2023年上海市长宁区中考二模数学试卷含答案

2022学年第二学期初三数学教学质量调研试卷
（考试时间：100分钟满分：150分）
1.下列实数中，比3大的有理数是（△）。

（A ）|-3|；（B ）π：（C ）22
7；（D。

2.用换元法解方程22131x x x x --=-时，如果设21
x y x -=，那么原方程可化为关于y 的方程
是（△）。

（A ）2310y y +-=；（B ）2310y y --=：（C ）2310y y -+=；（D ）2
310
y y ++=3.如图，已知⊙O 及其所在平面内的4个点。

如果⊙O 半径为5，那么到圆心O 距离为7
的点可能是（△）。

（A ）P 点；（B ）Q 点；（C ）M 点；（D ）N 点4.下列命题中，假命题的是（△）
（A ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（B ）对角线互相垂直的梯形是等腰梯形；（C ）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；（D ）对角线平分一组对角的矩形是正方形
5.某抖音卖货小店专门营销一类货品，以八种型号销售，一段时间内的销售数据如下表所示：货品型号
A
B C D E F G H 销售数据（件）2
4
5
13
8
7
3
1
如果每件货品销售利润都相同，该小店决定多进一些D 型号货品，那么影响店主决策的统计量是（△）
（A ）平均数；（B ）中位数：（C ）标准差；（D ）众数。

6.已知抛物线
()
20y ax bx c a =++≠经过点A （2，t ），B （3，t ），C （4，2），那么a b c
++的值是（△）。

（A ）2：（B ）3；（C ）4；（D ）t 。

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7.计算：
()
223x xy ⋅-=△。

8.
函数y =
的定义域为△。

9.已知
()21x
f x x =
-
，那么
f
=
△。

10.如果关于x 的方程2
420x x c -+=有实数根，那么实数c 的取值范围是△。

11.
x
<3x −4
≥x −1
的正整数解是
△。

12.已知线段3a =，4b =，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c 的长度，那么a ，b ，c 不能．．
组成三角形的概率是△。

13.为了解某区九年级3000名学生中“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区体测中心随机调查了其中的200名学生，结果仅有45名学生未获满分，那么估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为
△。

14.已知点A （-4，m ）在反比例函数
k
y x =
的图像上，点A 关于y 轴的对称点1A 恰好在直
线
12y x
=
上，那么k 的值为
△。

15.如图，在梯形ABCD 中，1
,2
AD BC AD BC =
∥，对角线AC 与BD 交于点O ，设AD a = ,CO b = ，那么
AB =
△。

（结果用a 、b
表示）
16.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知4
16tan 3
BD OCD =∠=，，如果点E 是边AB 的中点，那么OE=
△。

17.如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，已知
45,7,
32CEA DE OE ∠===
，那么cot ∠ABD 的值为△。

18.如图，将平行四边形ABCD 沿着对角线AC 翻折，点B 的对应点为M ，CM 交AD 于点
N ，如果76B ∠=
，10ACM DCM ∠=∠+ ，且NC m =，那么平行四边形ABCD 的周
长为△。

（参考数据：
cos 760.24,tan 764)≈≈
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19.（本题满分10分）
计算：
)
1
3
82023118
21+-
+20.（本题满分10分）
解方程组：
22290x y x y +=⎧⎨-=⎩21.（本题满分10分，第（1）小题4分；第（2）小题6分）
已知点A （-2，m ）在双曲线
4
y x =-
上，将点A 向右平移5个单位得到点B 。

（1）当点B 在直线2y x b =-+上时，求直线2y x b =-+的表达式；
（2）当线段AB 被直线
2y x b =-+分成两部分，且这两部分长度的比为3:2时，求b 的值。

22.（本题满分10分）
为了测量某建筑物的高度BE ，从与建筑物底端B 在同一水平线的点A 出发，沿着坡比为
1:2.4i =的斜坡行走一段路程至坡顶D 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为30 ，再从D
处沿水平方向继续行走100米后至点C 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为60
，建筑物底
端B 的俯角为45
，如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求建筑物BE 的高度与
AD 的长。

（参考数据：3 1.732)
≈23.（本题满分12分，第（1）小题6分；第（2）小题6分）
如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AD 、AB 上，CE 与DF 交于点G 。

已知
AE AF AB +=。

（1）求证：CE DF ⊥；
（2）以点G 为圆心，GD 为半径的圆与线段DF 交于点H ，点P 为线段BH 的中点，联结CP ，如图2所示，求证：BCP DCE ECP ∠+∠=∠。

24.（本题满分12分，第（1）小题4分；第（2）小题6分；第（3）小题2分）
已知抛物线
2
26y ax x =++与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧，点B 在原点O 右侧），与y 轴交于点C ，且OB OC =。

（1）求抛物线的表达式。

（2）如图1，点D 是抛物线上一点，直线BD 恰好平分△ABC 的面积，求点D 的坐标；（3）如图2，点E 坐标为（0，-2），在抛物线上存在点P ，满足2OBP OBE ∠=∠，请直接写出直线BP
的表达式。

25.（本题满分14分，第（1）小题4分；第（2）小题4分；第（3）小题6分）
如图1，在△ABC 中，90ACB ∠=
，以点A 为圆心、AC 为半径的⊙A 交边AB 于点D ，
点E 在边BC 上，满足CE BD =，过点E 作EF CD ⊥交AB 于点F ，垂足为点G 。

（1）求证：BCD BFE ∆~∆；
（2）延长EF 与CA 的延长线交于点M ，如图2所示，求CM DF
AC
AD +
的值；（3）以点B 为圆心、BE 为半径作⊙B ，当8,2BC AF ==时，请判断⊙A 与⊙B 的位置
关系，并说明理由。

2022学年第二学期初三数学教学质量调研试卷
参考答案和评分建议（2023.5）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.C：2，B：3.C；4.B：5.D；6.A．
二、填空题：（本大题共12题，满分48分）
7.-6x2y28、2x≥-9.5
4；10、2
c≤11、x=3，x=4：12.
3
8
13.2325：14.-8；15、−2a −32b 16.5：
18.4.96m
三、（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）
解：原式=2+2−1−1×32 =1+2−32
=1−22
20.（本题满分10分）
解：x+y=2.（1）
x2−9y2=02
由（2）得：x+3y x−3y=0，∴
30
x y
+=或30
x y
-=。

（4分）
从而有x+y=2
x+3y=0或x+y=2
x−3y=0（2分）
解得：x1=3y1=−1x2=32y2=12（2分）
故原方程组的解是x1=3y1=−1x2=32y2=12（2分）
21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
解：（1）∵点A（-2，m）在双曲线
4
y
x
=-
上。

∴m=−4−2=2，即A（-2，2）。

（1分）又∵将点A向右平移5个单位得到点B，∴B（3，2），（1分）
当点B在直线
2
y x b
=-+
上时，有2=−2×3+b，解得
8
b=。

（1分）
∴直线2y x b =-+的表达式为28y x =-+。

（1分）（2）∵A （-2，2），B （3，2），∴5AB =。

（1分）
∵线段AB 被分得的两段的长度比为3:2故分割点为C （0，2）或D （1，2）。

（1分）
当分割点为C （0，2）时，2=−2×0+b ，得2b =，（1分）当分割点为D （1，2）时，2=−2×1+b ，得4b =，（1分）综上，2b =或4b =。

（1分）22.（本题满分10分）
解：过点C 、D 分别作BE 、AB 的垂线，垂足分别为M 、N ，（1分）由题意可得：DC =100米，∠EDM =30∘，∠ECM =60∘，∠BCM =∠CBM =45∘且BM DN =。

从而在△EDC 中有∠EDM =∠CED =30∘，故EC =DC =100米，（1分）由题意得：在Rt △CEM 中，∠EMC =90∘，∠ECM =60∘，∴CM =CE ⋅cos∠ECM =100+cos60∘=50.（1分）
则BM =CM =50（1分）
同理可得：∴EM =503≈50×1.732=86.6，（1分）故BE =BM +EM =50+86.6=136.6米。

（1分）在Rt △ADN 中，∠AND =90∘，DN =BM =50，（1分）又斜坡AD 的坡比为1:2.4i =，故DN
AN
=
1
2.4
，
即
50
AN =
5
12
，得AN =120（1分）
故在Rt △ADN 中，由勾股定理可得：AD =AN 2+DN 2=1202+502=130.（1分）答：建筑物BE 的高度为136.6米，AD 的长为130米。

（1分）23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）证：（1）∵正方形ABCD ，AD =AB =AC −CD ，（1分）∠DAF =∠CDE =90.（1分）
∵AE +AF =AB ，∵AE +DE =AD ∴AF DE =。

（1分）故ΔADF ≅ΔDCE 。

（1分）∴∠ADF =∠DCE 。

（1分）∵∠ADF +∠FDC =90∘
∴∠DCE +∠FDC =90∘，即90DGC ∠=
∴CE DF ⊥。

（1分）
（2）由题意可知：DG HG =。

（1分）且由（1）有；CE DF ⊥，∴CE 垂直平分DH ，（1分）故CD =CH =CB （1分）
在△DCH 中，CD CH =，CE ⊥DF ，∴∠DCE =∠ECH 。

（1分）在△BCH 中，CB =CH 。

P 为线段BH 的中点，∠BCP =∠HCF 。

（1分）故∠BCP +∠CDE =∠HCP +∠EC 。

∴∠BCP +∠DCE =∠EC P 。

（1分）
24.（本题满分12分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分、第（2）小题2分解：（1）由题意可得：C （0，6），（1分）∵OB OC =，∴B （6，0）。

（1分）代入2
26y ax x =++得：0=36a +12+6，解得：1
2a =-。

（1分）
故新抛物线表达式为y =−1
2
x 2+2x +6.（1分）
（2）由（1）知抛物线的表达式为y =−12
x 2+2x +6，故令y =0得：0=−12
x 2+2x +6解得：x 1=−2，x 2=6，
从而点A 的坐标为（-2，0）。

（分）即2OA =，记直线BD 交AC 于点G ，
由直线BD 恰好平分△ABC 的面积，那么点G 为AC 的中点。

（1分）过点G 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点N 、T ，
在△OCA 中，GN//CO ，故由中位线可得：GN =3，ON =1.（1分）故在Rt △BGN 中。

tan∠GBN =GN
BN =3
7，（1分）
设D （t ，−12
t 2+2t +6），故DT =−12
t 2+2t +6，OT =−t 故在Rt △BDT 中，tan∠DBT =DT BT
=
−1
2t 2+2t+6−t+6
，
∵tan∠DBT =tan∠GBN
−1
2t 2+2t+6−t+6
=3
7，（1分）
解得：t 1=−8
7，t 2=6舍从而D （87-
，150
49
）。

（1分）
（本题由直线BD与抛物线求交点同步赋分）
（3）直线BP的表达式为y=34x−92或
39
42
y x
=-+
（1分+1分）
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1）由题意可得：AC=AD，（1分）∴∠ACD=∠ADC。

（1分）
又
90
ACB
∠= 且EF CD
⊥。

∴∠ACD+∠DCB=∠ADC+∠BFE=90∘，
故有∠DCB=∠BFE。

（1分）
又B B
∠=∠
∴ΔBCD∼ΔBFF。

（1分）
（2）在Rt△MCG中，∠MCD+∠M=90∘，又∵∠ACD+∠DCB=90∘。

∴∠M=∠DCB。

（1分）
∵∠DCB=∠BFE
∴∠M=∠BFE。

（1分）
故有AM AE
=。

（1分）
又AC AD
=，
∴CM AC+DF AD=CM+DF AC=AC+AM+DF AC=AC+AF+DF AC=AC+AD AC=2AC AC=2.。

（1分）
（3）如图，在CD延长线上取点N，使得∠BND=∠BDN，则BN=BD=CE，（1分）又∠BND=∠BDN=∠ADC=∠ACD，故∠BND+∠BCN=90∘，
∴∠NBC=90∘，从而有∠NBC=∠ECM=90∘。

（1分）
在△BCN与△CME中，∠BCN=∠M，∠NBC=∠ECM=90∘，BN=CE。

故ΔBCN≅ΔCME
则BC=CM=8，（1分）
∵AM=AF=2
，
∴
6
AC=，（1分）
故
10
AB=，6
AD AC
==，则BD=CE=10−6=4
从而
844
BE=-=。

（1分）
此时有AC+BE=6+4=10=AB
即⊙A与⊙B的半径之和等于两圆的圆心距，∴⊙A与⊙B外切。

（1分）
（本小题还有其它辅助线添法，同理赋分）。