课件2：复数的概念与运算

高 考 体
落
验
实 ·
i，
· 明
固 基 础
因此复数 z 在复平面内对应的点所在象限为第四象限． 考 (2)由题意知 3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)，即 3－4i＝(μ 情
－λ)＋(2λ－μ)i，
典
由复数相等知μ2λ－－λμ＝＝3， －4，解得λμ＝＝－2，1，∴λ＋μ＝－
例 探
1＋2＝1.
课 后
情
数，若__b_≠_0____，则a＋bi为虚数，若__a_＝__0_且__b_≠_0___，则a
＋bi为纯虚数．
典 例
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ ___a_＝__c_，__b_＝__d___(a，b， 课
探
后
究 ·
c，d∈R)．
作 业
提
知 能
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ _a_＝__c_，__b_＝__－__d__(a，
探
后
究 ·
i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－
作 业
提 知
i(n∈N)．
能
菜单
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高
自
考
主 落
(2013·深圳模拟)复数z1＝3＋4i，z2＝1＋i，i为虚数单
体 验
实 ·
位，若z22＝z·z1，则复数z等于(
)
· 明
固 基 础
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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自
4．若 a， b∈R， i为 虚数单位 ，且 (a＋i)i＝b＋i，则
高 考
主
体
落( )
验
实
·
· 固
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
明 考
基
情
础
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝－1
【解析】 (a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，故应有a＝1，b＝
－1.
典
例 探
【答案】 D
课 后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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自 主 落
5．(2012·天津高考)i是虚数单位，复数73－ ＋ii＝(
)
高 考 体 验
实
·
· 固
A．2＋i
B．2－i
明 考
基 础
C．－2＋i
D．－2－i
情
【解析】 73－ ＋ii＝（7－i）1（ 0 3－i）＝20－1010i＝2－i.
作 业
知 能
(2)先化简11＋ －ii，再根据 in 的周期性求值．
菜单
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自 主
【尝试解答】
(1)z－i＝
2＋i i
＝
（2＋i）（－i） i·（－i）
＝1－
高 考 体
落
验
实 ·
2i，z＝i＋1－2i＝1－i.
· 明
固 基 础
(2)(11＋ －ii)2 011＝i2 011＝i3＝－i.
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主 落 实 ·
(1)(2013·济南模拟)设a是实数，且
a 1＋i
＋
1－i 2
是实数，
体 验 · 明
固
基 则a＝( )
考 情
础
1 A.2
B．－1
C．1
D．2
(2)(2013·西安模拟)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，
典 m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的( )
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
体
落
验
实
·
· 固
1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数
明 考
基
础 的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形
情
式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出
典
例 复数z，然后利用复数模的定义求解．
b，c，d∈R)．
菜单
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自
(4)复数的模：向量O→Z的模r叫做复数z＝a＋bi的模，
高 考
主
体
落
验
实 ·
即|z|＝|a＋bi|＝___a_2_＋__b_2____．
· 明
固 基 础
2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点__Z_(_a_，__b_) ___及平面向量
典
例 探
∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋
课 后
究
作
· 提
4i.
业
知
能
【答案】 C
菜单
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自 主 落
2．复数1＋i 2i(i是虚数单位)的实部是(
)
高 考 体 验
实 · 固 基
2 A.5
B．－25
1 C.5
D．－15
· 明 考 情
础
【解析】 1＋i 2i＝（1＋i（2i1）－（2i1）－2i）＝2＋5 i＝25＋15i，
自
考
主 落 实
bi 是实数，不是纯虚数，若 a＋bi 是纯虚数，由 a＋bi ＝a－bi
体 验 ·
· 固
知 a＝0，b≠0，∴ab＝0，
明 考
基 础
因此“ab＝0”是“复数 a＋bi 为纯虚数的必要不充分条 情
件．”
典
(2)∵z＝－12＋i＝－1－i，
例
探
∴|z|＝ （－1）2＋（－1）2＝ 2，
课 后
究
· 数的几何意义求解；
作 业
提
知 能
(2)根据复数减法的几何意义及C→A＝O→A－O→C求解．
菜单
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高
自
主
【尝试解答】 (1)A→O＝－O→A，
考 体
落
验
实 ·
∴A→O对应的复数为－3－2i.
· 明
固
考
基 础
∵B→C＝A→O，∴B→C对应的复数为－3－2i.
情
(2)C→A＝O→A－O→C，
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自
11.2 数系的扩充与复数的引入
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
落
1．复数的有关概念
体 验
实
·
· 固
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中
明 考
基
础 a，b分别是它的实部和虚部．若__b_＝__0____，则a＋bi为实
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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自
∴p1是假命题；
高 考
主
体
落 实
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
验 ·
·
固 基
∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；
明 考 情
础
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
典
【答案】 (1)B (2)C
例
课
探
后
究
作
·
业
(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝
2 －1＋i
的四个
课 后 作
· 提
命题：
业
知 能
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
菜单
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自
p3：z的共轭复数为1＋i；
高 考
主
体
落 实
p4：z的虚部为－1.
验 ·
·
固
其中的真命题为( )
明 考
基
情
础
A．p2，p3
B．p1，p2
考 情
O→Z＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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自
3．复数的运算
高 考
主 落 实
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
体 验 ·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自 主
例 探 究 ·
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
课 后 作 业
提
知
能
菜单
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自 主
【解析】
(1)1＋a i＋1－2 i＝（1＋a（i）1－（i1）－i）＋(12－12i)
高 考 体
落
验
实 · 固
＝(a2＋12)－(a2＋12)i，
· 明 考
高
自
考
主
体
落 实
(1)(2012·安徽高考)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝(
)
验 ·
· 固
A．－1－i
B．1－i
明 考
基 础
C．－1＋3i
D．1－2i
情
(2)(2013·武汉模拟)i为虚数单位，则(11＋ －ii)2 011＝(
)
A．－i
B．－1
典 例
C．i
D．1
课
探
后
究
· 提
【思路点拨】 (1)先求 z－i，再求 z；
基
情
础ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由题意知a2＋12＝0，∴a＝－1.
(2)若 m＝1，则 z1＝3－2i，从而 z1＝z2.
典 例 探
若 z1＝z2，则mm22＋＋mm＋－14＝＝3－，2，∴m＝－2 或 m＝1.
课
后
究 ·
从而“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
作 业
提
知 能
【答案】 (1)B (2)A
菜单
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角形法则进行．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主 落 实 ·
(1)(2013·威海模拟)复数z＝
2－i 2＋i
(i为虚数单位)在复平面
体 验 ·
明
固 基
内对应的点所在象限为(
)
考 情
础
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)(2013·连云港模拟)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，
究
作
·
业
提
知 能
【答案】 (1)D (2)1
菜单
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高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基 础
任意两个复数均为实数的充要条件是这两个复数能比较 情
大小．
典
例
应用复数相等的定义可进行复数与实数之间的相互转 课
探
后
究 ·
化．
作 业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
体
落
验
实 ·
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高
自
考
主
体
落
验
实 ·
如图4－5－2，平行四边形
· 明
固 基
OABC，顶点O、A、C分别表示0，
础 3＋2i，－2＋4i，试求：
考 情
(1)A→O对应的复数，B→C对应的复数；
(2)C→A对应的复数．
典
例 探
【思路点拨】
(1)A→O＝－O→A，B→C＝A→O，然后根据复
课 后
典
例
课
探 究
【答案】 B
后 作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固 基
(1)(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则
考 情
础
“ab＝0”是“复数a＋bi 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
典
D．既不充分也不必要条件
例 探 究
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
体
落 实
1．(人教A版教材习题改编)在复平面内，复数6＋5i，－ 验 ·
· 固
2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对
明 考
基
情
础 应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
【解析】 ∵A(6，5)，B(－2，3)，
复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分 · 明
固 基
母同乘以分母的共轭复数．
考 情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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故选 A.
典
例
课
探 究
【答案】 A
后 作
·
业
提
知
能
菜单
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自 主 落
3．若z＝1＋i 2i，则复数z＝(
)
实
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
高 考 体 验 ·
·
明
固
考
基 础
【解析】 ∵z＝1＋i 2i＝（1＋－21i）i＝2－i，∴z＝2＋i. 情
典
【答案】 D
考 情
【答案】 (1)B (2)A
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固 基
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运
考
情
础 算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要
把i的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度
典 例
(1)(1±i)2＝±2i；(2)11＋ －ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i；(4)－b＋ai＝ 课
∴C→A对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
体
落
验
实
·
· 固
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)及向量 O→Z 一一
明 考
基 础
对应，相等向量表示同一复数．
情
2．复数加减法运算可借助向量的平行四边形法则和三
C．p2，p4
D．p3，p4
典
【 思 路 点 拨 】 (1) 分 别 验 证 “ 充 分 性 ” 和 “ 必 要
例
探 性”；
课 后
究
作
· 提
(2)把复数z化成m＋ni(m，n∈R)的形式，然后根据复数 业
知
能 的相关概念判断命题是否正确．
菜单
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【尝试解答】 (1)若 ab＝0，则当 a＝1，b＝0 时，a＋ 高
(2)几何意义：复数加减法可按向
考 体
落 量的平行四边形或三角形法则进行．
验
实
·
如图4－5－1给出的平行四边形
· 明
固 基
OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法
考 情
础 的几何意义，即 O→Z ＝_O→_Z_1_＋__O_→Z__2_，
Z→1Z2＝__O_→_Z_2_－__O→_Z_1___．
典
例
课
A．－285＋265i
B．－285－265i
考 情
C.285＋265i
D.285－265i
典 例
【解析】
由
z22＝z·z1 得
z
＝zz122
＝（31＋＋4i）i 2＝
2i 3＋4i
＝
课
探
究 · 提
（3＋2i4（i）3－（43i－）4i）＝8＋256i＝285＋265i.
后 作 业
知
能
【答案】 C
菜单
典 z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A、B、C，若
例 探
O→C＝λO→A＋μO→B，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
课 后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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自 主
【解析】 (1)z＝22－ ＋ii＝（ （22－ ＋ii） ）（ （22－ －ii） ）＝3－5 4i＝35－45