2020届高考数学知识点复习测试题30 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc

第3讲 导数的实际应用

★ 知 识 梳理 ★

利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。

2.难点：建模的过程

3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题. （1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题 问题1：路灯距地平面为8m ,一个身高为1.6m 的人以84/min m 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v . 点拨：利用导数的物理意义解决

设路灯距地平面的距离为DC ，人的身高为EB .设人从C 点运动到B 处路程为x 米，时间为t (单位：秒)，AB 为人影长度，设为y ,则

∵//BE CD ， ∴

CD

BE

AC AB =

∴

86

.1=+x y y ,又84/min 1.4/m m s =,∴17( 1.4)420

y x t x t === ∵720y '=

,∴人影长度的变化速率为7

/20

m s . （2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.

问题2. （2006·江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

[剖析]设1OO 为x m ,则由题设可得正六棱锥底面边长为

=m ）

于是底面正六边形的面积为（单位：2

m ）

2262)x x ==+-

帐篷的体积为（单位：3

m ）231()2)(1)112)3V x x x x x x ⎡⎤

=

+--+=+-⎢⎥⎣⎦

求导数，得2()3)V x x '=

-令()0V x '=解得2x =-(不合题意，舍去),2x =. 当12x <<时，()0V x '>,()V x 为增函数；当24x <<时，()0V x '<,()V x 为减函数。 所以当2x =时,()V x 最大.答当1OO 为2m 时，帐篷的体积最大.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点: 最优化问题

题型1.函数模型中的最优化问题

例1. 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 【解题思路】由勾股定理建模.

解析 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元

/km,那么铁路运费为5

3a

元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y

为:=y )100(5

3x a -+a

4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得

y '=53a -+4002+x ax =400

5)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2

x 400+),解之得 1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一驻点,所

以1x =15是函数y 的极小值点,而且也是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最省.

【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.

例2. 某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?

思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.

图

2

图1

解法一:设相同的时间内,生产第x (x ∈N *,1≤x ≤10)档次的产品利润y 最大. 2分 依题意,得y =［8+2(x －1)］［60－3(x －1)］ 4分 =－6x 2+108x +378=－6(x －9)2+864(1≤x ≤10), 8分 显然,当x =9时,y max =864(元),

即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分 解法二:由上面解法得到y =－6x 2+108x +378. 求导数,得y ′=－12x +108,令y ′=－12x +108=0,

解得x =9.因x =9∈［1,10］,y 只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.

【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

题型2:几何模型的最优化问题

【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.

例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上， △CFE 、△A B E 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH . (1) 求证：四边形EFGH 是正方形；

(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转

90后得到，△CFE 为等腰直角三角形， ∴ 四边形EFGH 是正方形.

[解析] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用

为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)，