2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题14平面向量的数量积文(含解析)

专题14平面向量的数量积
一、本专题要特别小心：
1.平面向量数量积的模夹角公式的应用
2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题
3. 向量垂直的应用
4.向量的数量积问题等综合问题
5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题
6.向量数量积在解析几何中应用
7.向量数量积在三角形中的应用。

二．【学习目标】
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题． 三．【方法总结】
1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(a·b )·c ≠a ·(b·c )；消去律：a·b ＝a·c b ＝c ；a·b ＝0 a ＝0或b ＝0，但满足交换律和分配律.
2.公式a·b ＝|a ||b |cos θ；a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；|a |2
＝a 2
＝x 2
＋y 2
的关系非常密切，必须能够灵活综合运用. 3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.
4.a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0与a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0要区分清楚. 四．【题型方法】 （一）向量的数量积
例1. 在矩形ABCD 中，2AB =
，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若
，则
AE BF ⋅u u u v u u u v
的值（ ）
A ．2
B ．2
C ．0
D ．1
【答案】A
【解析】建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ，(
)
20B
，，(
)
2,1E
，(),2F x ，
，(),2AF x =u u u v
，
解得1x =，()1,2F ∴
，
，
.
故选A 项．
练习1. 在中，
，
，点是
所在平面内的一点，则当
取
得最小值时， A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
，
，
，
，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，
则，设，则
，
所以当x =2，y =1时取最小值，此时.
故选：B .
练习2. 如图所示，已知点O 为V ABC 的重心，OA OB ⊥，6AB =，则AC BC ⋅u u u r u u u r
的值为___________.
【答案】72
【解析】连接CO 延长交AB 于M ， 因为O 为重心，所以M 为中点, 且,
因为,
所以，
则
,故答案为72.
（二）向量的投影
例2. 在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=
3π，2
ACB π
∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r
方向上投影的最大值是（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．
33
D ．
23
【答案】C
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12
，0），P （0，0）， 由BAC 3
π
∠=
可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为
3π
，所以圆心角为23
π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为1
326tan 3
BC
π=，即圆心为3(0,)6，半径为.
所以点A 的轨迹方程为：
，则2
13
x ≤
，则，
由AQ uuu r 在BC uuu r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC uuu r
方向上投影为|DP|=|x|，
则AQ uuu r
在BC uuu r
方向上投影的最大值是3
，故选：C ．
练习1. 已知|
|=||=
，动点满足，
且
，则在
方向上的投影的
取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A 【解析】由已知有=（）•（）=-+（μ-λ）=2λ-2μ，
又
2
=（）2=4（λ2+μ2+λμ），又2λ+μ=2，所以μ=2-2λ，
则在方向上的投影为==，
令t=3λ-2，则，则f （t ）=，
①当t ＞0时，f （t ）==≤2，即0＜f （t ）≤2；
②当t=0时，f （t ）=0，③当t ＜0时，f （t ）=-，即-＜f （t ）＜0，
综合①②③得＜f （t ）≤2，即∈（]，
故选A ．
练习2. 已知()3,4a =r ，(),6b t =-r ，且a r ，b r 共线，则向量a r 在b r
方向上的投影为__________．
【答案】5-
【解析】由a r 与b r
共线得：
，解得：92
t =-
∴向量a r 在b r
方向上的投影为：
本题正确结果：5-
练习3. 已知1e u r ，2e u u r
是夹角为60︒的两个单位向量，若12a e e u
v u u v v =+，，则a r 在b r
方向上的投
影等于________． 【答案】32
-
【解析】因为1e u v ，2e u u v
是夹角为60︒的两个单位向量
所以
因为12a e e =+v u v u u v
，所以
因为
，所以
设a v 与b v
的夹角为θ，
则
所以a v 在b v
方向上的投影等于
练习4.定义两个非零平面向量的一种新运算
，其中,a b r r 表示,a b r
r 的夹角，则对于
两个非零平面向量,a b r
r ，下列结论一定成立的有（ ）
A ．a r
在b r
方向上的投影为
B ．
C ．
D ．若*0a b =r r ，则a r 与b r
平行
【答案】BD
【解析】由向量投影的定义可知，A 显然不成立；
，故B 成立；
，当0λ<时不成立，故C 不成立；
由*0a b =r r
，得sin ,0a b 狁=r r ，即两向量平行，故D 成立。

综上所述，故选BD 。

（三）数量积与最值
例3. 在直角三角形ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在ABC ∆斜边BC 的中线AD 上，则的最大值为( )
A ．
25
8
B ．8
C ．
52
D ．5
【答案】C
【解析】因为90A ∠=︒，所以以,AB AC u u u r u u u r
的方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：
所以
设
， 所以(,2)P λλ，
，
，所以当1
2
λ=
时，的最大值为
5
2
，故本题选C. 练习1. 已知a ρ，b ρ是两个单位向量，与a ρ，b ρ共面的向量c r
满足
，则c r
的最大
值为（ ） A ．22 B ．2
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（
）⊥（-），
设
=
，
=
，
=
，则
=
，
-=
，
则点C 在以AB 为直径的圆O 上运动，
由图知：当DC⊥AB 时，|DC|≥|DC′|，设∠ADC=θ， 则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin （
），所以当
时，|DC|取最大值
，
故选：C ．
练习2. 在直角梯形中，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中，，则
的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（cosα，sinα）（0≤α），
由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）
⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ⇒λ，
∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（）
∵，∴sin（）
∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．
故选：D．
练习3．如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若
，，则的最大值为（）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，取中点，交外接圆于，交内切圆于，
此时为外接圆劣弧的中点，取得最大；为内切圆劣弧的中点，取得最小，
记的最大值为，的最小值为，而，，
故的最大值为，
故选C.
练习4. 已知平面向量，，当时，的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，在中，已知，，
在OB 上取点D ，使得，
在AB 上有动点C ，使（
），
则
，
.
故选：C.
（四）由数量积求参数
例4. 在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r
，
()AC R λ∈u u u r ，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r
，则λ=（ ）
A ．13
- B ．2 C ．
95
D ．3
【答案】D
【解析】因为90A ∠=︒，则
，所以
.
由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .
练习1. 向量()1,2a v
=-，()1,0b =-r ，若
，则λ=_________.
【答案】
13
【解析】向量()1,2a =-v
，()1,0b =-r ，
所以
，又因为
，
所以，即
，解得1
3λ=
，故答案为13
. 练习2。

设向量()2,a m =r
，
，()2,1c m =r ，若()
a b c -⊥r r r
，则实数m =__________
【答案】1. 【解析】因为，()a b c -⊥r
r
r
， 所以，得1m =。

（五）由向量数量积求范围 例5. 三角形ABC 中，,
，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC uu r uu u r
g 的取
值范围是（ ） A ．1,14⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．1,42
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】设
，01λ≤≤，
结合题目中的条件得到原式等于：
,01λ≤≤
结合二次函数的性质得到范围是：1
,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：B. 练习1. 在平面上，，
，
.若
，则
的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】∵，∴
＝
＝0，
∴.
∵，∴，
∴. ∴，
∵，
∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，
∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.
故答案为：D
练习2. 如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆
心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则
的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立直角坐标系，如图所示，则A(0，0),B(2，0),D(0，1),C(1，1),∴ =(2，0),=(-1,1)，
设点的坐标为，由意可知：，
据此可得： ，则： ，目标函数： ，
其中 为直线系
在y 轴的截距，
当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 .
当直线过点 时，目标函数取得最小值 ，则
的取值范围是
.
故选：B. 练习3. 已知向量，
，若向量a r
、b r
的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是
__________。

【答案】
【解析】由题意可知：
且
解得：132
k >-
且12k ≠，即
本题正确结果：
练习4.已知
（1）求a r
与b r
的夹角θ； （2）若
，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）23
πθ=
；（2）.
【解析】（1）
；
；6a b ∴=-r
r •;
;[0,]θπ∈Q ，
23
πθ∴=
. （2），两边平方可得
，
即，解得，或；
λ∴的取值范围为
（六）数量积的综合应用 例6. 在
中，
边上的中线
，若动点满足
，则的
最小值是____. 【答案】
【解析】令
，
，则
，
故
可化为，
，代入得
化简得
则
故当时，取得最小值
故答案为
练习1. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足
.
（1）求AC
CB
u u u r u u u r 的值； （2）已知(1,cos )A x ，，[,0]3
x π
∈-
，若函数
的最大
值为3，求实数m 的值. 【答案】（1）2；（2）1
2
-
. 【解析】（1）由题意知，
，即
，
所以2BC CA =u u u r u u u r
，即2AC CB
u u u v u u u v =. （2）易知，
，
，
则，cos AB x =u u u r
，
所以
，
令cos t x =， 则，1[,1]2
t ∈，其对称轴方程是t m =.
当3
4m ≤
时，()g t 的最大值为，解得12
m =-
； 当3
4
m >时，()g t 的最大值为
，解得7m 4
=-（舍去）.
综上可知，实数m 的值为1
2
-.
练习2. 如图，以Ox 为始边作角α与，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已
知点P 的坐标为34(,)55
-.
（1）求
的值；
（2）若OP OQ ⊥，求的值.
【答案】（1）
11
7
；（2）0. 【解析】（1）由题意知，3
cos 5α=-，4sin 5
α=， ∴
11
7
=
. （2）由题意知，，则.
∵OP OQ ⊥，∴
，
∴，即.
练习3. 已知向量
，，
，其中i r
，j r
分别为直角坐标
系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量.
（1）若A ,B ,C 三点共线时，求实数m 的值;
（2）若ABC ∆是直角三角形，且A 为直角，求实数m 的值与向量OA u u u v 在OB uuu r
方向上的投影. 【答案】（1）
1
2
；（2）25 【解析】（1）由题知(3,4)A -,()6,3B -,
，
A Q ,
B ,
C 共线即为AB u u u v ,AC u u u
v 共线
解得1
2
m =
（或由AB AC λ=u u u v u u u u u v 求解） （2）由题知0AB AC ⋅=u u u u v u u u v
解得74
m =
向量OA u u u v 在OB uuu
r 方向上的投影为
OA
u u u u v
练习4. ．已知中，，
，边
上一点满足
，
.
(I)证明：为的内角平分线； (Ⅱ)若，求
.
【答案】(Ⅰ)见解析.（Ⅱ）.
【解析】（I ）因为
所以
，
又因为，，所以，
所以为的内角平分线.
（方法二：提示：根据向量加法的平行四边形法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）
（Ⅱ）中，，中，，
∵，，，
∴，
中，，
中，，
∴，.
（七）向量数量积在三角和几何上应用
例7. 如图所示，在平面上，点，点在单位圆上且.
（1）若点，求的值：
（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.
【答案】（1）﹣，（2）．
【解析】（1）由条件得B（﹣，），∠A OB=θ，
∴tanθ==﹣，
∴tan2θ = = = ，
∴tan（2θ+）= = =﹣．
（2）由题意得=||||sin（π﹣θ）=sinθ．
∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），
∴=+=（1+cosθ，sinθ），
∴•=1+cosθ，
∴+•=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π），
∵＜＜，
∴﹣＜sin（）≤1，
∴•．
∴+•的取值范围为．
练习1.根据平面向量基本定理，若为一组基底，同一平面的向量可以被唯一确定地表示为
=，则向量与有序实数对一一对应，称为向量的基底下的坐标；特别地，若分别为轴正方向的单位向量，则称为向量的直角坐标.
（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若，则；
（II）如图，直角中，，点在上，且，求向量在基底
下的坐标.
【答案】（I ）见解析.（II ）.
【解析】（I ）证明：根据题意： ⇒
∴
，（4分）∴
.
（II ）解：法一（向量法）：根据几何性质，易知，
从而，所以
， 化简得：
，所以
在基底下的坐标为
.
法二（向量法）：同上可得：，所以
. 上法也可直接从
开始∴
.
法三（向量法）：设，则利用共线可解
得.
法四（坐标法）：以为坐标原点，
方向为轴正方向建立直角坐标系（以下坐标法建系同），则，由几何意义易得的直角坐标为
. 设
，则
=
，又知
，则由
三点共线易得
.
法六（坐标法）：完全参照《必修4》P99例8（2）的模型和其解答过程，此处略. 法七（几何图形法）：将分解在
方向，利用平几知识算出边的关系亦可. 法八（向量法）：设，则
①；
由
②，由
①，②解得. 所以
在基底
下的坐标为
.
练习2.．如图，在ABC ∆中，
， 5AD DB =u u u v u u u v
，点M 在CD 的延长线上，
点P 是边BC 上的一点，且存在非零实数λ，使
.
（Ⅰ）求AB u u u v 与BC uuu
v 的数量积；
（Ⅱ）求AP u u u v 与CD uuu
v 的数量积.
【答案】(Ⅰ)-18；(Ⅱ) 63
5
-. 【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中
，
由余弦定理得，
所以4BC =，
所以ABC ∆是等腰三角形，且AC BC =，
所以,
所以
（Ⅱ）由,
得，
所以点P 在BAC ∠的角平分线上， 又因为点P 是边BC 上的一点，
所以由角平分线性质定理得，
所以25
CP CB =u u u v u u u v .
21 因为5AD DB =u u u v u u u v ， 所以16AD AB =u u u v u u u v .
设，
则，． 由25CP CB =u u u v u
u u v ，得， 所以，
又， 所以。