北师高中大版数学练习题(选修2-3)含答案.docx

目录：数学选修2-3
数学选修2-3第一章：计数原理［基础训练A组］
数学选修2-3第一章：计数原理［综合训练B组］
数学选修2-3第一章：计数原理［提高训练C组］
数学选修2-3第二章：离散型随机变量解答题精选
新课程高中数学训练题组《选修2-3》
（数学选修2-3）第一章计数原理
［基础训练A组］
一、选择题
1.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）
A. 81
B. 64
C. 12
D. 14
2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）
A. 140 种
B.84 种
C.70 种
D.35 种
3.5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）
A. A；
B. 4A；
C. A；—
D. +
4.a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）
A.20
B. 16
C. 10
D. 6
5.现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三
科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）
A.男生2人，女生6人
B.男生3人，女生5人
C,男生5人，女生3人 D.男生6人，女生2人.
6.在的展开式中的常数项是（）
（2 4x）
A.7
B. -7
C. 28
D. -28
7.（1-2X）5（2+ X）的展开式中尸的项的系数是（）
A. 120
B. -120
C. 100
D. -100
8.［右+ 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）
A. 180
B. 90
C. 45
D. 360
二、填空题
1.从甲、乙，......，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法.
（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.
2,4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.
3,由0,1,3,5,7,9这六个数字组成个没有重复数字的六位奇数.
4,在(x-V3)10的展开式中，/的系数是.
5,在(1-x2)20展开式中，如果第4r项和第r + 2项的二项式系数相等，贝打=, 以=.
6,在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样
的四位数有个？
7,用1,4,5,%四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288,则x.
8,从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，
共有个？
三、解答题
1.判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.
(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
(2)高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的
选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？
②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
新课程高中数学训练题组《选修2-3》
各有多少种不同排法？ 4,已知［子—j 展开式中的二项式系数的和比(3a + 2b)7展开式的二项式系数的和大128,求
n
I 展开式中的系数最大的项和系数量小的项.
5. (1)在(l+x )n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且〃等于多少？
2. 7个排成一排，在下列情况下,
C1)甲排头, C2)甲不排头，也不排尾,
(3)甲、乙、丙三人必须在一起, C4)甲、乙之间有且只有两人,
(5)甲、乙、丙三人两两不相邻, (6)甲在乙的左边(不一定相邻),
(7)甲、乙、丙三人按从高到矮, 自左向右的顺序, (8)甲不排头，乙不排当中。

3.解方程 ⑴A ；, =140占;
(2)c,；m+c,»+c 尸
(2)卜去+十J的展开式奇数项的二项式系数之和为128,则求展开式中二项式系数最
大项。

6 .已知（2 - = a（）+ a/+ — + ,其中Q Q , tip , t?5g 是常数，计算（% + 缶 ++ , , , +。

50 尸一（“1 ++，, , + %9
新课程高中数学训练题组《选修2-3》
（数学选修2-3）第一章计数原理
［综合训练B 组］
一、选择题
1. 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（
）
A. 60 个
B. 48 个
C. 36个
D. 24 个
2. 3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张，则有不同分法的种数是（）
A. 1260
B. 120
C. 240
D. 720
3. n&N 且〃 < 55，则乘积（55 -〃 ）（56 -〃） • • • （69 -儿）等于
A. B.醵一“ C.蕙一“ D.
4. 从字母a,b,c,d,e,f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和并且必须相邻（a
在b 的前面），共有排列方法（ ）种.
A.36
B. 72
C. 90
D. 144
从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为
把（V3z-x ）10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（
8.在(l-x 3)(l + x)10 的展开中,
二、填空题
2. 以1,2,3・・・,9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，贝供有—种不同取法.
3 .已知集合S = {-1,0,1}, P = {1,2,3,4},从集合S , P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不 同的点共有 个.
4. n,k e N 且 n > k,若 : C ； : % =1:2:3,则〃 + * =.
A.
120 B. 240 C. 280 D. 60 5. 6. A. 135
B. -135
C. -360V3Z D, 360V3z 7.
2n 的展开式中, 的系数是224, 则4的系数是（ 工一 A.14 B. 28 C. 56
D. 112
A.-297
B. -252
C. 297
D. 207
1. 〃个人参加某项资格考试，能否通过，有.
.种可能的结果？
5." + 展开式中的常数项有
6.在50件产品〃中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有
种（用数字作答）.
7 . （X — 1）—（X — I）2 + （x — I）3—（X — I）4 +（X — I）5的展开式中的X，的系数是
8. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9},则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为.
三、解答题
1.集合A中有7个元素，集合3中有10个元素，集合A Pl 5中有4个元素，集合。

满足
（1） C有3个元素；（2） cSAU 5
（3）Cn3?0>, CH 。

求这样的集合C的集合个数.
厂m z^n-m+l
2.计算：（1）（%+G斜）小£；（2） U+C：+... + U°.
C3）号-E
I n
3.证明：A n；i+mA：-l=A：+1.
4.求同+ *-2尸展开式中的常数项。

5.从｛-3,-2,-1,0,1,2,3,4｝中任选三个不同元素作为二次函数y = ax~+bx + c的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？
6. 8张椅子排成，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种?
新课程高中数学训练题组《选修2-3》
（数学选修2-3）第一章计数原理
［提局训练C 组］
一、选择题
1.若Aj=6C ：,则〃的值为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
不少于2人的选法为（ ）
B- Cf 0-Cf 0-Cf 0
D . cf o c ；o +c ；o d o A. C ；C ； B. GCf。

6A ； D. Cl O 4 人3
5 O 4. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ,其中由3个元素组成的子集数为T ,则二的值 S
为（ ） A.竺 B.互C.枣D .旦 128
128 128 128 5. 若（2.r + V3）4 = a 0 + a x x + a 2.r 2 + a 3x 3 + a 4x 4,贝0 （«0 +a 2 +a 4）2 -（«
j +a 3）2 的值为（ ） A.l B. -1 C. 0 D. 2
6. 在（X+y ）n 的展开式中，若第七项系数最大，则〃的值可能等于（
） A.13,14 B. 14,15 C. 12,13 D. 11,12,13
7. 不共面的四个定点到平面a 的距离都相等，这样的平面a 共有（
） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
8.由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位，可以组成虚数的个数为（
）
A.100
B. 10
C. 9
D. 90
二、填空题 1. 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与 所填的数字均不同的填法有 种？
2. 某班有30名男生，30名女生, 现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均 A- c.
3. 6本不同的书分给甲、
乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（
2.在△A03的边04上有5个点，边03上有6个点，加上。

点共个点，以这12个点为顶点的
三角形有个.
3.从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数y = ax2 +bx + c的系数a,b,c
则可组成不同的函数个,其中以y轴作为该函数的图像的对称轴的函数有个.
4.若［g-旧的展开式中尸的系数为？，则常数。

的值为.
5.若+ • • • += 363,则自然数〃 =.
7.0.9915的近似值(精确到0.001)是多少？
8. ------------------------------------------- 已知(1 -2x)7 =《+印+ a,-/ 1- ，那么印+ a, H a〕等于多少？
三、解答题
1.6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
2.有6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？
3.求(1 -2x)5(1 + 3X)4展开式中按x的降蓦排列的前两项.
4.用二次项定理证明C2,,+2-8/1-9能被64整除(n eN).
5.求证：C： + 2C：+ ••• + (〃 + 1)C；； = 2" +〃• 2"-1.
6. (1)若(1 + x)"的展开式中，尸的系数是x的系数的7倍，求〃;
⑵已知(ax + l)7("0)的展开式中，%3的系数是捉的系数与%4的系数的等差中项，求。

；
⑶已知(2x + x lg'-)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120,求x .
新课程高中数学训练题组《选修2-3》
离散型随机变量解答题精选（选修2-3）
1.人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复, 试求下列事件的概
率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话. 解：设A =｛第z •次拨号接通电话｝,，= 1,2,3
（1） 第3次才接通电话可表示为泰0于是所求概率为P （A^A^A 3） = %xf*； （2） 拨号不超过3次而接通电话可表示为：于是所求概率为
+&A, +AAA ）= P （A ）+ P （AA ）+ P （A ^A 3）= ±+2_x l +2x i x l =A.
-
—
~
10 10 9 10 9 8 10
2. 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相 互独立的，并且概
率都是!
（1） 求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2） 求这位司机在途中遇到红灯数S 的期望和方差。

解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯,
1
X —=
3 3 1 1 4
£^ = 6x —x(l ——) = -.
3 3 3
3. 奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2, 2个小球上标有数字5,现摇出3个小球,
规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望
解：设此次摇奖的奖金数额为&元，
当摇出的3个小球均标有数字2时，& = 6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2, 1个标有数字5时，& = 9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2, 2个标有数字5时，§ = 12。

所以，尸(舌=6)=乌=2
p (f_9)-生-二 P^ = i2)= ^i = -
C,30 15
P ("-9)
-^-15
G* 15
c 7 s 1 39、
+ 9x
12x —=——)
15
15 5
_ 39 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是*元
5
4 27
・•・ E^ = 6x- = 2.
Eg = 6x 所以
3
(2 )易知&〜
新课程高中数学训练题组《选修2-3》
4.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,问一次考试中
(I )三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(II)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C ,
则P(A) = 0.9, P(B) = 0.8, P(C) = 0.85
(I ) P(A • B • C) = P(A) - P(B) - P(C)
= [1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
= (l-0.9)(l-0.8)(l-0.85)
= 0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003
(II) (P(ABC + ABC + ABC))
= P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)
=P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) ■ P(C)
= [1-P(A)]P(B)P(C) + P(A)[1- P(B)]P(C) + P(A)P(B)[1- P(C)]
= (1-0.9) x0.8x0.85 + 0.9 x (1 — 0.8) x 0.85 + 0.9 x 0.8 x (1 — 0.85)
= 0.329
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329
5.如图，A,3两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
(I)设选取的三条网线由A到3可通过的信息总量为x,当xZ6时，则保证信息畅通.
求线路信息畅通的概率；
(II)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
1 +「1 「1 1
解：(I)・.・1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 6,「.尸3 = 6)= - =-
1 +
2 + 4 = 2 + 2 +
3 = 7, ... P(x = 7)=史
20 3
1 + 3 + 4 =
2 + 2 + 4 = 8". P(x = 8)=工-
20 •.•2 + 3 + 4 = 9". P(x = 9)=—=— 20 10
n,、匕、1 1 3 1 3 P(x 2 6)= 一 + 一 + — + —=-
4 4 20 10 4
1 3
(II) •••l + l + 2 = 4,P(x = 4)=—,vl + l + 3 = l + 2 + 2 = 5,P(x = 5) = —
线路通过信息量的数学期望
1 3 113 1 = 4x —+ 5x —+ 6x- + 7x- + 8x —+ 9x —= 6.5
10 20 4 4 20 10
3
答：(I)线路信息畅通的概率是己.(II)线路通过信息量的数学期望是6.5
4
1 3 3
6. 三个元件4,孔，二正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入 电路.
(I )在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
(II)三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说
明理由.
T2
1
T 3
解：记“三个元件7],孔，4正常工作”分别为事件则
1
3 3
P (A 1)= -,P (A 2)= -,P (A 3)= -.
不发生故障的概率为
P I = P[(A 2 + A 3 W = P(A 1 +A,)-P(A,) = [1-P(A ；)-P(A ；)]-P(A 1)
M 1 l q 1 15
=1 ---- X — X —=——
4 4 2 32
(II)如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：
图1中发生故障事件为(A ； +4)4
(I )不发生故障的事件为(盅+人3)4・
S 2
不发生故障概率为
——21
A = P[(&+&)&]= P(&+A)-P(A3)= [i-P(A)P(A2)]P(A3)=—
:.p? > P[
图2不发生故障事件为(A + A3)4-同理不发生故障概率为p3 = p2>p x
7.要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05,而乙机床废品率为0.1,而它们
的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
(1)其中至少有一件废品的概率；(2)其中至多有一件废品的概率.
解：设事件A = "从甲机床抽得的一件是废品”；3= “从乙机床抽得的一件是废品”.
WJ P(A) = 0.05, P(B) = 0.1
(1)至少有一件废品的概率
P(A + B) = 1- P(A + B) = 1-P(A) P(B)
= 1-0.95x0.90 = 0.145
(2)至多有一件废品的概率
P = P(AB + AB + AB)
=0.05 x 0.9 + 0.95 x0.1 + 0.95 x 0.9 = 0.995
8.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92, (1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数&的数学期望和方差
解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B.
设甲独立解出此题的概率为P[,乙为
则P(A) = * =0.6,P(B) = P2
P(A + 3) = 1 —P(73)=l —(1 —%(1 —g) = g+R—=0.92
0.6 + P-,— 0.6R = 0.92
贝U0.4R =0.32 即旦=0.8
(2)P(g = 0) = P(A) • P(万)=0.4x0.2 = 0.08
P(S = 1) = P(A)P(B) + P(A)P(B) = 0.6x0.2 + 0.4 x0.8 = 0.44
P(S = 2) = P(A)• P(3) = 0.6 x 0.8 = 0.48
g的概率分布为：
电=0 X 0.08 +1X 0.44 + 2x 0.48 = 0.44 + 0.96 = 1.4 Og = (0 —1.4)2 . 0.08+ (1 —1.4)2 • 0.44+
(2 —1.4)2 -0.48 = 0.1568 + 0.0704 + 0.1728 = 0.4
或利用og = E(&2)—(E&)2 = 2.36-1.96 = 0.4
9.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以&表示公司每年的收益额，则&是一个随机变量，其分布列为：
因此，公司每年收益的期望值为= x(l- p) + (x-(7)p = X-ap .
为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eg = 0.1a,即x-ap = 0.1a, 故可得
x = «(/? +0.1).
即顾客交的保险金为a(p + 0.1)时，可使公司期望获益0.1a.
10.有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂.已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2 .
(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).
解：(1)这批食品不能出厂的概率是：P = 1 -0.85 -C； x0.84 x0.2 - 0.263 .
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
*=C>0.2X0.83X0.8
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
旦=C：x 0.2x0.83x0.2
新课程高中数学训练题组《选修2-3》
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的 概率是：P = g+R =C ：x0.2x0.83 = 0.4096 .
11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛.比赛规则是：①按“单
打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已 知每盘比赛双方胜出的概率均为
2
（I ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （II ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
解：（I ）参加单打的队员有A ；种方法.
参加双打的队员有C ；种方法.
所以，高三（1）班出场阵容共有A ；・C ；=12 （种）
（II ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，
所以，连胜两盘的概率为= £
2 2 2 2 2 8
12. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
⑴摸出2个或3个白球（2）至少摸出一个黑球.
解：（I ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A,B ,贝U
P （A ）= " = ；，W ） = S = ； A, B 为两个互斥事件
P （A + B ） = P （A ） + P （B ）=-
7
即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为。

7
（II ）设摸出的4个球中全是白球为事件C,贝U
C 1
P （C ） = m = 土至少摸出一个黑球为事件c 的对立事件 c ： 14
练习:
1. 抛掷2颗骰子，所得点数之和记为g,那么g = 4表示的随机试验结果为
2. 设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量g 描述1次试验的成功次数,
则 p （s = 0）=.
3. 若g 的分布列为:
其概率为1 ----- 14 13
14
其中p e (0,1),则Eg=, Dg=
新课程高中数学训练题组《选修2-3》新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修2-3第一章计数原理[基础训练A组]
一、选择题
1. B 每个小球都有4种可能的放法，即4x4x4 = 64
2. C 分两类：(1)甲型1台，乙型2台：C4C5 ;(2)甲型2台，乙型1台：C4C5
C：C；+C：C； =70
3. C 不考虑限制条件有若甲，乙两人都站中间有出-为所求
4. B 不考虑限制条件有水，若a偏偏要当副组长有水-A：=16为所求
5. B 设男学生有x人，则女学生有8-x人，则C；C；_X=90,
即x(x -1)(8 一i) = 30 = 2x3x5,x = 3
JC Q 1 1 0 8—F—r1。

8—r
6. A A=C；G)j(——)'=(—3 =(—1)，( )8-，Gx 3
2 y/x 2 2
4 1
令8 - 5 r = 0, r = 6,7； = (-1)6 (*8-6 席=7
7. B (1 -2x)5(2 + x) = 2(1 -2x)5 + x(l-2x)5 =... + 2Cf(-2x)3 + xC；(-2x)2 +...
= (4C；-16Cf)x3+... = -120x3+...
8. A 只有第六项二项式系数最大，则〃=10,
% =2G0F，令5 —= 0,r = 2,7； =4C" =180
x" 2
二、填空题
1.(1) 10 Cf = 10 ； (2) 5 C；=5； (3) 14 C：—C：=14
2.8640 先排女生有£,再排男生有£,共有& • A： =8640
3.480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有其余的有水，共有A：•戋=480
4.1890 T r+l = C；0.x I0-' (-V3)r，令10-r = 6,r = 4,7； =9C]>6 =1890x6
5.4,-C*^30C^' = 1,4r-1 + r +1 = 20,r = 4,7]6 = (-x2)15 = -C^x30
6.840先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有A；,其余的共有A；-A；=840
7. 2 当XN O时，有占=24个四位数，每个四位数的数字之和为l + 4 + 5 + x
24（l + 4 + 5 + x） = 288,x = 2；当x = 0时，288不能被10整除，即无解
8.11040 不考虑0的特殊情况，有CfcX =12000,若0在首位，则=960,
CfcX - = 12000-960 = 11040
三、解答题
1.解：（1）①是排列问题，共通了A£=ll0封信；②是组合问题，共握手U=55次。

（2）①是排列问题，共有A：）=90种选法；②是组合问题，共有C"=45种选法。

（3）①是排列问题，共有占=56个商；②是组合问题，共有C：=28个积。

2.解：（1）甲固定不动，其余有恋=720，即共有水=720种；
（2）甲有中间5个位置供选择，有A，其余有水=720，即共有左水=3600种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有A；,再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于5人的全排
列，即一,则共有部;=720种；
（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有甲、乙可以交换有总，
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，
则共有曳&£=960种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有£,四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
这五个空位，有曳，则共有A；A：=1440种；
（6）不考虑限制条件有加，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即=2520 种；
（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A；=840
（8）不考虑限制条件有用，而甲排头有水，乙排当中有A,这样重复了甲排头，乙排当中占一次,
即占-2A?+曳=3720
如 + 12 4
, , x > 3
3.解：⑴A"i=140A。

-A+1 X XG N
(2x + l)2x(2x — l)(2x-2) = 140x(x -l)(x - 2)
x > 3
=< xwN
(2x + l)(2x-l) = 35(x-2)
x > 3
=< xwN
4.r-35x + 69 = 0
(2)C；+3 = C；+1 + c,!+1 + c；, c；+2 + CM = c；+2 + c；
4.解：2“—27 =128,〃 = 8, fx2--^ 的通项4+i=C；32)8r(—Ly=( — i)，c；f6-3, V x) x
当r = 4时，展开式中的系数最大，即7；=70./为展开式中的系数最大的项；
当r = 3,或5时，展开式中的系数最小，即T2=-56X\T6=-56X^］展开式中的系数最小的项。

5.解：(1)由已知得C：*5 = 7
(2)由已知得C：+C；+M+... = 128,2"T =128,〃 = 8,而展开式中二项式
系数最大项是乌］=C：(xJ?)4(二沪=70^4拼o
6.解：设f(1)= (2 —右尤)5。

，令尤=］,得。

0+%+。

2 ------------- a50 = (2-V3)50
令 1 = -1,得％ -。

］+。

2 ----- +。

50 = (2 + A/3)50
(% + 但 +。

4 + , , , +。

50 尸一(“1 +。

3 +。

5 +，，，+ %9 =
(% + % + 缶 + , , , + %0)(。

0 —。

1 + % - 。

50)=(2 —)'° (2 + ^3 )'° = 1
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数学选修2-3第一章计数原理［综合训练B组］
一、选择题
1. C 个位孟，万位其余共计
2. D 相当于3个元素排10个位置，A；°=720
3. B 从55-〃到69-〃共计有15个正整数，即
4. A 从c,d,e,f中选2个，有把看成一个整体，则3个元素全排列，A；
共计C：A；=36
5. A 先从5双鞋中任取1双，有C；,再从8只鞋中任取2只，即C：,但需要排除
4种成双的情况，即C：—4,则共计U(C：—4) = 120
6. D 7； =C；)(J^)3(—x)7 =360右汨，系数为3600
7. A 7；.+1 =C；…(2x)2,,-r(—)r =22H-r C；,x2H-2r,令2n-2r = 2,r = n-l
2x
L Id 则= 224, = 56, 〃 = 4 ,再令8 — 2r = —2, r = 5, L =工广=—
4 x
8. D (1 - x3 )(1 + x)10 = (1 + %)10 - %3 (1 + x)10 = (Cfo - q；)x5 +... = 207/ +...
二、填空题
1.2" 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2、2、...、2(〃个2) = 2"
2.60 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即C；C： + C；G=60
3.23 1 = 23,其中(1,1)重复了一次
4. 3 n = \,k = 2
5.—51 f(x + -)-l^ 的通项为C；3 + L)"(一l)r,其中(x + -)5-r的通项为
\ X ) X X
C；_r x5-r-2r ,所以通项为(―1)10£/十2',令5_「_2「=0
S —尸
得「=—,当r = l时，r = 2，得常数为一30；当/' = 3时，r =1,得常数为一20； 2
当r = 5 时，r =0,得常数为一1；30 + (—20) + (—1) = —51
6.4186 3 件次品，或4 件次品，C：C*+C：C：6 =4186
7. 15 原式=3—1)[1+3—1沪]=3—1) + 3—1)6, 3—1)6 中含有 了4 的项是
1 + 3—1) x
C^x 4(-1)2 =15x 4,所以展开式中的%3的系数是15
8. 105 直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数,
+
=105；间接法：C^-Cf-C^C* =105
三、解答题
1. 解：AUB 中有元素7 + 10 —4 = 13
CX-C ； =286-20-1 = 265。

人3
1
2
-解：(1)原式=(Goo + Goo)4-Aoi = C ：O1 十蠕=号^十4 = 1*A ； = 2。

鼠
6
(2)原式*+(7；-。

： + «-(；+••• + «-* =330。

另 方法：原式= C ：+C ：+C ；+…+席)=C ；+…宜
=c ： + C ； + . . . + C ：o = . . . = C% + C* = G* =330
厂m _L 厂m-1 厂WT -1
^im-1
厂?n-l
(3)原式= ——L = 1+ — — — = 1
厂m
厂m
厂m 厂m
n
n
、十 rn 4、上 n! m-nl (n-m + l)-n!+m-n!
3.证明：左边= --------- + ----------- = ---------- - -------
(n-m)! (n-m + 1)! (n-m + 1)!
h
当顶点在第一象限时，QV0,——〉0,即｛
2a
(n + 1)! ==右边 [(n + l)-m]! 〃+1
所以等式成立。

4. 解：(同+弁-2)3 =
(1 —"),在(l-|x|)6 中，的系数C ；(—1)3=—20
就是展开式中的常数项。

另 方法：原式=(血—吉尸，7；=c ：(—1)3=-20
5. 解：抛物线经过原点，得c = 0,
a<0
，则有C C ：
种; b>Q
当顶点在第三象限时，。

〉0,一旦<0,即］则有种；
la ［b>0
共计有C；C：+A；=24种。

6.解：把4个人先排，有且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位
当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有所以共计有AX = 480种。

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数学选修2-3第一章计数原理［提高训练C组］
一、选择题
2. D 男生2人，女生3人，有CMC；。

；男生3人，女生2人，有C*C；o
共计UoC；o+C；°C；o
3. A 甲得2本有C：,乙从余下的4本中取2本有C：,余下的共计
4. B 含有10个元素的集合的全部子集数为S=2i°,由3个元素组成的子集数
为T = C" I = 4 = H
10 S 210 128
5 . A (% +)2 _ ("1 +。

3 )2 = (% + Q］ +)(。

0 —。

1 + % —“3 +)
= (2 + V3)4-(2-V3)4=l
6. D 分三种情况：(1)若仅弓系数最大，则共有13项，〃 =12； (2)若弓与7；系数相等且最大，则
共有12项，〃 =11； (3)若弓与“系数相等且最大，则共有14项，〃 =13,所以〃的值可能等于11,12,13
尸
7. D 四个点分两类：(1)三个与•个，有C；； (2)平均分二个与二个，有艾
r2
共计有C；+% = 7
2
8. D 复数a + bi,(ci,bwR)为虚数，则。

有10种可能，Z?有9种可能，共计90种可能
二、填空题
1.9 分三类：第一格填2,则第二格有,第三、四格自动对号入座，不能自由排列;
第一格填3,则第三格有第一、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填4,则第撕格有第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有3&=9
2.165 隽-C；-C； =165
3.180,30 "0, C：C；U=180； b = 0,A； =30
4- 4 上 *(宇(—J|y= (—1)档)MC；j”,令半―9 = 3,r = 8
x y 2 2 2
(-1)，(-^)8aCg =£a = ：,a = 4
5.13 C；+C；+U+C；+••• + § =363 + 1,C：+C：+C；+••• + § =364,
C； + C；- F C； =... = C；+] = 364, n = 13
6.28 —— ----------------- ——=—x——-——,/?72 -23/77 + 42 = 0
m!(5-m)! m!(6-m)! 10 m!(7-m)!
得m = 2,C" = Cl =28
7.0.956
0.9915 =(1-0.009)5 =l-5x 0.009 + 10x (0.009)20.045 + 0.00081« 0.956
8. -------------------------------------------------------------------- —2 设f (x) = (1 — 2x)H ,令x = 1,得+ <?| + <72----------------------------------------------------------- 。

7 = (1 — 2)7 = —1
令x = 0 , 得a()= 1, a〕+ a, +，• • + a? = —1 —。

()= —2
三、解答题
1.解：6个人排有水种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.
(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C； =35种插法，
故空位不相邻的坐法有水C； =25200种。

(2)将相邻的3个空位当作十元素，另•空位当作另…个元素，往7个“间隔”里插
有种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有水=30240种。

(3)4个空位至少有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有C；种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C；C；种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C/种坐法.
综合上述,应有水(C； + +C；) = 118080种坐法。

2.解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有£=24；
若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的,
自动进入，不需要排列，即有C；A；= 36；
若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，
自动进入，不需要排列，即有CX =12;
所以有24 + 36 + 12 = 72种。

3.解：(1 — 2x)5 (1 + 3x)4 =_(2工_ 1)5(3》+ 1沪
= —[(2x)5 —c；(2x)4 +..•] [(3x)4 +C： (3x)3 +,,,]
=-(32X5-80X4+...)(81X4 +108*3 +.…)
=—(2592b —8»80更+32xl08x8 +...)
= -2592.?+3024.?+...
4.w： 32"+2—8〃一9 = 9"+'—8〃—9 = (8 + l)'"i—8“ —9
=C\ 8* + 如8" + . . . + C 二:82 + C：+18 + C^-8n-9
=64(C°+18"-1 + C*+18"-2 + . . . + + 8(〃 +1) +1 - 8〃 - 9
=Mx 64(记M = C°+18"-1 + C\ 8"-2 + . . . + )
•.•M为整数，.拓机?能被64整除.
5.证明：C?+2C：+3C；+... + (〃 + l)C；
= (C? + C+C；+... + C；) + (C：+2C；+...+ 〃 C；)
=2"+〃(1 + 牛+。

：_|+... +。

二：)
=2"+〃・2”T
6.解：(1) C；=7C；, —-^――一3〃—40 = 0,由得〃=8；
6
(2) C；* +C0 = 2C；W,21Q2+35Q4=yo a\a^O
得5a2—10。

+ 3 = 0»。

=1土~~~ ；
(3) C； (2对4(尤心尸=1120,尤4(I+E = i,虹尤 + 以］=o
得lgi = 0 ,或lgi = —l
所以X — 1, —— o
10。