冀教版数学九年级下册《30.4 二次函数的应用》第1课时 抛物线形问题 教学课件(名师精编)

实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面 处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由 柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状 相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如 果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使 喷出的水流不致落到池外？
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半
径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
y
●B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
x
●
C
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距 离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运 行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时， 篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
问题2 如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角
坐标系.
l
o
x
问题3 解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2 2
∵水面下降1m，即当y=-1时， x 6 ,
2
设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a=
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 二次函数的形式为 y ax2
如何确定a是多少？
-2 -1
12
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出
2 a 22
解得
a1 2
-2
A
-4
因此， y 1 x2 ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的 位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处.
y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.25a+k=3.05， k=3.5，
如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已
知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需
要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?
y
y
4m O
x
O
4m
x
请同学们分别求出对应的函数解析式.
解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= 1 ∴y= 1 x2 +2；
2
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
水面宽3m时 x 3
2
从而
y
1 2
3 2
2
9 8
1.125
因此拱顶离水面高1.125m
知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
-3
解：建立如图所示坐标系,
设二次函数解析式为 y ax2.
x
由抛物线经过点（2，-2），可得
a 1,
2
所以，这条抛物线的解析式为
● (2,-2)
y 1 x2.
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3. 当 y 3 时，x 6.
所以，水面下降1m，水面的宽度
为 2 6 m.
所以水面的宽度增加了 2 6 4 m.
冀教版数学九年级下册教学课件
第三十章 二次函数 30.4 二次函数的应用
第1课时 抛物线形问题
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二 次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、 难点)
导入新课
问题引入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱 桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米. 现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样 变化．你能想出办法来吗？
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
∴水面宽度增加了 2 6 4 米.
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中， 求出这条抛物线表示的函数的解析式；
C A
y O
h 20 m
解：设该拱桥形成的抛
x 物线的解析式为y=ax2.
D B
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).
数学化
y
●B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
x
●
C
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
解得
a=－0.2， k=3.5，
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
y
故该运动员出手时的高度为2.ห้องสมุดไป่ตู้5m.
O
x
三 拱桥问题
互动探究
问题1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水 面宽 4m . 水面下降 1m，水面宽度增加多少？
想一想
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
∴y=-0.04x2.
四 利用二次函数解决实物抛物线形问题
例3 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已
知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需
要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少? y
O
x
(-2,-2) ● 4米
-3
● (2,-2)
y O
(-2,-2) ●