高中物理物理解题方法：微元法易错题复习题含答案解析

高中物理物理解题方法：微元法易错题复习题含答案解析
一、高中物理解题方法：微元法
1．2019年8月11日超强台风“利奇马”登陆青岛，导致部分高层建筑顶部的广告牌损毁。

台风“利奇马”登陆时的最大风力为11级，最大风速为30m/s 。

某高层建筑顶部广告牌的尺寸为：高5m 、宽20m ，空气密度31.2kg/m ρ=，空气吹到广告牌上后速度瞬间减为0，则该广告牌受到的最大风力约为（ ） A ．33.610N ⨯ B ．51.110N ⨯
C ．41.010N ⨯
D ．49.010N ⨯
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 广告牌的面积
S =5×20m 2=100m 2
设t 时间内吹到广告牌上的空气质量为m ，则有
m =ρSvt
根据动量定理有
-Ft =0-mv =0-ρSv 2t
得
251.110N F Sv ρ≈⨯=
故选B 。

2．如图所示，粗细均匀，两端开口的U 形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h ，管中液柱总长度为4h ，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度大小是（ ）
A 8
gh B 6
gh C 4
gh D 2
gh 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
设U 形管横截面积为S ，液体密度为ρ，两边液面等高时，相当于右管上方2
h
高的液体移到左管上方，这
2h 高的液体重心的下降高度为2h ，这2
h
高的液体的重力势能减小量转化为
全部液体的动能。

由能量守恒得
214222
h h S g hS v ρρ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
解得
8
gh v =
因此A 正确，BCD 错误。

故选A 。

3．位于光滑水平面上的小车受到水平向右的拉力作用从静止开始运动，已知这一过程中拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，所用时间为t ，小车的位移为s ，小车末速度为v 。

则下列判断正确的是（ ） A ．小车增加的动能等于()121
2
F F s + B ．小车增加的动能大于()121
2
F F s + C ．小车增加的动量等于()121
2
F F t + D ．小车的位移小于12
vt 【答案】BCD 【解析】 【详解】
AB ．因为拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，而小车做加速运动，位移在单位时间内增加的越来越大，所以若将位移s 均分为无数小段，则在每一小段位移内F 增加的越来越慢，如图所示（曲线表示题所示情况，直线表示拉力随s 均匀变化情况），而图像的面积表示拉力做的功。

其中拉力随s 均匀变化时，拉力做功为：
()121
2
W F F s =
+，
故当拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2时（曲线情况），做功大于()121
2
F F s +，根据动能定理可知小车增加的动能大于
()121
2
F F s +，A 错误B 正确； C ．因为拉力是随时间均匀增大，故在t 时间内拉力的平均值为：
()121
2
F F F +=
， 所以物体动量增加量为：
()121
2
p F F t ∆=
+， C 正确；
D ．根据牛顿第二定律可知在力随时间均匀增大的过程中物体运动的加速度逐渐增大，即
v t -图像的斜率增大（图中红线所示，而黑线表示做匀加速直线运动情况）。

根据v t -图像的面积表示位移可知小车的位移小于1
2
vt ，D 正确。

故选BCD 。

4．如图所示，小球质量为m ，悬线的长为L ，小球在位置A 时悬线水平，放手后，小球运动到位置B ，悬线竖直。

设在小球运动过程中空气阻力f 的大小不变，重力加速度为
g ，关于该过程，下列说法正确的是（ ）
A ．重力做的功为mgL
B ．悬线的拉力做的功为0
C ．空气阻力f 做的功为mgL -
D ．空气阻力f 做的功为2
fL π
-
【答案】ABD 【解析】 【详解】
AB ．如图所示，因为拉力T 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即
T 0W =
重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A 、B 两点连线在竖直方向上的投影，为L ，所以
G W mgL =
故AB 正确；
CD ．空气阻力所做的总功等于每个小弧段上f 所做功的代数和，即
()f 12π2
W f x f x fL =-∆+∆+⋅⋅⋅=-
故C 错误，D 正确。

故选ABD 。

5．根据量子理论，光子的能量为E=hv ，其中h 是普朗克常量．
（1）根据爱因斯坦提出的质能方程E=mc 2，光子的质量可表示为m=E/c 2，由动量的定义和相关知识，推导出波长为λ的光子动量的表达式p=h/λ；
（2）光子能量和动量的关系是E=pc ．既然光子有动量，那么光照到物体表面，光子被物体吸收或反射时，都会对物体产生压强，这就是“光压”．
a. 一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为P 0=103W ，发出的一细束激光束的横截面积为S=1mm 2．若该激光束垂直照射到物体表面，且光子全部被该物体吸收，求激光束对该物体产生的光压P 0的大小；
b. 既然光照射物体会对物体产生光压，科学家设想在遥远的宇宙探测中，可以用光压为动力使航天器加速，这种探溅器被称做“太阳帆”．设计中的某个太阳帆，在其运行轨道的某一阶段，正在朝远离太阳的方向运动，太阳帆始终保持正对太阳．已知太阳的质量为2×1030kg ，引力常量G=7×10-11Nm 2/kg 2，太阳向外辐射能量的总功率为P=4×1026W ，太阳光照到太阳帆后有80%的太阳光被反射．探测器的总质量为m=50kg ．考虑到太阳对探测器的万有引力的影响，为了使由太阳光光压产生的推动力大于太阳对它的万有引力，太阳帆的面积S 至少要多大？（计算结果保留1位有效数字）
【答案】（1）证明见解析；（2）a.0 3.3Pa P = ；b. 42
310s m =⨯
【解析】 【分析】 【详解】
（1）光子的能量 E=mc 2
E ＝h ν＝h c
λ
光子的动量 p=mc 可得
E h p c λ
＝＝
（2）一小段时间△t 内激光器发射的光子数
0 P t
n c h
λ
＝
光照射物体表面，由动量定理
F △t=np 产生的光压 I ＝ F S
解得
I ＝
P cS
带入数据解得：
I =3.3pa
（3）由（2）同理可知，当光80%被反射，20%被吸收时，产生的光压
9 5P
I cS
＝
距太阳为r 处光帆受到的光压
2
954P
I c r ＝
π⋅
太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力
IS ′＞G 2 Mm r
解得
S ′＞
20 9cGMm
P
π 带入数据解得
42310S m ⨯'≥
【点睛】
考查光子的能量与动量区别与联系，掌握动量定理的应用，注意建立正确的模型是解题的
关键；注意反射的光动量变化为2mv，吸收的光动量变化为mv．
6．守恒定律是自然界中某种物理量的值恒定不变的规律，它为我们解决许多实际问题提供了依据．在物理学中这样的守恒定律有很多，例如：电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等等．
(1)根据电荷守恒定律可知：一段导体中通有恒定电流时，在相等时间内通过导体不同截面的电荷量都是相同的．
a．己知带电粒子电荷量均为g，粒子定向移动所形成的电流强度为，求在时间t内通过某一截面的粒子数N．
b．直线加速器是一种通过高压电场使带电粒子加速的装置．带电粒子从粒子源处持续发出，假定带电粒子的初速度为零，加速过程中做的匀加速直线运动．如图l所示，在距粒子源l1、l2两处分别取一小段长度相等的粒子流I ．已知l l:l2=1:4，这两小段粒子流中所含的粒子数分别为n1和n2，求：n1:n2．
(2)在实际生活中经常看到这种现象：适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，如图2所示，垂直于水柱的横截面可视为圆．在水柱上取两个横截面A、B，经过A、B的水流速度大小分别为v I、v2；A、B直径分别为d1、d2，且d1：d2=2:1．求：水流的速度大小之比v1:v2．
(3)如图3所示：一盛有水的大容器，其侧面有一个水平的短细管，水能够从细管中喷出；容器中水面的面积S l远远大于细管内的横截面积S2;重力加速度为g．假设水不可压缩，而且没有粘滞性．
a．推理说明：容器中液面下降的速度比细管中的水流速度小很多，可以忽略不计：b．在上述基础上，求：当液面距离细管的高度为h时，细管中的水流速度v．
【答案】（1）a. Q It N q q
=
= ；b. 21:2:1n n =；（2）2
21221::1:4v v d d ==；（3）a.设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v ．按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv =,由12S S >>，可得12v v <<．所以：液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计． b. 2v gh 【解析】 【分析】 【详解】 (1)a.电流Q I t
=
， 电量Q Nq = 粒子数Q It N q q
=
= b.根据2v ax 可知在距粒子源1l 、2l 两处粒子的速度之比：12:1:2v v = 极短长度内可认为速度不变，根据x v t
∆=∆， 得12:2:1t t =
根据电荷守恒，这两段粒子流中所含粒子数之比：12:2:1n n = (2)根据能量守恒，相等时间通过任一截面的质量相等，即水的质量相等.
也即：2
··
4
v d π
处处相等 故这两个截面处的水流的流速之比：2
2
1221::1:4v v d d == (3)a .设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v .
按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv = 由12S S >>，可得:12v v <<.
所以液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计. b.根据能量守恒和机械能守恒定律分析可知：
液面上质量为m 的薄层水的机械能等于细管中质量为m 的小水柱的机械能． 又根据上述推理：液面薄层水下降的速度1v 忽略不计，即10v =. 设细管处为零势面，所以有：2
1002
mgh mv +=+ 解得:2v gh =
7．如图所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为L 质量为M 的铁链，使其1/3垂在桌边．松手后，铁链从桌边滑下，取桌面为零势能面．
（1）求整条铁链开始时的重力势能为多少？ （2）求铁链末端经过桌边时运动速度是多少？ 【答案】(1) 118mgL -223
gL 【解析】
试题分析：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功，只是垂在桌外部分的重力做功，因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒． (1) 取桌面为零势能面 桌外部分的质量为
13
m ，其重心在桌面下1
6L 处
此时铁链的重力势能为：1
11
3
618
mg L mgL -⨯
=-； (2)铁链末端经桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下2
L
处 此时铁链的重力势能为：1
2
mgL -
设此时铁链的速度为v ，由机械能守恒定律有：
2111
1822
mgL mv mgL -
=- 解得：22gL
v =
点晴：绳子、铁链运动的问题，对于每一部分来讲都是变力，运用动能定理难以解决过程中变力做功，但运用机械能守恒定律只要知道绳子的两个运动状态，不必考虑运动过程，
因此解题就简单了，注意选好参考平面，尽量使解题简捷．
8．为适应太空环境，航天员都要穿航天服．航天服有一套生命保障系统，为航天员提供合适的温度、氧气和气压，让航天员在太空中如同在地面上一样．假如在地面上航天服内气压为1atm ，气体体积为2L ，到达太空后由于外部气压低，航天服急剧膨胀，内部气体体积变为4L ，使航天服达到最大体积．若航天服内气体的温度不变，航天服视为封闭系统． ①求此时航天服内的气体压强，并从微观角度解释压强变化的原因．
②若开启航天服封闭系统向航天服内充气，使航天服内的气压变为0．9 atm ，则需补充1 atm 的等温气体多少升?
【答案】(1) P 2＝0.5 atm 航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小 (2) 1.6 L 【解析】
（1）对航天服内气体，开始时压强为p 1＝1atm ，体积为V 1＝2L ，到达太空后压强为p 2，气体体积为V 2＝4L ． 由玻意耳定律得： p 1V 1＝p 2V 2 解得p 2＝0.5 atm
航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小
（2）设需补充1atm 气体V′升后达到的压强为p 3＝0.9 atm ，取总气体为研究对象． p 1(V 1＋V ′)＝p 3V 2 解得V ′＝1.6 L…
综上所述本题答案是：(1) P 2＝0.5 atm 航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小 (2) 1.6 L
9．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，可以更加深刻地理解其物理本质。

（1）单个微小粒子撞击巨大物体的力是局部而短促的脉冲，但大量粒子撞击物体的平均效果是均匀而持续的力。

我们假定单位体积内粒子数量为n ，每个粒子的质量为m ，粒子运动速率均为v 。

如果所有粒子都垂直物体表面运动并与其碰撞，利用所学力学知识，导出物体表面单位面积所受粒子压力f 与m 、n 和v 的关系。

（2）实际上大量粒子运动的速率不尽相同。

如果某容器中速率处于100~200m/s 区间的粒子约占总数的10%，而速率处于700~800m/s 区间的粒子约占总数的5%，论证：上述两部分粒子，哪部分粒子对容器壁的压力f 贡献更大。

【答案】（1）2f nmv ；（2）速率处于700~800m/s 区间的粒子对容器壁的压力f 贡献更大
【解析】 【分析】
本题考查碰撞过程中的动量定理和压强与压力的公式推导 【详解】
（1）在时间t 内射入物体单位面积上的粒子数为
N nvt =
由动量定理得
Nmv ft =
可推导出
2f nmv =
（2）设炉子的总数为N 总，故速率处于 100~200m/s 区间的粒子数
n 1=N 总×10%
它对物体表面单位面积的压力
f 1= n 1mv 12= N 总×10%×mv 12
同理可得速率处于700～800m/s 区间的粒子数
n 2=N 总×5%
它对物体表面单位面积的压力
f 2= n 2mv 22= N 总×5%×mv 22
故
2
2
1
122
2210%10150==5%57510N mv f f N mv ⨯⨯⨯⨯⨯⨯<总总 故是速率大的粒子对容器壁的压力f 贡献更大。

10．如图所示，有两根足够长的平行光滑导轨水平放置，右侧用一小段光滑圆弧和另一对竖直光滑导轨平滑连接，导轨间距1m L =。

细金属棒ab 和cd 垂直于导轨静止放置，它们的质量m 均为1kg ，电阻R 均为0.25Ω。

cd 棒右侧1m 处有一垂直于导轨平面向下的矩形匀强磁场区域，磁感应强度1T B =，磁场区域长为s 。

以cd 棒的初始位置为原点，向右为正方向建立坐标系。

现用向右的水平变力F 作用于ab 棒上，力随时间变化的规律为
(0.51)N F t =+，作用4s 后撤去F 。

撤去F 之后ab 棒与cd 棒发生弹性碰撞，cd 棒向右
运动。

金属棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计，空气阻力不计，重力加速度
210m/s g =，求：
(1)撤去力F 的瞬间，ab 棒的速度大小；
(2)若1m s =，求cd 棒滑上右侧竖直导轨，距离水平导轨的最大高度h ；
(3)若可以通过调节磁场右边界的位置来改变s 的大小，求cd 棒最后静止时的位移x 与s 的关系。

【答案】(1)8m/s ；(2)1.8m ；(3)见解析
【解析】
【分析】
【详解】
(1)4 s 内的平均作用力
(0)(4)2N 2
F F F +=
= 由动量定理得 F t =mv 1
所以
v 1=8 m/s
(2)ab 棒与cd 棒质量相等，发生弹性碰撞后，ab 棒静止，cd 棒速度为v 1，设cd 棒离开磁场时的速度为v 2，由动量定理得
21BIL t mv mv -∆=-
2BLs q I t R
=∆=
所以 22126m/s 2B L s v v mR
=-= 上升的高度
22 1.8m 2v h g
== (3)分三种情况：如果s 足够大，cd 棒在磁场内运动的距离为d ，则
10BIL t mv -∆=-
2BLd q I t R
=∆=
即 12224m mRv d B L
== ①s ≥4m 时，cd 棒不能穿出磁场，停在磁场内，位移为
x =d +1m=5 m
②当2m ≤s <4 m 时，cd 棒穿过磁场后经竖直轨道返回，若仍没有穿过磁场，cd 棒的位移为
x =2s -d +1 m =2s -3 m
③当0<s <2 m 时，cd 棒返回后穿过磁场，与ab 棒发生弹性碰撞后静止。

cd 棒的位移为
x =0 m。