扩频通信中的伪随机码设计

扩频通信中的伪随机码设计
摘要
扩频通信与常规通信系统相比，具有较强的抗人为干扰、窄带干扰和多径干扰能力，和信息隐藏以及多址保密通信等优点，因此在军事通信、移动通信等领域得到了广泛的应用。

扩频通信的核心问题之一是扩频码的设计，即PN码的设计问题。

随着扩频通信技术的开展，伪随机码在扩频通信中的作用越来越重要。

本文主要介绍m 序列、M序列、Gold序列及混沌序列的原理、构造方法及特性分析，并通过Matlab 进行仿真来验证各个伪随机序列的随机特性，以期为以后的扩频通信中伪随机码的设计提供一些有意义的指导。

关键词：计算机仿真;扩频;m序列;M序列;Gold序列;混沌序列
The pseudo-random code design in Spread Spectrum Communications
ABSTRACT
Spread spectrum communication has many advantages over the conventional communication systems such as strong anti-human interference, narrow-band interference, multipath interference capabilities, information hiding, multiple access confidential communications and so on. So it has been widely applied in military communications, mobile communications and other fields. One of the core issues in Spread Spectrum Communications is the design of Spreading Codes. That is the designing problem of PN code. With the development of Spread spectrum communication technology, Pseudo-random code plays a more and more important role in Spread spectrum communication. This paper presents the principles, structures and character analyzing of m sequence, M Series, Gold sequence and chaotic sequence. Furthermore, random character of various pseudo-random sequences is verified by simulation experiments with Matlab in order to provide some meaningful guidance for Pseudo-random code design in Spread Spectrum Communications.
Keywords: computer simulation ;Spread spectrum ;m-sequence;M-sequence; Gold- sequence;haotic-sequence
目录
1. 绪论 (5)
1.1 研究的目的和意义 (5)
1.2 国内外研究现状 (5)
1.3 扩频的理论根底 (6)
1.3.1 香农信道公式 (6)
1.3.2 最正确相关接收 (8)
1.3.3 伪随机序列的相关概念 (8)
1.3.4 伪随机序列的数学定义 (9)
1.3.5 伪随机序列的相关性 (10)
1.3.6 有限域的理论简介 (11)
1.4 本文主要研究内容 (14)
2. 常用伪随机码 (14)
2.1 m序列 (14)
2.1.1 m序列的定义 (14)
2.1.2 m序列的性质 (15)
2.1.3 m序列的相关性 (15)
2.1.4 m序列的构造 (16)
2.1.5 m序列的simulink仿真 (16)
2.1.6 m序列的相关性仿真 (18)
2.2 M序列的性质 (18)
2.2.1 M序列的仿真 (20)
2.3 Gold序列 (21)
2.3.1 m序列优选对 (22)
2.3.2 Gold序列产生的方法 (23)
2.3.3 Gold序列的相关特性 (24)
2.3.4 Gold序列的相关特性仿真 (25)
2.3.5 Gold序列的相关特性与m序列的相关特性比拟仿真 (26)
2.3.6 平衡Gold码 (27)
2.3.7 平衡码的产生 (28)
2.3.7.1 特征相位 (28)
2.3.7.2 相对相位 (28)
2.3.7.3 平衡Gold码产生器的simulink仿真 (30)
3. 混沌序列 (31)
3.1 Logistic-Map的定义及所产生混沌的特性 (32)
3.1.2 Logistic-Map混沌序列的仿真 (33)
3.1.3 Logistic-Map混沌序列的相关性仿真 (36)
3.2 Logistic-Map数字实现 (37)
3.3 数字混沌序列 (38)
参考文献: (40)
1. 绪论
研究的目的和意义
扩频通信与常规通信系统相比，具有较强的抗人为干扰、窄带干扰和多径干扰能力，和信息隐藏以及多址保密通信等优点，因此在军事通信、移动通信等领域得到了广泛的应用。

扩频通信系统将待传输信息的频谱用某个特定的扩频函数扩展成为宽带信号，送入信道传输，再利用相应手段将其压缩，从而获取传输信息。

根据香农理论，在相同噪声条件下，可以通过增加传输带宽来获得较低的信息过失率和较高的抗干扰能力。

扩频通信所需要的带宽往往远高于待传输信息的带宽，从而在理论上可以获得较好的抗干扰性能。

20世纪50年代，哈尔凯维奇等人在理论上证明了要克服多径衰落干扰和窄带干扰等，信道中传输的信号形式应该是具有白噪声统计特性的信号形式。

伪随机序列具有良好的随机性, 它的相关函数接近白噪声的相关函数( 函数) , 使它易于从其它信号或干扰中别离出来。

伪随机序列具有可确定性、可重复性, 使它易于实现相关接收或匹配接收。

伪随机序列的这两个特性使它在伪码测距、导航、遥控遥测、扩频通信、多址通信、别离多径、数据加扰、信号同步、误码测试、线性系统测量、各种噪声源等领域中得到有广泛的应用。

扩频通信中采用伪随机序列作为其扩频函数，所采用伪随机序列性能的好坏将直接决定扩频通信系统的整体性能，因此，对扩频通信中的伪随机码的设计和产生等方面的研究具有重要的理论指导意义和实际应用价值。

国内外研究现状
早在20世纪50年代就首次出现了“扩频〞〔spread spectrum〕这一术语，它是用于描述一种信号调制技术，这种调制技术具有导航和通信所期望的一些特性〔特别是在干扰环境下〕。

扩频概念其实可以追溯到更早的时候，从二十世纪二十年代到第二次世界大战期间，人们研究的一些军事电子系统〔如雷达〕中已经集成了某种扩频系统的特性，扩频是第二次世界大战战场上进行电子干扰和抗干扰的自然产物，直到今天扩频在军事领域中的应用还在不断开展。

扩频技术在导航和通信领域两个最具影响力和最众所周知的系统是全球定位系统〔GPS〕和码分多址〔CDMA〕商用移动通信系统。

GPS使用直接序列扩频信号进行定位，为导航带来了革命性的变化，在全球范围内为各种形式的用户提供精确的实时位置、速度和时间信息。

CDMA移动通信系统也普遍采用直接序列扩频技术，它是一种全新的多址接入方式，具有容量大、业务质量好等特点，使其在第三代移动通信中成为多址接入方式的主流，在未来的通信系统中也将得到广泛的应用。

扩频通信中的一个重要理论和技术根底就是伪随机序列的产生和伪随机信号的处理。

伪随机序列的理论与应用研究大体上可以分为三个阶段：〔1〕纯粹理论研究阶段〔1948以前〕；〔2〕m序列研究的黄金阶段〔1948-1969〕；〔3〕非线性生成器的研究阶段〔1969-现在〕。

1948年以前，学者研究伪随机码序列的理论仅仅是其优美的数学结构。

最早研究可以追溯到1894年。

作为一个组合问题来研究所谓的De Bruijn序列；上世纪30年代，环上递归序列那么成为人们研究的重点。

1948年的Shannon信息论诞生后，这种状况得到了改变，伪随机序列逐渐被广泛的应用在通信以及密码学等重要的技术领域。

Shannon证明了“一次一密〞是无条件平安的，无条件平安的密码体制要求进行保密通信的密钥至少与明文量一样大。

因此在此后的一段时间内，学者们一直致力于研究具有足够长周期的伪随机序列。

如何产生这样的序列是20世纪50年代早期的研究热点。

线性反应移位存放器(LFSR)序列是这个时期研究最多的。

因为一个n级的LFSR可以产生周期为2的n次方减1的最大长度序列，而且具有满足Golomb随机性假设的随机特性，通常称之为m序列。

但是，在1969年Massey发表了“移位存放器综合与BCH译码〞一文，引发了序列研究方向的根本性变革，从此伪随机序列的研究进入了构造非线性序列生成器的阶段。

Berlekamp-Massey算法指出：只要序列的线性复杂度为n，那么只需要2n个连续比特就可以恢复出全部序列。

从这个结论可以看出m-序列是一种‘极差’序列，它的线性复杂度太小，因而不能够直接用来做密码系统的密钥序列[8]。

从这里还可以看到仅仅靠Golomb的三个伪随机性假设来评测序列是不够的，还需要其它的一些指标。

随着通信容量的不断扩大和对通信保密性能要求不断增强等情况下，较早的一些伪随机序列的局限性逐渐暴露。

近年来随着非线性理论、混沌理论和分形理论等的成熟，将混沌、分形等技术应用于通信领域逐渐成为研究的热点。

应用混沌或分形理论产生的伪随机序列可以提供数量众多、非相关、类随机而又确定可再生的信号，从而弥补了传统扩频序列数量少的缺憾。

1.3 扩频的理论根底
扩频技术是将要发送得信息频谱拓宽到一个很宽的带宽上进行发射，接收端利用相关接收的原理将其带宽压缩，恢复成原来的带宽窄带信号。

通常的实现方式是将待扩频的信号与一个扩频函数〔一般是伪随机编码信号〕在时域上相乘，来扩展信号的频谱。

扩频系统有两个显著的特性[1]：
（1）传输带宽远大于被传送的原始信号带宽；
（2）传输带宽主要由扩频函数决定。

由这两个特征可以看出，传统的调制方式，虽然信号的带宽有所拓宽，但均不属于扩频系统。

扩频系统的理论根底是香农的信道公式和相关接收理论，在这里我们先讨论一下香农的信道公式和相关接收理论。

香农信道公式
香农定理指出，在高斯白噪声条件下，通信系统的极限传输率〔信道容量〕可表示为：
2log 1S C B N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
〔1-1〕 式子中，B 为信号带宽，S 为信号的平均功率，N 为噪声功率。

对式〔1-1〕进行换底变换，那么有
1.44ln 1C S B N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
〔1-2〕 通常情况下，1S N ，对式子〔1-2〕进行幂级数展开，并略去高次项，那么有
/ 1.44
S C B N
= 〔1-3〕 假设白噪声的功率谱密度是0n 时，噪声功率是0N n B =,那么信道容量又可表示为
20log (1)B
S C B n =+ 〔1-4〕 香农第二定理还指出，假设信源的信息速率是R 小于信道容量是C ，那么通过适当的编码，能以任意小的过失概率通过信道进行传输。

由式〔1-1〕和式〔1-3〕可以看出，对于任意给定的信噪比，只要增加传输带宽，只可以保持信道容量不变，即可以任意小的过失概率进行传输。

结合式〔1-1〕到式〔1-3〕得出如下结论：
（1） 增加信道容量的方式有两种，一是增加传输带宽；而是增加信噪比S/N 。

由于
C 与B 成线性关系，而C 与S
N 呈对数关系，因此，增加B 比增加S N 更有效。

（2） 当信道容量C 为常数时，带宽B 与信噪比S
N 可以互换，即可以通过增加带宽来降低对信噪比S N 的要求；也可以通过增加信号功率S ，降低信号的带宽。

（3） 显然信道容量不可能无限增加。

有式〔1-1〕可知，信道容量与信号的带宽成
正比，增加信号带宽，可增加信道容量，但B 增加到一定程度后，C 的增加缓
慢。

因此由式〔1-3〕可知，由于噪声功率为0N n B =，B 的增加势必导致信噪
比的下降。

我们考虑B →∞时的情况，看看信道容量的极限值。

对式〔1-3〕
两边同时取极限，有：
022000
lim lim log (1)lim[log (1)]()B B B n B S S S C B n B S n B n →∞→∞→∞=+=+ 考虑到221lim log (1)log 1.44x x e x
→∞+==。

那么有
lim 1.44()B S C n →∞= 〔1-5〕 可见，当信号功率S 和噪声功率谱密度一定时，信道容量也是有限值。

当带宽趋于无穷时，极限得信息速率，即信道容量为max 01.44S
R C n ==，用b E 表示
码元能量，那么b S RE =，那么当B →∞时，有
00max 11.44b E S n n R == 〔1-6〕 由此可得信道最小得信噪比为
()01() 1.61.44
b E dB n ==- 〔1-7〕 最正确相关接收
信号的相关性是指信号的某个参数〔特定标记，如振幅，频率，相位等〕在时间坐标上有规定的时间关系，我们将具有这种性质得信号称为相关信号。

由于相关信号具有这样的特性，我们可以对相干信号与噪声的混合波形进行某种时域运算，然后根据一定的法那么进行判决，从而把原来的相干检测，实现相关检测的常用方法是相关接收。

在数字通信系统中，常用的最正确相关接收的判决法那么有最小均方误差准那么，最大输出信噪比和最大后验概率准那么。

伪随机序列的相关概念
四十年代末，信息论的奠基人香农(CE.Shannon)提出的编码定理指出:只要信息速率b R 小于信道容量C ，那么总可以找到某种编码方法，在码周期相当长的条件下，能够几乎无过失的从收到高斯噪声干扰的信号中复制出原发信息[6]。

这里有两个条件，一是b R 小于C ，二是编码的码周期足够长。

同时香农在证明编码定理的时候，提出用具有白噪声统计特性的信号来编码。

白噪声是一种随机过程，它的瞬时值服从正态分布，功率谱在很宽频带内都是均匀的。

但是至今无法实现对白噪声放大、调制、检测、同步及控制等，而只能用具有类似于限带白噪声统计特性的伪随机序列信号来逼近它，并作为扩频系统的扩频码。

六十年代末，一些易于产生、加工和复制且具有白噪声性质的“伪噪声编码技术〞日趋成熟，因此高效抗干扰编码通信变得蓬勃开展起来。

同时用各种不同波形的正交码来实现波形分割的码分多址通信也相继出现，实现了无线用户的随意呼叫通信。

这种技术在地面多址通信和卫星通信中都可采用。

由于码分多址通信有抗干扰性能强和一定程度的保密性等一系列优点，所以首先引起国防军事通信部门的注意，并出现了一些军用战略卫星通信
的码分系统和超短波战术通信的码分系统。

民用通信方面，也相继出现一些具体的方案。

伪随机序列(伪随机码)的一般定义是:如果一个序列，一方面它的结构(或形式)是可以预先确定的，并且是可以重复地产生和复制的;另一方面它又有某种随机序列的随机特性(即统计特性)，我们称这种序列为伪随机序列(伪随机码)。

二进制的伪随机序列虽然只有两个电平，但却具有类似白噪声的相关特性，只是幅度概率分布不再服从高斯分布。

它应具有如下特性:
(1) 每一周期内0和1出现的次数近似相等;
(2) 每一周期内，长度为n 比特的游程出现的次数比长度为n+l 比特游程次数多一倍(游程是指相同码元的码元串)。

(3) 对于狭义伪随机序列，将给定随机序列位移任何一个非零数个元素，所得的序列将和原序列有一半的元素相同，一半的元素不同。

具有良好的伪随机特性和相关特性的扩频编码对于扩频通信是非常重要的，对扩频通信的性能具有决定性的重要作用。

在扩频通信系统中，抗干扰、抗噪声、抗截获、信息数据隐蔽和保密、抗衰落、多址通信、实现同步与捕获等都是与扩频码的设计密切相关的。

能满足这些要求的伪随机序列应具有如下特性[3]:
(1) 具有锋利的自相关函数，而互相关函数应接近于零。

(2) 有足够长的码周期，以确保抗侦破、抗干扰的要求。

(3) 有足够多的编码，以实现码分多址的要求。

(4) 工程上易于产生、加工、复制和控制。

伪随机序列的数学定义
白噪声是一种随机过程，瞬时值服从正态分布，自相关函数和功率谱密度有极好的相关性，伪随机序列是针对白噪声演化而来的，只有“0〞和“1〞两种电平，因此伪随机编码概率分布不具备正态分布形式。

但当序列足够长时，由中心极限定理可知，它趋近于正态分布，由此，伪随机序列定义如下[7]：
1 凡自相关系数具有
211
110()110N i i
a n i i j i a j N R j a a j N N =+=⎧= =⎪⎪=⎨⎪=- ≠⎪⎩∑∑ 〔1-8〕 形式的序列称为狭义伪随机序列。

2 凡自相关系数具有
211
110()11,0N i i a n i i j i a j N R j a a C C j N =+=⎧= =⎪⎪=⎨⎪= <≠⎪⎩∑∑ 〔1-9〕
形式的序列，成为第一类广义伪随机序列。

3 凡互相关系数具有
()1()0ab ab R j R j ≈或 〔1-10〕
形式的序列，称为第二类广义伪随机序列。

4 凡相关系数满足1，2，3三者之一的序列，统称为伪随机序列。

由上面的四种定义可以看出，狭义伪随机序列是第一类广义伪随机序列的一种特例。

伪随机序列的相关性
在扩频系统中，对伪随机序列而言，最关心的问题就是其相关特性，包括自相关性、互相关性及局部相关性。

自相关性能好，那么便于检测，而互相关性能好，那么便于区分不同用户的信号，实现多址通信。

下面分别给出这些相关函数的定义。

设有两条长为N 的序列{}i a 和{}i b ，(i=0，1，2，……，N-1)。

那么序列的自相关函数定义为:
1
1()mod N a i i j i R j a a N N -+== ∑ 〔1-11〕 而互相关函数定义为:
1
1()mod N ab i i j i R j a b N N -+== ∑ 〔1-12〕 对于{}0,1二进制序列，自相关函数可以表示为
21()a A D A D R j N A D N
--=
=+ 〔1-13〕 其中，A 表示“0〞的个数，而D 表示“1〞的个数。

而对于互相关函数来说，有
1()a A D R j N A D
-=+ 〔1-14〕 其中，A 表示{}i a 和{}i b 两序列对应位码元相同的个数，而D 表示两序列对应位码元不同的个数。

局部自相关函数定义为：
M+11()p aM i i j i p R j a a M N N
-+== ≤∑ 〔1-15〕
局部互相关函数定义为： M+11()p abM i i j i p R j a a M N N
-+== ≤∑ 〔1-16〕
其中p 为某一常数。

我们定义凡自相关函数满足
12
1
10()110N i i a N i i j
i a j N R j a a j N N -=-+=⎧ =1 =⎪⎪=⎨⎪=- ≠⎪⎩∑∑ 〔1-17〕 那么为狭义伪随机序列。

同样，我们定义凡自相关函数满足
12
1
110()110N i i a N i i j i a j N R j a a c j N -=-+=⎧= =⎪⎪=⎨⎪=< ≠⎪⎩∑∑ 〔1-18〕 那么为广义伪随机序列。

假设两个序列的互相关函数满足()0ab R j =，那么称序列{}{}i i a b 和正交。

有限域的理论简介
为更好理解伪随机序列的构造，我们先介绍一下有限域的根本概念。

设F 是一个非空集合，假设F 中的任意两个元素a,b 的和仍是F 的元素，那么称F 对于加法运算和乘法运算是封闭的[9]。

如果以下运算规那么成立，那么说F 对于所有规那么的加法和乘法运算是一个域。

对任意,a b F ∈，有
a b b a +=+ 加法交换律
对任意,,a b c F ∈，有
()()a b c a b c ++=++ 加法结合律
F 中有一个元素，记为0，对F 中的任意元素，下式成立
0a a +=
对任意两个元素,a b F ∈，有
()0a a +-=
对任意,,a b c F ∈，有b
()()····
a b c a b c = 乘法结合律 F 中有一个单位元素1，对F 中任意元素a ，下式成立
·1a a =
F 中任意非零元素a ,都有一相乘逆元素1a -，有
1·1a a -=
对F 中任意a 、b 、c 。

有：
()··
·a b c a b a c +=+ 分配律 假设F 的元素无限，那么称F 为无限域。

假设F 的元素个数有限，那么成F 为有限域或伽罗瓦〔Galois 〕域。

根据上述定义，有理数集合Q 和实数集合R 都是域，分别称为有限域和无限域。

复数集合C 也是一个域，称为复数域。

显然，这三种域均为无限域，并且R 是C 的子域。

在编码中用到的元素个数有限，通常用有限，通常用有限域来描述。

通常只含有{}01，两个元素的二元集，记为2F ，它只对模2乘才能构成一个域。

模2加及模2乘的运算规那么如下：
一般来说，对整数集{}0,1,2,,1p F p =⋅⋅⋅-，假设p 为素数，那么对于模p 加和模p 乘来说，p F 是一个有限域。

我们可以利用移位存放器作为伪随机码产生器，用来产生二元域上2F 及其扩展域2m
F 上的各个元，这里m 是正整数。

这时要用到域上多项式的概念，域上的多项式定义为：
()2
0120n
n
i n i i f x a a x a x a x a x ==+++⋅⋅⋅+=∑ 〔1-19〕
把它称为F 的n 阶多项式，i a 是F 的元，n n a x 称为()f x 的首项，n a 称为首项系数。

F 域上所有多项式集合记为()F x 。

假设()0g x ≠那么总有
()()()()f x q x g x r x =+ 〔1-20〕
这里，()r x 的阶小于()g x 的阶。

式〔2-20〕叫做带余除法算式。

当余式()0r x =时，就说
()f x 可被()g x 整除。

下面举例分析
假设()51f x x =+，()341g x x x x =+++。

计算带余除法
4
3
5542424
33
2
111
11
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
商()1q x x =+，余式()32r x x x =+，所以又可以表示为
()()54332111x x x x x x x +=++++++
假设()g x 能整除()f x ，即()0r x =，我们就说()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。

设()f x ，()g x 和()0c x ≠都是()F x 中的多项式，假设()c x 即是()f x 的因式，又是
()g x 的因式，就说()c x 是()f x 和()g x 的公因式。

我们把()f x 和()g x 中公因式中次数最高且首项系数等于1的多项式()d x 叫做它们的最高公因式，记做：
()()()(),d x f x g x = 〔1-21〕
假设()1d x =，就说()f x 和()g x 为互素多项式。

仍设()f x ，()g x 和()c x 都是()F x 中的多项式，假设()c x 既是()f x 的倍式，又是()g x 的倍式，那么称()c x 是()f x 和()g x 的公倍式，在()f x 和()g x 的公倍式中，次数最低，且首项系数为1的公倍式叫做最小公倍式，记为()(),f x g x ⎡⎤⎣⎦。

假设()p x 是()F x 中的一个次数1≥的多项式，且()p x 在()F x 中的一个因式只有F 中不等0的元素c 和()cp x ，我们就说()p x 是()F x 中的一个不可约多项式。

否那么，()p x 就是可约多项式。

显然，()p x 是不可约多项式的充要条件是()p x 不能表示为()F x 中两个次
数小于()p x 次数的多项式的乘积。

1.4 本文主要研究内容
本文的第二章主要讨论常用的伪随机码：m 序列、M 序列、Gold 序列的定义、性质、产生方法和用matlab 产生m 序列、M 序列、Gold 序列。

同时对m 序列和Gold 序列的性能进行比拟。

本文的第三章主要对各种混沌序列中的一种序列Logistic-Map 序列的特性，产生方法的分析以及用matlab 进行仿真。

同时对Logistic-Map 数字实现，数字混沌序列的性质进行分析。

2. 常用伪随机码
m 序列
最大长度线性移位存放器序列〔m 序列〕是一种很重要的伪随机序列，它是最早应用于扩频通信，也是研究得最深入的伪随机序列。

此外，m 序列也是研究和构造其他序列的根底。

2.1.1 m 序列的定义
m 序列是最长线性移位存放器序列的简称,线性移位存放器是由移位存放器加上反应后所产生的周期最长的一种序列。

如图1所示。

图中0121,,,,n a a a a -⋅⋅⋅为移位存放器的状态,0121,,,,n c c c c -⋅⋅⋅为对应级移位存放器的反应系数。

当1i c =时，表示反应存在。

当0i c =，表示反应线断开。

在线性移位存放器序列产生其中，01n c c ==。

对于一个序列{}n a ，其序列多项式为[4]
2
01200()...n
n
i n i i G x a a x a x a x a x ==++++=∑ 〔2-1〕
其中n a 取0，1两个值，符号x 次幂表示序列元素的位置。

式子〔2-1〕又称为序列多项式。

{}n a 和()G x 一一对应。

对于由反应移位存放器产生的序列，取决于反应系数，对于此反应移位存放器，气反应逻辑为
2
01200()...n
n
i n i F x c c x c x c x c x ==++++=∑ 〔2-2〕
图2-1 线性反应移位存放器
可以证明：()()
1
G x F x =
,式〔2-2〕称为序列的特征多项式。

2.1.2 m 序列的性质
(l) 平衡性
在m 序列的每一周期12n
-内， 0比l 少出现一次。

所以1的个数为1
2n -个，“0〞的
个数为1
12
n --个，这个性质很重要，因为码序列中直流分量将决定码的平衡性，用一个码
序列去调制载波时，“0〞和“1〞平衡性将决定载波的抑制度。

(2) 游程特性
周期为12n
N =-的m 序列中，总共有1
2n -个游程，其中长度等于k ，12k n ≤≤-的游
程占游程总共的
1
2
k。

“0〞和“1〞的游程数目各占一半。

长度为n-1的游程只有一个为全
“0〞游程，长度为n 的游程也只有一个，为全“1〞游程。

0020010001⎧⎪
⎨⎪⎩
“”的游程为，个，个，个 1211⎧⎪
⎨⎪⎩
“”的游程为
1，
个11，个111，个
(3) 移位可加性
一个m 序列同该序列的任意移位〔循环移位〕序列相加〔模2加〕，是该序列的另一个移位序列，即仍属于m 序列。

2.1.3 m 序列的相关性
m 序列的相关函数定义为
()1
1N i i j i R j a a N -+==∑ 〔2-3〕
由m 序列的性质可知，一个i A 和其移位序列i j A +模2加后，仍为一m 序列，记为j A ，
而m 序列中，“1〞的个数比“0〞的个数多1个，因此有
10,mod ()10,mod j N R j j N N =⎧⎪
=⎨- ≠⎪⎩ 〔2-4〕
由于m 序列是周期函数，因此自相关函数亦为周期函数，它是以周期N 重复的。

假设周期m 序列的每个码元宽度为c T ，其幅度值取{}1±，那么一个周期内〔c T NT =〕的自相关函数表达式为
()()()2
21111c
c
T c
c T c c N T N T R c t c t dt NT T N
τττττ-
⎧⎡⎤
+- ≤⎪⎢⎥⎪⎣⎦
=+=⎨⎪- ≥⎪⎩⎰ 〔2-5〕 2. m 序列的构造
产生m 序列的充要条件有下述定理给出。

其中必要条件由定理一给出，而充分条件由定理二给出[2]。

定理一：如果一个n 级线性移位存放器所产生得序列周期是21n N =-的m 序列，那么其特征多项式必然不可约。

定理二：设010(),1,1n
i i i F x c x c c ====∑是2F 域上的多项式，以()G F 代表由特征多项式所
产生得所有非零序列的集合。

于是()G F 中之非零序列均为m 序列的充要条件是()F x 为2F 上的本原多项式。

所谓的本原多项式是指()F x 可整除121N n x +=-，N ，()F x 除不尽1M x +，M N <。

下面用simulink 构造m 序列产生器[11]
2. m 序列的simulink 仿真
下面设计一个42115N =-=，n=4，查表得本原多项为41x x ++，先在MATLAB 中 画出硬件生成电路图,如图2-2 中,unit delay 即移位存放器,需要设置初值,只要不全为0 即可;xor 是表异或的逻辑门;Scope 即示波器,用来观察输出的波形。

n=4
Unit Delay 3
z
1
Unit Delay 2z
1
Unit Delay 1z
1
Unit Delay
z 1Scope
Logical Operator
X OR
boolean
boolean
boolean
boolean
boolean
图2-2 n=4的m 序列发生器
图2-3 产生的m 序列
在仿真中，设置初始值为1000，那么序列状态的变化如下
1000110011101111011110110101101011010110001110010100001000011000→→→→→→→→→→→→→→→→⋅⋅⋅
（初态）
从仿真得到的结果看到：
（1） 初始的输入为1000，经过一个周期15后。

序列回到初始状态。

满足m 序列在n=4
是周期为15要求。

（2） 在一个周期内，序列中“1〞的个数比“0〞的个数多了1个。

综上分析，使用上述方法能产生m 序列。

2. m 序列的相关性仿真
图2-4 m 序列的相关特性
由m 序列的性质可知，一个i A 和其移位序列i j A +模2加后，仍为一m 序列，记为j A ，而m 序列中，“1”的个数比“0”的个数多1个，因此有
10,mod ()10,mod j N R j j N N
=⎧⎪
=⎨- ≠⎪⎩
从图2-4对m 序列的相关特性仿真看出，m 序列的相关特性刚好符合上式的要求。

小结:
本章对常见PN 码m 序列自相关，互相关等特性作了详细的分析，它具有类似噪声的随机特性。

m 序列的性能非常接近理想的伪随机序列，有很好的自相关特性，且产生m 序列的方法简单易行，但能作为扩频地址码的可用的m 序列数目并不多。

M 序列的性质
M 序列是由移位存放器产生的最长线性序列。

其码长为n 2得周期序列。

M 已得到n 级移位存放器所能到达得最长周期，所以又称为全长序列。

它可以在m 序列的根底上，加上全“0”状态后形成。

m 序列已包含了21n -个非零状态，缺少一个由n 个“0”组成的全零状态，即可实现码长为21n
-的m 序列向码长为2n
得M 序列转换。

显然，“0”状态应插在1000…000之后，使之出现全“0”状态，同时还必须使“0”状态的后续状态为原m 序列的下一个状态，即00…01。

所以必须对原m 序列的反应逻辑进行修正。

产生M 序列的状态为。