高中高中数学第二章统计2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关课件新人教A版必修3

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解:(1)画出散点图.
(2)判断变量x,y是否具有相关关系?如果具有相关关系,那么是正相关还是 负相关?
解:(2)具有相关关系.根据散点图,左下角到右上角的区域,变量x的值由小 变大时,另一个变量y的值也由小变大,所以它们具有正相关关系.
方法技巧 两个随机变量x和y是否具有相关关系的确定方法: (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断 (如本题); (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断; (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
4
4
解:(2)由表中的数据得: xi yi =52.5, x =3.5, y =3.5, xi2 =54,
i 1
i 1
n
所以 b =
xi yi n x y
i 1
n
xi2

2Hale Waihona Puke nx=52.5 4 3.5 3.5 54 4 3.52
=0.7,
i 1
a = y - b x =3.5-0.7×3.5=1.05,
年份x
储蓄存款 y(千亿元)
2013 5
2014 6
2015 7
2016 8
2017 10
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x-2 012,z=y-5 得到表2:
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z关于t的线性回归方程;
5
5
解:(1) t =3, z =2.2, ti zi=45, ti2 =55,
知识探究
1.相关关系与函数关系不同 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种不确定性关系. 2.正相关和负相关 (1)正相关 在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关 关系,我们就称它为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关 关系,我们就称它为负相关.
+xn), y = 1 (y1+y2+…+yn),显然回归直线经过( x , y ).故 A 是正确的.回归直线最 n
能近似刻画点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的变化趋势,但并不一定经过某些点,故 B 是错误的.对于 C,D 只需了解相应概念便会得出正确的结论.
正解:B
编后语
a , b 的计算量大,所以计算时要仔细,避免计算错误,若已知 b 或 a ,则可以借
助于回归直线过样本点的中心( x , y )求出另一个参数,写出回归直线方程.利
用所求的回归方程去估计总体的变化情况,这是函数与方程思想的主要表现.
即时训练3-1:(2017·甘肃省高台期末)某地随着经济的发展,居民收入逐年增 长,下表是该地一银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如表1:
③y 与 x 正相关且 y =5.437x+8.493;
④y 与 x 正相关且 y =-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是
.
答案:①④
课堂探究·素养提升
题型一 判断相关关系
【例1】 若变量x,y有如下观察的数据:
x 151 152 153 154 156 157 158 159 160 162 163 164 y 40 41 41 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5 (1)画出散点图;
即时训练1-1:(2017·四川泸州期末)对于变量x,y有以下四个散点图,由这四 个散点图可以判断变量x与y成负相关的是( )
解析:对于A,散点图呈片状分布,不具相关性;对于B,散点图呈带状分布,且 y随x的增大而减小,是负相关,对于C,散点图中y随x的增大先增大再减小, 不是负相关;对于D,散点图呈带状分布,且y随x的增大而增大,是正相关.故 选B.
• 常常可见到这样的同学,他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具,下课铃一响,就迫不及待地“逃离”教室。实际上,每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么,课后的“黄金时间”可以用来做什么呢?
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题,应该在课堂上标出来,下课时,在老师还未离开教室的时候,要主动请老师讲解清楚。如果老师已
2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
目标导航 课标要求 素养达成
1.理解两个变量的相关关系的概念. 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具 有相关关系. 3.会求回归直线方程. 4.能利用回归方程由一个变量的变化去推测、估计另一 个变量的变化.
2.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:
广告费用 x(万元)
4
2
3
5
销售额 y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 y = b x+ a 中的 b 为 9.4,则 a 的值为( A )
(A)9.1 (B)9.4 (C)65.5 (D)42
3.设有一个回归方程为 y =2-2.5x,则变量 x 增加一个单位时( C )
i1
i 1
b = 45 5 3 2.2 =1.2, 55 5 9
a = z - bt =2.2-3×1.2=-1.4, 所以 z=1.2t-1.4.
(2)通过(1)中的方程,求出y关于x的回归方程; (3)用所求的回归方程预测到2022年年底,该地储蓄存款可达多少?
解:(2)t=x-2 012,z=y-5,代入z=1.2t-1.4得到: y-5=1.2(x-2 012)-1.4,即y=1.2x-2 410.8. (3)所以y=1.2×2 022-2 410.8=15.6, 所以预测到2022年年底,该地储蓄存款额可达15.6千亿元.

i1 n
i1
y bˆx.
xi
x
2
= i1 n
xi2

2
nx
,
i1
探究:根据线性回归直线方程的求解方法,则线性回归直线方程必过哪个定点?
提示:线性回归直线方程必过定点( x , y ).
【拓展延伸】
求线性回归方程的注意事项 (1)利用散点图判定两个变量是否具有线性相关关系,注意不要受个别点 的位置的影响.
(A)y 平均增加 2.5 个单位 (B)y 平均增加 2 个单位 (C)y 平均减少 2.5 个单位 (D)y 平均减少 2 个单位
4.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归方程,分 别得到以下四个结论:
①y 与 x 负相关且 y =2.347x-6.423;
②y 与 x 负相关且 y =-3.476x+5.648;
题型四 易错辨析
【例 4】 由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到线性回归方程 y = b x+ a , 那么下列说法中错误的是( )
(A)直线 y = b x+ a 必经过点( x , y )
(B)直线 y = b x+ a 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点
通过线性回归直线方程的学习,使学生理解最小二乘法 的思想,提高数据分析的素养.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
【情境导学】
导入一 “名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平就越高,那么学生 的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗?即学生成绩与教师水平之间 存在着某种联系,但又不是必然联系,对于学生成绩与教师水平之间的这种非函数的 不确定关系,我们称之为相关关系.这就是我们这节课要共同探讨的内容. 导入二 【实例】 (1)吸烟可导致肺癌. (2)y=x2+5(x∈R). (3)如表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.
(4)求回归方程 若两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则所求的回
归方程为 y = b x+ a ,其中 a , b 为待定的参数,由最小二乘法得:


n
xi x yi y
n
xi yi nx y

n
xi yi nx y
(C)直线 y = b x+ a 的斜率为 b
i 1 n
xi2

2
nx
i 1
(D)直线 y = b x+ a 的截距为 a = y - b x
错解:A
纠错:不理解线性回归方程的真正含义 .因为 y = b x + a , 其中 x = 1 (x1+x2+ … n
气温(℃)
25
18
12
10
4
0
杯数
18
30
37
35
50
54
想一想 1:吸烟一定可导致肺癌吗?吸烟与患肺癌有关吗?实例(2)中x,y间 又是什么关系? (吸烟不一定患肺癌,但它们有一定的关系.y=x2+5(x∈R)中x,y是一种函数 关系,是确定的) 想一想 2:实例(3)中小卖部卖出的热茶杯数与当天气温有关吗?两者之间 是如何变化的? (两者间有关系;随着气温的降低卖出的热茶杯数增加)
(2)求回归方程,关键在于正确求出系数 a , b ,由于 a , b 的计算量大,计算时应仔细 谨慎,分层进行,避免因计算而产生的错误.
自我检测
1.(2017·辽宁葫芦岛期中)观察下列散点图,则①正相关,②负相关,③不 相关,这三句话与散点图的位置相对应的是( D ) (A)①②③ (B)②③① (C)②①③ (D)①③②

n
2
x
, a = y - b x ,计算 b , a 的值;
i 1
(4)写出回归方程.
即时训练2-1:(2018·青岛高一检测)已知变量x,y有如下对应数据.
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图;
解:(1)散点图如图所示.
(2)用最小二乘法求关于x,y的回归直线方程.
解:(2) x = 1 2 3 4 = 5 , y = 1 3 4 5 = 13 ,
4
2
4
4
4
4
xi yi =1+6+12+20=39. xi2 =1+4+9+16=30,
i 1
i 1
b
=
39
4
5 2
13 4
=
13
,
30 4 ( 5)2 10
2
a = 13 - 13 × 5 =0, 4 10 2
所以 y = 13 x 为所求回归直线方程. 10
题型三 利用回归方程对总体进行估计
3.回归直线方程
(1)回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变
量之间具有
关系,这条直线叫做回归直线;
(2)回归方程 线性相关
与回归直线对应的方程叫回归直线的方程,简称回归方程;
(3)最小二乘法
求回归直线时使得样本数据的点到回归直线的
的方法
叫做最小二乘法;
距离的平方和最小
【例3】 (2017·杭州月考)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所 花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如表:
零件个数x(个)
2
3
4
5
加工时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图:
解:(1)散点图如图:
(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b x+ a ,并在坐标系中画出回归直线;
解:(2)数据如表.
i
xi
yi
x i2
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
5
xi yi 5x y
设所求回归方程为 y = b x+ a ,则由表可得 b =
i 1 5
xi2

2
5x
=0.5, a = y - bx =0.4,
所以 y =0.7x+1.05,回归直线如图.
(3)试预测加工10个零件需要多少时间?
解:(3)将 x=10 代入回归直线方程, 得 y =0.7×10+1.05=8.05(小时), 所以预测加工 10 个零件需要 8.05 小时.
方法技巧
求回归直线方程,关键在于正确地求出回归系数 a , b ,由于
题型二 求回归直线方程 【例2】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表.
商店名称
A
B
C
D
E
销售额(x)/千万元
3
5
6
7
9
利润额(y)/百万元
2
3
3
4
5
(1)画出销售额和利润额的散点图;
解:(1)散点图如图.
(2)若销售额和利润额具有相关关系,计算利润额y对销售额x的回归直线 方程.
i 1
故所求回归直线方程为 y =0.5x+0.4.
方法技巧 用公式求回归方程的一般步骤
(1)列表:根据 xi,yi,求 xi2 ,xiyi;
n
n
(2)计算 x , y , xi2 , xi yi ;
i 1
i 1
n
xi yi nx y
(3)代入公式 b =
i 1 n
xi2
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