2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
锥体的体积公式 V= 1 Sh(S 为底面面积,h 为高); 3
(A) 28π (B) 32π (C) 52π (D) 56π
3
3
3
3
解析:由题意可知:几何体是如图所示上面是半圆锥,下部是半个圆柱,底面
半径是 2,圆柱的高为 4,圆锥的高为 2,几何体的体积为 1 π×22×4+ 1 ×
2
2
1 π·22×2= 28π .故选 A.
3
3
即时训练3-2:如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几 何体的表面积是( )
2.已知四面体 ABCD 中,AB=CD= 13 ,BC=AD=2 5 ,BD=AC=5,求四面体 ABCD 的体积.
解:以四面体的各棱为对角线还原为长方体,如图. 设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,
x2 y2 13,
则

y
2

z2

20,

x
2

z2

25,
x 3,
2
题型二 空间几何体的体积 [例 2] (12 分)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是 16 2 π ,求圆锥的 体积.
规范解答:设圆锥的底面半径是 r,母线为 l.………………………………1 分 因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形. 所以 2r= l2 l2 ,即 l= 2 r.………………………………………………3 分 由题意得,侧面积 S 侧=πrl= 2 πr2=16 2 π, 解得 r=4.……………………………………………………………………5 分 所以 l=4 2 ,圆锥的高
台体的体积公式 V= 1 (S′+ SS +S)h. 3
名师点津 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:
S 圆柱侧=2π rl
S 圆台侧=π (r′+r)l
S 圆锥侧=π rl.
(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系:
V 柱=Sh
V 台= 1 (S′+ SS +S)h 3
V 锥= 1 Sh. 3
所以 CD= 12 ,记为 r= 12 ,那么△ABC 以 AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是
5
5
两个同底的圆锥,且底面半径 r= 12 ,母线长分别是 AC=3,BC=4, 5
所以 S 表面积=πr·(AC+BC)=π× 12 ×(3+4)= 84 π,
5
5
V= 1 πr2(AD+BD)= 1 πr2·AB= 1 π×( 12 )2×5= 48 π.
即时训练 1-1:(2018·雅安高一期末)如图是一个几何体的三视图,图中每个 小正方形边长均为 1 ,则该几何体的表面积是( )
2
(A)3+ 2 + 5 (C)8+ 3 + 7
(B)6+2 2 +2 5 (D)10+ 2
解析:由几何体的三视图可知几何体的直观图如图:PO⊥底面 ABCD,
PO=2,AB=BC=2,ABCD 是正方形,AB⊥AD,
解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h,则由题意得 l= 2 r,h=r,
因为 V = 圆锥 1 πr2·h= 1 πr2·r= 3 π,
3
3
所以 r= 3 ,l= 6 , 所以 S 圆锥侧=πrl=π× 3 × 6 =3 2 π.
方法技巧
(1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法:直接代入公式求解. ②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和 高都易求的形式即可. ③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截 面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
则 PB=PA= 5 ,△PCD 的高为 2 2 .
则该几何体的表面积是 1 ×2×2+2×2+2× 1 × 5 ×2+ 1 ×2×2 2 =6+
2
2
2
2 2 +2 5 .故选 B.
[备用例1] (2018·四川乐山期末)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正 方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( )
1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
目标导航
课标要求
1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台 体的表面积与体积的求法. 2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式,能运用柱、锥、 台体的表面积公式进行计算和解决有关的实际问题.
素养达成
通过对柱、锥、台体的表面积和体积公式的学习,提升学 生的空间想象能力和思维能力.
课堂探究·素养提升
题型一 空间几何体的表面积 [例1] (1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是( )
(A)4π
(B)6π
(C)8π
(D)10π
解析:(1)由已知可得该几何体为圆柱,且圆柱的底面直径为2,高h=4, 即圆柱的底面半径r=1,故该几何体的侧面积S=2πrh=8π.故选C.
(2)棱长为 a 的正四面体的表面积是( )
(A) 3 a3 4
(B) 3 a3 12
(C) 3 a2 4
(D) 3 a2
解析:(2)因为边长为 a 的正四面体的表面为 4 个边长为 a 的正三角形,
所以表面积为 4× 1 ×a× 3 a= 3 a2.故选 D.
2
2
方法技巧
结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点,解决此类问题的关键 是正确地观察三视图,把它还原为直观图,特别要注意从三视图中得 到几何体的相关量,再结合表面积公式求解.
2
2
侧面的面积为 1 ×1× 2 = 2 cm2;
2
24
故组合体的表面积 S=5×1+4× 2 =(5+ 2 )(cm2).故选 A. 4
课堂达标
1.若圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的表面积为( C ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π
解析:设圆锥的母线长为 l,则 l= 31 =2,所以圆锥的表面积为 S=π×1× (1+2)=3π.
h= l2 r2 =4.…………………………………………………………………9 分 所以圆锥的体积
V= 1 Sh= 1 ×π×42×4= 64π .………………………………………………12 分
33
3
变式探究:例 2 中将条件“侧面积是 16 2 π ”改为“若其体积为 3 π ”, 求此圆锥的侧面积是多少?
新知导学·素养养成
1.柱体、锥体、台体的表面积公式
多面体 圆柱 圆锥
图形
表面积公式
多面体的表面积就是各个面. 的面积的和,也就是展开图. 的面积
底 侧 表面 面 面积 积 积:::SSS=底侧==π2π2rπ2rlr+l2π
. r2
.
底面积:S底= 侧面积:S侧= 表面积:S=
π r2 . π rl
即时训练2-1:(2018·合肥高一期末)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗 线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A源自 32 3(B) 16 3
(C) 16 5 3
(D) 32 5 3
解析:由三视图可知几何体为棱长为 4 的正方体中切出的三棱锥 P-ABC,作出直 观图如图所示,正方体的棱长为 4,其中 A,B,P 分别是正方体棱的中点,则棱锥
则 V=23- 1 ×1·π·12=8- π .
3
3
S=2×2×6-π·12+π·1× 2 =24+( 2 -1)π. 答案:8- π 24+( 2 -1)π
3
(A)(5+ 2 )cm2 (C)(6+ 2 )cm2
(B) 21 cm2 4
(D)6 cm2
解析:由已知中的三视图,可知该几何体是下部是一个四棱柱(正方体)与上 部是四棱锥的组合体,四棱柱(正方体)的棱长为 1 cm,故每个面的面积为
1×1=1 cm2,四棱锥的底面边长为 1 cm,高为 1 cm,故斜高为 2 cm.故每个
题型三 组合体的表面积与体积 [例3] 已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将 此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.
解:如图,在△ABC中,过C作CD⊥AB,垂足为D. 由AC=3,BC=4,AB=5, 知AC2+BC2=AB2, 则AC⊥BC. 因为BC·AC=AB·CD,
(A)4 3
(B)4 5
(C)4( 5 +1)
(D)8
解析:因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥, 其主视图为原图形中的三角形 PEF,如图.
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2, 高 PO=2,则四棱锥的斜高 PE= 22 12 = 5 . 所以该四棱锥侧面积 S=4× 1 ×2× 5 =4 5 .故选 B.
3
3
3
5
5
所以,所求旋转体的表面积是 84 π,体积是 48 π.
5
5
方法技巧
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结 构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分 清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.
即时训练3-1:某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1, 则该几何体的体积是( )
所以

y

2,

z

4.
因为 VDABE
=
1 3
DE·S△ABE=
1 6
V
, 长方体
同理, VCABF
= VDACG
= VDBCH
=
1 6
V
, 长方体
所以 V 四面体 =V ABCD 长方体-4× 1 V = 长方体 1 V 长方体.
6
3
而 V 长方体=2×3×4=24,
所以 V 四面体 ABCD=8.