
3．若函数y＝ f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函 数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间
和单调减区间统称为单调区间．
4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则
f(a)______ ＞ f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则
f(a)________ ＜ f(b)．
[4,14]
函数单调性的应用
已知函数f(x)在[－2,2]上单调递增，若f(1－m) ＜f(m)．求实数m的取值范围．
分析：因为f(x)在[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1 ＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)，反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)， 则－2≤x1＜x2≤2. 解析：∵f(1－m)＜f(m)，
即y＝
12 1 －x－2 ＋4x≥0
1 1 x－2 －4x＜0
2
.
作出函数的图象，如图． 1 由图象可知，函数的单调增区间是 0，2 ， 1 单调减区间是(－∞，0)和2，＋∞.
一、选择填空题 1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是( C ) A．k＜0 C．k＞0 2．下列说法正确的是( D ) A．反比例函数y＝ k 在区间(0，＋∞)上是减函数 B．k≤0 D．k≥0
(3)变形(通常是因式分解和配方)；
(4)定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)； (5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
证明函数的单调性 求证：函数f(x)＝ x ＋a在(0，＋∞)上是增函 数．
证明：对于任意x1，x2满足x1＞x2＞0，有 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2 x1－ x2 x1＋ x2 ＝ x1＋ x2 x1－x2 ＝ . x1＋ x2 因为 x1＋ x2＞0，x1－x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0. ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
金版学案高中同步辅导与检测档案数学
金版学案高中数学辅导与检测档案一、概述金版学案是为了更好地辅导同学们学习数学知识，提高数学水平而设计的一套教学辅导资料。
金版学案结合了高中数学教学大纲和学习要求，精心编写并不断更新，以确保学生们获得最新最全面的数学学习资源。
本文将介绍金版学案高中同步辅导与检测档案数学的相关内容。
二、辅导与检测档案1. 同步辅导金版学案同步辅导部分是按照高中数学课程教学大纲编写的，内容涵盖了高中数学的各个知识点和难点。
同步辅导的目的是帮助学生们系统地、全面地学习数学知识，巩固基础，提高理解和应用能力。
每个知识点均有详细的讲解和大量的习题演练，以帮助学生理解和掌握知识。
2. 检测档案金版学案的检测档案是为了帮助学生们检测自己的学习成绩，发现自己的薄弱环节，并有针对性地进行学习。
检测档案包括了丰富的试题，覆盖了各个知识点和考点，并附有详细的解析。
通过做检测档案，学生可以了解自己在各个知识点的掌握情况，及时纠正错误，改进学习方法。
三、辅导与检测档案的特点1. 知识点明确金版学案高中数学辅导与检测档案所涉及的知识点都是来自教学大纲，内容准确、全面。
学生们可以根据各章节进行系统的学习，并能够循序渐进地提高数学水平。
2. 例题详尽金版学案中的例题不仅数量丰富，而且细致全面。
每个知识点都有大量的例题供学生练习，以帮助他们熟练掌握知识点，并能够灵活运用。
3. 解题技巧金版学案的同步辅导部分不仅有详尽的知识讲解，还给出了许多解题技巧和方法。
这些技巧和方法是根据数学题型和解题思路总结出来的，对于提高学生解题速度和准确性有很大的帮助。
4. 错题订正学生们在做检测档案的过程中，难免会出现错误。
金版学案的检测档案还附有详细的解析，帮助学生及时发现并订正自己的错误，加强对知识点的理解和记忆。
5. 难度适中金版学案的辅导与检测档案不仅覆盖了基础知识的讲解和练习，还有一定难度的拓展题和综合题，以满足不同学生的学习需求，帮助他们拓展思维，提高解决问题的能力。
【金版学案】2013-2014学年度高中数学 3.1.3 函数与方程同步辅导与检测课件 新人教A版必修1
跟踪训练 1．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
解析：易知函数f(x)在定义域(0，＋ )内是增函数，
f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f(3)＝ln 3＞0，f(2)· f(3)＜0，即函数f(x)零点所在区间是(2,3)．
由于函数f(x)在定义域内是增函数，
所以它仅有一个公共点． 法三：图象法
f(x)＝ln x＋2x－6的零点，就是方程ln x＋2x－6＝0的解， 即是ln x＝－2x＋6的解． 这个方程的解，我们可以看作是函数y＝ln x与y＝－2x
＋6图象交点的横坐标．
画出这两个函数图象，可以得到交点个数为1，所以原
2
一、选择填空题 1．下列函数中有两个零点的是( D ) A ． y＝lg x C ． y＝x2 B．y＝2x D．y＝|x|－1 )
2．函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是(
A ．(1,0),(2,0)
C ．(－1,0),(－2,0)
B ． 1,2
D ． －1,－2
解析：函数的零点是使f(x)＝0的实数x. 答案：B
数．
解析：法一：利用信息技
术直接画出函数F(x)＝f(x)－g(x) ＝ln x＋2x－6的图象
法二：利用函数零点存在性定理 因为函数f(x)的图象在(0，＋∞)是连续的，f(2)＝－ 1.3069<0，f(3)＝1.0986>0则f(2)f(3)<0， 这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点，
1 1 1 解析：∵f e ＝ ＋ 1>0, f(1)＝ >0， 3 3e f(e)＝ － 1<0， 3 ∴y＝ f(x)在区间 (1， e)内有零点． 1 又在区间(0,1)上， ln x<0， ∴f(x)＝ x－ ln x>0， 3 1 ∴y＝ f(x)在区间 e ， 1 内无零点． 答案：D e
高中数学_简单曲线的极坐标方程教学设计学情分析教材分析课后反思
简单曲线的极坐标教学设计简单曲线的极坐标方程学情分析本班学生是高二文科班，学生数学基础比较薄弱。
知识上：刚学习了极坐标的概念和极坐标和直角坐标的互化，为学习简单曲线的极坐标方程作了必要的知识准备，虽然进行了简单的坐标互化练习，由于极坐标是全新的概念学生还不是很熟悉，还需要一段接受熟知的过程。
思维上：文科学生数学思维稍弱，注意提前预习，浅入浅出。
能力上：注意引导学生主动探究，学会分析问题，探究问题，解决问题，自主归纳总结得出结论。
简单曲线的极坐标方程效果分析本节课实现了“三维”教学目标的有机统一，教学目标可观测，可评价；教师能根据教学过程中的新情况、新变化，生成新的教学目标，及时解决学生遇到的新问题。
教学目标达成度高。
本节课做到了面向全体，鼓励学生积极探索，交流合作，教师及时地鼓。
另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，让学生在解决预习问题过程中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，突出了重点，突破了难点，增强了学生由特殊到一般的数学思维能力，增强了探索精神，形成了严谨的科学态度。
简单曲线的极坐标方程教材分析本节课是选修4-4简单曲线的极坐标方程，包括圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，其核心重点是直角坐标方程和极坐标方程的互化。
理解它的关键是从根本上理解直角坐标和极坐标互化公式。
因此，通过本节课对简单极坐标方程的推导，不仅能复习巩固互化公式，还可使学生更深的理解极坐标系和互化公式，从而更熟练的进行方程互化，解决实际问题。
而且通过对方程的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生自主探究，合作探究等研究性学习能力。
文科学生数学思维稍弱，注意提前预习，浅入浅出。
根据学生具体情况，制定如下教学目标：1、知识与技能：掌握简单图形（过极点的圆，圆心在极点的圆，过极点的直线，垂直或平行于极径的直线）的极坐标方程；能熟练进行两种方程的互化2、方法与过程：通过课前预习自主研究简单图形的极坐标方程的特点，比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。
《金版新学案》高一数学第一章1.2.1函数的概念练习题新人教A版(K12教育文档)
《金版新学案》高一数学第一章1.2.1函数的概念练习题新人教A版(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《金版新学案》高一数学第一章1.2.1函数的概念练习题新人教A版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1．下列四组中f（x)，g（x)表示相等函数的是()A．f（x)＝x,g(x)＝(错误!)2B．f(x）＝x,g(x)＝错误!C．f（x)＝1，g（x)＝错误! D．f（x）＝x，g（x）＝｜x|【解析】对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同，故选B.【答案】B2．下列函数中，定义域不是R的是( )A．y＝kx＋b B．y＝k x＋1C．y＝x2－c D．y＝错误!【解析】选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立．故选B。
【答案】B3．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{1，2,3}，则f(x)的值域为________．【解析】当x＝1时,f（1）＝2×1－3＝－1,当x＝2时，f（2）＝2×2－3＝1,当x＝3时，f(3)＝2×3－3＝3，∴f(x)的值域为｛－1,1,3}．【答案】{－1,1,3｝4．已知函数f(x）＝x2＋x－1。
（1）求f（2)，f（1x），f(a）．（2)若f（x)＝5，求x.【解析】（1）f(2)＝22＋2－1＝5，f（错误!)＝错误!＋错误!－1＝错误!，f(a）＝a2＋a－1. (2）∵f（x）＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3。
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案章节：第一章至第五章第一章：引言1.1 极坐标系的介绍极坐标系的定义和基本概念极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系的优点和应用领域1.2 极坐标方程的基本形式极坐标方程的定义和表达方式极坐标方程与直角坐标方程的转换方法常见曲线的极坐标方程的例子第二章：圆的极坐标方程2.1 圆的极坐标方程的定义和性质圆的极坐标方程的表达方式圆的半径和角度的关系圆的极坐标方程的图像和特点2.2 圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在圆的极坐标方程中的应用第三章：螺旋线的极坐标方程3.1 螺旋线的极坐标方程的定义和性质螺旋线的极坐标方程的表达方式螺旋线的半径和角度的关系螺旋线的极坐标方程的图像和特点3.2 螺旋线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式螺旋线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在螺旋线的极坐标方程中的应用第四章：双曲线的极坐标方程4.1 双曲线的极坐标方程的定义和性质双曲线的极坐标方程的表达方式双曲线的半径和角度的关系双曲线的极坐标方程的图像和特点4.2 双曲线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的极坐标方程中的应用第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的极坐标方程的定义和性质椭圆的极坐标方程的表达方式椭圆的半径和角度的关系椭圆的极坐标方程的图像和特点5.2 椭圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式椭圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在椭圆的极坐标方程中的应用第六章：直线的极坐标方程6.1 直线的极坐标方程的定义和性质直线的极坐标方程的表达方式直线的极坐标方程与直角坐标方程的关系直线的极坐标方程的图像和特点6.2 直线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式直线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在直线的极坐标方程中的应用第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的极坐标方程的定义和性质抛物线的极坐标方程的表达方式抛物线的半径和角度的关系抛物线的极坐标方程的图像和特点7.2 抛物线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式抛物线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在抛物线的极坐标方程中的应用第八章：渐开线的极坐标方程8.1 渐开线的极坐标方程的定义和性质渐开线的极坐标方程的表达方式渐开线的半径和角度的关系渐开线的极坐标方程的图像和特点8.2 渐开线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式渐开线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在渐开线的极坐标方程中的应用第九章：双曲线的渐近线的极坐标方程9.1 双曲线的渐近线的极坐标方程的定义和性质双曲线的渐近线的极坐标方程的表达方式双曲线的渐近线的半径和角度的关系双曲线的渐近线的极坐标方程的图像和特点9.2 双曲线的渐近线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的渐近线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的渐近线的极坐标方程中的应用第十章：总结与拓展10.1 简单曲线极坐标方程的应用极坐标方程在工程和物理领域的应用极坐标方程在艺术和设计领域的应用极坐标方程在其他领域的应用10.2 极坐标方程的进一步研究复杂曲线的极坐标方程研究极坐标方程与其他数学分支的联系极坐标方程在现代科学技术中的应用重点和难点解析：1. 第一章：引言极坐标系的定义和基本概念：需要重点关注极坐标系与直角坐标系的关系，以及极坐标系的优点和应用领域。
【金版学案】2013-2014学年度高中数学 1.3.4 函数的综合问题同步辅导与检测课件 新人教A版必修
由1－x20＝－2x0－122＋1得x0＝14或1. 又1∉0，12，∴x0＝14.
研究抽象函数的性质
设f(x) 定义于实数集上，当x＞0时，f(x)＞1 ，且 对于任意实数x、y，有f(x ＋ y)＝f(x)·f(y)，求证：f(x)在R上为 增函数．
解析：取x1 ＝－1，x2 ＝ 1得：f(－1)＝f(－1)＋f(1)， ∴f(1)＝0. 又取x1 ＝ x2 ＝－1得：f(1) ＝f(－1) ＋f(－1)， ∴f(－1)＝0. 再取x1 ＝ x，x2 ＝－1则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)， 即f(－x)＝f(x)， ∵f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)为偶函数．
集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.4 函数的综合问题
1．了解简单的分段函数，并能简单应用． 2．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．
基础梳理
1．分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的 函数，如函数f(x)＝ 01， ，xx≥<00就是一个简单的分段函数. 在求分 段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子 集，然后再代相应的解析式；分段函数的值域应是其定义域 内不同子集上各解析式的取值范围的并集．
3．我们知道，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图 象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么这个函数是偶函数．若函数f(x)的图象既关于原点对称， 又关于y轴对称，这样的函数存在并且唯一吗？
解析：这样的函数是存在的，如函数f(x)＝0.但并不唯 一，如函数f(x)＝0(－1<x<1)，函数f(x)＝0(－2<x<2)等， 这 样的函数在每个点处的函数值都是0，但定义域可以是关于 原点对称的任意一个数集．
高中数学专题 简单曲线的极坐标方程 学案
高中数学专题简单曲线的极坐标方程[学习目标]1.了解极坐标方程的意义.2.掌握直线和圆的极坐标方程.3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.[知识链接]1.曲线的极坐标方程是否唯一？提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？提示由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为1的圆.[预习导引]1.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示，曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程要点一 圆的极坐标方程例1 求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上.解 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设 M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上.规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.跟踪演练1 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 答案 ρ＝2cos θ要点二 射线或直线的极坐标方程例2 如图，在极坐标系中，直线l 过M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2且该直线与极轴的正方向成π4，求此直线l 的极坐标方程.解 法一 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，在△OMP 中∠OMP＝π2＋π4＝34π，∠MPO ＝θ－π4.根据正弦定理得ρsin 3π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.法二 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，点M 的直角坐标为(0，3)，直线MP 的倾斜角为π4，∴直线l 为y ＝x ＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3，∴ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.跟踪演练2 求以A (1，0)为端点，倾斜角为π4且在极轴上方的射线的极坐标方程.解 由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1，0)的坐标适合上述方程.因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝⎛⎭⎪⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4.要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |.解 (1)因为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcos θ，∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2，1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.跟踪演练3 (1)将x 2－y 2＝a 2化为极坐标方程； (2)将ρ＝2a sin θ化为直角坐标方程.(3)将θ＝π3化为直角坐标方程.解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos 2 θ－ρ2sin 2 θ＝a 2，∴ρ2cos 2θ＝a 2，这就是所求的极坐标方程.(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a ·ρsin θ.∴x 2＋y 2＝2ay ，这就是要求的直角坐标方程. (3)tan θ＝yx ，∴tan π3＝y x ＝3，化简得y ＝3x (x ≥0). 要点四 极坐标方程的应用例4 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值.解 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程.(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆.直经l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.因为C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.3 B. 2 C.1D.22解析 极坐标方程化直角坐标方程为x 2＋y 2＝x 和x 2＋y 2＝y ，它们的圆心分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，圆心距是22.答案 D2.4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析 4ρsin 2θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.∵ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方整理得y 2＝5x ＋254，∴它表示的曲线为抛物线.答案 D3.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.解析 由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得y －x ＝1.∴x －y ＋1＝0.而点A 对应直角坐标为A (2，－2)，则点A (2，－2)到直线x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522. 答案 5224.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 经过P 点且与极轴所成的角为3π4，求直线l 的极坐标方程.解 如图，设M (ρ，θ)为直线l 上除P 点外的任意一点，连接OM 、OP ，直线l 交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，∠xAM ＝3π4，∠AOP ＝π4，故∠OPM ＝π2，∠MOP ＝θ－π4，所以有|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，显然P 点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.两条直线 B.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆D.圆解析 由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－4cos θ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ. 答案 C4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析 根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2). 答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12B.ρcos θ＝2C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________.(规定：ρ≥0，0≤θ<2π)解析 易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π211.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， 得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)知，M 点的坐标(2，0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为MN 的中点， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ).三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0. (2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。
【金版学案】2014-2015学年高中数学-1.3简单曲线的极坐标方程同步检测试题-新人教A版选修4-4
【金版学案】2014-2015学年高中数学 1.3简单曲线的极坐标方程同步检测试题 新人教A 版选修4-4一层练习1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为( )A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4答案：C2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是()A ．2 B. 2 C ．1 D.22答案：D3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆答案：D4．点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，43π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4中在曲线ρ＝22cos θ上的点有________个．答案：3二层练习5．过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝1B ．ρsin θ＝1C ．ρcos θ＝ 3D ．ρsin θ＝ 3答案：D6．已知点P 的坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )A ．ρ＝1B ．ρ＝co s θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ答案：C7．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤θ＜π2， 则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫23，π68．在极坐标系中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2到曲线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322上的点的最短距离为________．答案：229．(2014·佛山一模)在极坐标系中，设曲线C 1：ρcos θ＝1与C 2：ρ＝4cos θ的交点分别为A 、B ，则|AB |＝________.答案：2 310．在极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝t (常数t ＞0)与曲线C ：ρ＝2sin θ相切，则t ＝________.答案：111．在极坐标系中，已知直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是________．答案：－112．(2013·广州二模)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，点P 是曲线ρsin 2θ＝4cos θ上任意一点，设点P 到直线ρcos θ＋1＝0的距离为d ，则|PA |＋d 的最小值为________．答案： 2三层练习13．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)答案：B14．(2013·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1答案：B15．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，π216．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，3π417．(2013·北京卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．答案：118．(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.答案：2 319．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．答案： 320．在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解析：∵圆C 圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1. ∴圆C 的圆心坐标为(1,0)．∵圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，∴圆C 的半径为 PC ＝()22＋12－2×1×2cos π4＝1. ∴圆C 经过极点．∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2c os θ.1．建立曲线的极坐标方程的方法步骤：(1)在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程；(3)验证求得的方程为曲线的方程．2．利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题．求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致．如定义法、直接法、参数法等．3．不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程．反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程．这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化．如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答．4．处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路：(1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理；(2)根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换．。
高中数学 第一章 坐标系 1.3 简单曲线的极坐标方程课时提升作业(含解析)新人教A版选修4-4(
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简单曲线的极坐标方程课时提升作业一、选择题（每小题6分,共18分）1.（2016·安庆高二检测）极坐标方程为（ρ-1）（θ—π)=0（ρ≥0）表示的图形是（）A.两个圆 B.两条直线C。
一条直线和一条射线 D.一个圆和一条射线【解析】选D.极坐标方程为(ρ—1)（θ—π)=0（ρ≥0)即ρ=1或θ=π(ρ≥0）,表示一个圆和一条射线.2.（2016·西安高二检测)在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是( ）A.（1,π）B。
C。
D.(1,0)【解析】选C.由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2—2y=0,即x2+（y—1）2=1,圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为.【补偿训练】在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的周长为（）A。
π B.2πC。
3πD。
4π【解析】选B。
由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2—2y=0,即x2+（y—1)2=1,圆的半径为1，所以圆的周长为2π。
3.（2016·成都高二检测）在极坐标系中，点到直线ρsin=-的距离是（）A.1B.C.D。
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【金版学案】2014-2015学年高中数学 1.3简单曲线的极坐标方程同
步检测试题 新人教A 版选修4-4
一层练习
1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为( )
A ．x 2＋(y ＋2)2＝4
B ．x 2＋(y －2)2＝4
C ．(x －2)2＋y 2＝4
D ．(x ＋2)2＋y 2＝4
答案：C
2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是(
)
A ．2 B. 2 C ．1 D.2
2
答案：D
3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－θ所表示的曲线是( )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．圆
答案：D
4．点A ⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4中在曲线ρ＝22cos θ上的点有________个．
答案：3
二层练习
5．过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A ．ρcos θ＝1
B ．ρsin θ＝1
C ．ρcos θ＝ 3
D ．ρsin θ＝ 3
答案：D
6．已知点P 的坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A ．ρ＝1
B ．ρ＝co s θ
C ．ρ＝－1cos θ
D ．ρ＝1cos θ
答案：C
7．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝
⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤θ＜π2， 则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫23，π6
8．在极坐标系中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2到曲线l ：ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322上的点的最短距离为________．
答案：22
9．(2014·佛山一模)在极坐标系中，设曲线C 1：ρcos θ＝1与C 2：ρ＝4cos θ的交点分别为A 、B ，则|AB |＝________.
答案：2 3
10．在极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝t (常数t ＞0)与曲线C ：ρ＝2sin θ相切，则t ＝________.
答案：1
11．在极坐标系中，已知直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是________．
答案：－1
12．(2013·广州二模)在极坐标系中，已知点A ⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2，点P 是曲线ρsin 2θ＝4cos θ上任意一点，设点P 到直线ρcos θ＋1＝0的距离为d ，则|PA |＋d 的最小值为________．
答案：2
三层练习
13．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2
B.⎝
⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)
答案：B
14．(2013·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B ．θ＝π2
(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2
(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
答案：B
15．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2
16．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫2，3π4
17．(2013·北京卷)在极坐标系中，点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．
答案：1
18．(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案：2 3
19．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
答案： 3
20．在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解析：∵圆C 圆心为直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，
∴在ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1. ∴圆C 的圆心坐标为(1,0)．
∵圆C 经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4，∴圆C 的半径为 PC ＝()22＋12－2×1×2cos π4
＝1. ∴圆C 经过极点．
∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2c os θ.
1．建立曲线的极坐标方程的方法步骤：
(1)在曲线上任取一点P (ρ，θ)；
(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理
建立起ρ、θ的方程；
(3)验证求得的方程为曲线的方程．
2．利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题．求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致．如定义法、直接法、参数法等．
3．不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程．反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程．这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化．如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答．
4．处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路：
(1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理；
(2)根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换．。