《数值计算办法》试题集及参考答案

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《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
1、⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为
A ⎡⎤⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦。

答案：
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501
4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，
式为。

答案：-1，
)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=
x x x x x L 4、近似值
5、设)(x f ()；
答案
1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；
7
8n 次后的误差限为(1
2+-n a
b )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、 为了使计算
32)1(6)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为
199920012
+。

13、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，
1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。

14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、
(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代
21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则
a =(3 )，
b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
)((1)，=k 0
(
j
)，当时=
++=)()3(20
4x l x x
k k k k (32
4++x x )。

24、
25、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

26、改变函数f x x x ()=+-1(x >
>1)的形式，使计算结果较精确()x x x f ++=
11。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。

28、写出求解方程组⎩⎨⎧=+-=+24.01
6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式()()
()()
,1,0,4.026.111112211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ，迭
代矩阵为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--64.006.10，此迭代法是否收敛收敛。

31、设
A =⎛⎝ ⎫⎭⎪
5443,则=∞A 9。

32、设矩阵
482257136A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦的A LU =，则U =4820161002U ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

33、若
4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f =3。

34、线性方程组1
210151121
03x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小二乘解为
⎛ ⎝36、设矩阵
321204135A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦分解为A LU =，则U 二、单项选择题：
1、 Jacobi
A ．A C ．i a ii ,0≠2、设
⎢⎢⎢⎣⎡=002A A ．2B ．4(B)。

A ．对称阵B C ．任意阵D ．各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A)产生的误差。

A. 只取有限位数B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ．观察与测量D ．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。

A ．6B ．5 C ．4D ．7
7、用1+x 近似表示e x 所产生的误差是(C)误差。

A ．模型B ．观测C ．截断D ．舍入
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。

A ．控制舍入误差B ．减小方法误差 C ．防止计算时溢出D ．简化计算
9、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是(D)误差。

A ．舍入
B ．观测
C ．模型
D ．截断
10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。

A ．5B ．6 C ．7D ．8
11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,A ．–0．5B ．0．5C ．2D ．-2
12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。

A ．3B ．4C ．5D ．2
13、(D)的3位有效数字是0.236×102。

(A)0.0023549×103(B)2354.82×10－14、用简单迭代法求方程f(x)=0(B)。

(A)y=?(C)y=x 的交点
15-===1
013
3，第1次消元，选择主元为(A)。

(A)16(C)。

(A)－xn －1)(x －xn)，
(B)
)!1()()()(+=
-=n x P x f x R n n (C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，
(D))
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ
18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的
迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。

(A)
1
1:,1
1
12-=-=+k k x x x x 迭代公式
(B)21211:,11k
k x x x x +=+
=+迭代公式
(C)
3
/12123)
1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式
(D)
11:,12
2
12
3+++==-+k k k
k x x x x x x 迭代公式
(32、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则9
0()i
k kl k ==
∑()
(A)x ；（B ）k ；（C ）i ；（D ）1。

35、已知方程3
250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是()
(A)1k x +=(B)1k x +=(C )315k k k x x x +=--；(D)
3
1225
32k k k x x x ++=-。

(A )4；(B)2；(C)1；(D)3。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?）
1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，，
， =,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。

()
2、用1-22
x 近似表示cos x 产生舍入误差。

()
3、))(()
)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。

(?)
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

(?)
5
1
2分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
差商表为
5、已知
求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。

6 }7.0,6.0,5.596274.063891.0sin ≈，
且
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛性，并将
根求出来，4
110||-+<-n n x x 。

答案：解：令010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且
010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈∀，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为
则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
ϕ，
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ϕ
故迭代格式
收敛。

取5.00=x ，计算结果列表如下：
且满足|x 8﹑答案：解：
令b y =L 得9﹑（1） （2） 取初值T )0,0,0()
0(=x
，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)()1(10
||||-∞+<-k k x x 。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 取T )0,0,0()
0(=x
,经7步迭代可得：
T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x .
10、已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

解：当0<x <1时，='')(x f e x
，则e )(≤''x f ，且x x d e 1
0⎰有一位整数.
要求近似值有5位有效数字，只须误差
4)
(11021
)(-⨯≤
f R n .
由
)(12)()(
2
3
)
(1ξf n a b f R n ''-≤，只要
即可，解得
所以68=n 11解：⎢⎢⎢⎣
⎡--124511回代得12、取节点)
,并估计
误差。

解：
)(2=x P 又
)(x f 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。

取x 0=1.7,计算三次，保留五位小数。

解：3是
03)(2
=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 23
2
1
--=+，即
)
,2,1,0(2321
=+=+n x x x n n n
取x 0=1.7,列表如下：
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+⨯
--+-+⨯+------⨯
=x x x x x x x L
18、用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--411131103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--815， 取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次，保留三位小数。

解：
取x (0)20、（8解：
=Φ解方程组其中
A A T 解得：
C 22、（15分）方程013
=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31
+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)
x x 11+=对应迭代格式n n x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式
13
1-=+n n x x 。

判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。

解：（1）32
1(31
)(-+='）x x ϕ，
118.05.1<='）（ϕ，故收敛； （2）
x x x 1
121)(2+
-='ϕ，117.05.1<='）（
ϕ，故收敛；
（3）23)(x x ='ϕ，
15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。

选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x
23、（8分）已知方程组f AX =，其中
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f
（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。

解：Jacobi
-=-(1L D B J 31、(12分) 用Newton ≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
33、(10分)用Gauss 列主元消去法解方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++276234532424321
321321x x x x x x x x x
3.00001.00005.00003
4.0000
0.00003.66670.333312.6667
0.00005.3333-2.33334.3333
3.00001.00005.00003
4.0000
0.00005.3333-2.33334.3333
0.0 00001.93759.6875
34、(8分)求方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛12511213121x x 的最小二乘解。

()b A x A A T T =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2081466321x x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0000.23333.1x
若用Householder 变换，则：
最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T .
(2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。

解：（1）
（2）均差表：01
13293272
618264
3。