函数奇偶性、单调性和周期性问题(2)导学案—— 高三数学一轮复习函数专题8

函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）
题型五：奇偶性与周期性综合问题
例题1．已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20212f ⎛⎫
-=
⎪⎝
⎭（ ）
A ．2
B ．
C
D 例题2．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，
()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（ ）
A ．
14
B ．14
-
C ．12
-
D ．1
2
变式训练1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f （x ＋1）＝f （1－x ），f (1)＝5，则f （2020）＋f （2021）＋f （2022）＝（ ） A ．5
B ．10
C ．－5
D ．－10
变式训练2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()
1
2f x f x +=-，且当[0,2)x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20152017f f -+的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．3-
变式训练3．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且()()11f x f x +=-．若当(]0,1x ∈时，()()2log 23f x x =+，则1972f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值是（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．2
D ．3
题型六：单调性与奇偶性综合问题
例题1．函数()f x 为定义在R 上的偶函数，在[0,)+∞上单调递增，则不等式(2)(3)f x f ->的解集为（ ） A ．()1,5-
B ．()5,1-
C ．()(),51,-∞-⋃+∞
D ．()
(),15,-∞-+∞
例题2．若()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是增函数，又()30f =，则()0xf x <的解集是（ ） A ．{|30x x -<<或3}x > B ．{|3x x <-或03}x << C ．{|3x x <-或3}x >
D ．{|30x x -<<或03}x <<
变式训练1．奇函数()f x 在(),0-∞上为增函数，且()20f -=，则不等式()()
02f x f x x
-->的解集是（ ）
A ．()2,2-
B ．()2,+∞
C ．(),2-∞-
D ．()(),22,-∞-+∞
变式训练2．已知函数lg(21),0
()lg(12),0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，若不等式()()12f ax f x -<-在[]2,3上有解，则实数a 的
取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．12,43⎛⎫- ⎪⎝⎭
变式训练3．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()f x []0,1x t ∈-，均有
()()
f x t x -≥则实数t 的最大值是（ ）
A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．3
题型七：对称性与奇偶性综合问题
例题1．已知定义在R 上的函数() f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
.
则下列选项中说法正确的有（ ） A ．() f x 为偶函数 B ．() f x 周期为2 C ．912f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．(2)f x -是奇函数
例题2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x ，恒有(2)()f x f x -=成立，且(1)1f =，则下列说法正确的是( ) ①(1,0)是函数的一个对称中心 ②函数()f x 的一个周期是4 ③(3)1f =- ④(2)0f = A ．②③④
B ．①③④
C ．②③
D ．②④
变式训练1．已知函数()
()()
2
2
131
x h x f x x ++=
++，且()h x 为R 上的奇函数，()()2ln log 55f =，则()()5ln log 2f 等于（ ）
A ．1-
B ．5-
C ．3
D ．4
变式训练2．已知函数()y f x =，x ∈R ，有下列4个命题： ①若(1)(1)f x f x +=-，则()f x 的图像关于直线1x =对称； ②(1)=-y f x 与(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称；
③若()f x 为偶函数，且(1)()f x f x +=-，则()f x 的图像关于直线1x =对称；
④若()f x 为奇函数，且()(2)f x f x =--，则()f x 的图像关于直线1x =对称； 其中正确命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
变式训练3．已知函数()()lg ,1,
lg 2,1,x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩则（ ）
A ．()f x 存在最小值
B ．()f x 在[)1,+∞上是增函数，在(),1-∞上是减函数
C ．()f x 的图象关于点（1，0）对称
D ．()f x 的图象关于直线1x =对称
题型八：对称性、周期性与奇偶性的综合问题
例题1．已知定义在R 上的函数()f x 满足，①()()1f x f x +=-，② ()2f x -为奇函数，③当[)0,1x ∈时，()()
12120f x f x x x ->-()12x x ≠恒成立.则152f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭、()4f 、112f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系正确的是（ ）
A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例题2．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，
()2f x x x =-，则下列说法正确的是（ ）
①()f x 的最小正周期为4 ②()f x 的图像关于直线2x =对称
③当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2 ④ 当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12
-
A ．①②③
B ．①②
C ．①②④
D ．①②③④
变式训练1．设函数f (x )的定义域为R ，f (x )为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )=ax +b ，若f (3）
=1，则f (9
2
)=（ ）
A ．74-
B ．12
-
C ．
32
D ．
94
变式训练2．已知定义域为R 的函数()f x 满足：
①图象关于原点对称；②()32f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()()2log 1f x x m +=+．若()24log 3f =，则m =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
变式训练3．已知定义在R 上的函数(1)=-y f x 的图象关于点()1,0对称，(2)()0f x f x ++-=，且函数()y f x =在()0,1上单调递增，则（ ）
A ．1
71242f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-<
-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．7
11422f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-<
-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．117224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<
<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
D ．171242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）
课后巩固练习
1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足对于任意的x ∈R 都有()()2f x f x =-．若()11f -=，则()2021f =（ ） A ．1
B ．1-
C ．0
D ．不能确定
2．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足()3f x +为奇函数，32f x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭为偶函数，则下列说法中不正确
的是（ ） A ．()(6)f x f x =+ B ．函数()f x 为奇函数 C ．(3)()f x f x --=-
D ．33
()()22
f x f x -+=--
3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是减函数，(2)0f =，则不等式(1)()0f x f x -<的解集是（ ） A ．(2,2)-
B ．(,2)(1,2)-∞-
C ．(,1)(0,3)-∞-⋃
D ．(2,1)(2,3)--⋃
4．若函数()||
()2
3x m f x m R +=-∈为偶函数，设0.40.2(2),(log 4),(2)m a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
5．已知函数16
()n
n
f x x x =+
(n 为正整数)，有下列四种说法： ①函数()f x 始终为奇函数；
②当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为8； ③当n 为奇数时，函数()f x 的极大值为8-；
④当1n =时，函数()y f x =的图像关于直线2y x =对称. 其中所有正确说法的序号是（ ） A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
6．已知函数()2x x x e f x e e -=-与函数()3
121x x g x =-++的图象交点分别为：()()11122,,,P x y P x y ，…，
()()*,,k k P x y k N ∈，则1212()()k k x x x y y y ++⋯++++⋯+=（ ）
A ．2-
B ．0
C ．2
D ．4
7．已知定义在R 上奇函数()f x 的图象是连续不断的，满足(1)(1)f x f x -=+，且()f x 在[01]，
上单调递增，
若2(log 3)a f =，b f =，(2021)c f =，则（ ） A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为1 B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增 C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2
D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点
9．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()3f x =()36
x
g x =-
与函数()y f x =交点的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．12 D ．14
10．已知函数()f x 是定义在R 的奇函数，且满足()()110f x f x ++-=，当[)10x ∈-，
，()ln f x x =-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为1
B ．函数()f x 在()02021，
内单调递增 C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2
D ．函数()ln y f x x =+的图象在区间()20202021，
内的零点0x 满足2
00
2020e e x x -=
11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的R x ∈均有(4)()0f x f x ++-=．当[1,0)x ∈-时，
()2x f x =，则(1)(2)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=______．
【答案】1
##0.52
--
12．已知函数()2y f x =-的图像关于2x =对称，且对()y f x =，R x ∈，当1x 、()2,0x ∈-∞，且12x x ≠时，()()
2121
0f x f x x x -<-恒成立，若()()
2221f ax f x <+对任意R x ∈恒成立，则a 的取值范围为___________.
13．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()6f x f x -+=-，且当0x ≥时，()24x
f x =-，则使得
()230f x x -<成立的x 的取值范围是________．
14．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()()2
f x f x +=-，且函数3()4
y f x =-是奇函数，给出以下四个命题：
①函数()f x 是周期函数；
②函数()f x 的图象关于点3
(4
-，0)对称； ③函数()f x 是偶函数； ④函数()f x 在R 上是单调函数.
在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）
15．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当01x <≤时，(
)213log ,0211
2x x f x x ⎧
-<<⎪⎪=≤≤，则()9114f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.
16．定义在R 上的函数()f x 满足()()
0f x f x 且(1)()f x f x +=-．当(0,1)x ∈时，3()31
x
x f x =+．
（1）求()f x 在[1,1]-上的解析式；
（2）若关于x 的方程()2f x m =在区间[0,1]上有实数解，求实数m 的取值范围． 17．设函数f (x )=a x -a -x (x ∈R ，a >0且a ≠1).
（1）若f (1)<0，求使不等式f (x 2+tx )＋f (4-x )<0恒成立时实数t 的取值范围； （2）若3
(1)2
f =
，g (x )=a 2x ＋a -2x -2mf (x )且g (x )在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m 的值. 18．已知()32
13
f x x x ax =-+，且关于x 的方程()0f x =有3个不同的实数解120,x x ，，其中12x x <
（1）求a 的取值范围；
（2）是否存在点(),m n ，使得()f x 的图像关于点(),m n 对称？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；
（3）若对任意的[]12,x x x ∈，都有()()1f f x >，求实数a 的取值范围. 19．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足1()
(1)1()
f x f x f x -+=+．
（1）证明：2是函数()f x 的周期；
（2）当[0x ∈，1)时，()f x x =，求()f x 在[1x ∈-，0)时的解析式，并写出()f x 在[21x k ∈-，21)()k k Z +∈时的解析式；
（3）对于（2）中的函数()f x ，若关于x 的方程()f x ax =恰好有20个解，求实数a 的取值范围．
20．已知函数2()log ()f x x a =+. （1）当1a =时，若1
0(12)()2
f x f x <--<
，求x 的取值范围； （2）若定义在R 上奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x 时，()()g x f x =，求()g x 在[3,1]--上的解析式；
（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式2321log 382x x t g +⎛⎫
-≥- ⎪+⎝⎭
在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.
函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）解析
题型五：奇偶性与周期性综合问题
例题1． 【答案】B 【分析】
根据(2)f x +是定义在R 上的偶函数，得到()(4)f x f x =-，同时结合条件()f x 为偶函数，可得到函数的周期4T =，从而2021(1.5)2f f ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，代入即可求值.
【详解】
因为(2)f x +是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-， 又()f x 为定义在R 上的为偶函数，所以()()f x f x =-， 所以()(4)f x f x -=-，所以函数的周期4T =，
所以20212f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
333(4253)()()222f f f ⨯-=-== 故选：B. 例题2． A ．
1
4
B ．14
-
C ．12
-
D ．1
2
【答案】B 【分析】
根据题意得出函数的周期和奇偶性，然后只需求函数在[]1,1x ∈-时的最小值即可. 【详解】
因为()()11f x f x -=+，所以()f x 是周期为2的周期函数， 因为()()0f x f x +-=，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数， 所以只需考虑区间[]1,1-内的最小值即可.
当()0,1x ∈时，()2
1124f x x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭，所以()max 1124f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且()10,4f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，
而由于()f x 为奇函数，所以在()1,0x ∈-时，()min 111224f x f f ⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
又因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，(1)(1)f f -=-，
因为()f x 的周期为2，所以(1)(1)f f -=， 所以(1)(1)0f f -==，
所以12f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭即为()f x 在[]1,1-的最小值，从而也是()f x 在R 上的最小值.
故选：B ． 变式训练1． 【答案】A 【分析】
先判断出f (x )是周期为4 的周期函数，把待求式子转化为f （0）＋f （1）＋f （2），利用赋值法，即可求解. 【详解】
因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-. 因为f （x ＋1）＝f （1－x ），所以f （x ）＝f （2－x ）， 所以f （x ＋2）＝-f （x ），所以f （x ）＝-f （x -2），
所以f （x ＋2）＝f （x -2），即f （x ＋4）＝f （x ），所以f (x )是周期为4 的周期函数. 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.
因为f （x ＋1）＝f （1－x ），令x=1得：所以f (2)＝f (0)＝0，，
所以f （2020）＋f （2021）＋f （2022）＝f （0）＋f （1）＋f （2）＝0+5+0=5. 故选：A 变式训练2． A ．0 B ．2 C ．3 D ．3-
【答案】A 【分析】
利用已知条件推出当0x ≥时，(4)()f x f x +=，再根据周期性和奇偶性求出(2017)f 和(2015)f -再相加即可得解. 【详解】
当0x ≥时，(2)f x +=－
1
()
f x ， 所以
11
(4)()
1(2)()
f x f x f x f x +=-
=-=+-
即当0x ≥时，(4)()f x f x +=，
所以(2017)f 2(45041)(1)log 21f f =⨯+===，
(2015)(2015)(45033)(3)f f f f -==⨯+=2111(1)log 2
f =-=-=-， 所以f (－2 015)＋f (2 017)110=-=.
故选：A
变式训练3．
【答案】B
【分析】
由奇函数定义和抽象函数关系式可推导得到()f x 为周期为4的周期函数，从而得到197322f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；由()()2=-+f x f x 和函数解析式可求得32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由此求得结果. 【详解】
()f x 为奇函数且()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x ∴+=-=-，
()()()42f x f x f x ∴+=-+=，即()f x 为周期为4的周期函数，
19733425222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 又23312log 42222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，19722f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 故选：B.
题型六：单调性与奇偶性综合问题
例题1．
【答案】D
【分析】
由函数()f x 为偶函数，可得(2)(3)(|2|)(3)f x f f x f ->⇔->，利用()f x 在[0,)+∞上单调递增，即得解
【详解】
由题意，函数()f x 为偶函数，
故(2)(3)(|2|)(3)f x f f x f ->⇔->
又()f x 在[0,)+∞上单调递增
故|2|3x ->，解得5x >或1x <-
故不等式(2)(3)f x f ->的解集为()
(),15,-∞-+∞
故选：D
例题2．
【答案】D
【分析】
根据奇函数的单调性的性质，结合不等式的性质分类求解即可.
【详解】
因为()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是增函数，所以()f x 在(,0)-∞上也是增函数，
因为()f x 是奇函数，所以(3)(3)0f f -=-=，
当0x >时，由()0()0(3)03xf x f x f x <⇒<=⇒<<；
当0x <时，由()0()0(3)03xf x f x f x <⇒>=-⇒>>-
故选：D
变式训练1．
【答案】D
【分析】
由函数()f x 为奇函数，可得()0f x x
>，即x 和()f x 同号，所以 ()00f x x ⎧>⎨>⎩或()00f x x ⎧<⎨<⎩
，再结合函数()f x 的大致图象即可求解． 【详解】
解：
()f x 在定义域上为奇函数，()()02f x f x x -->， ()0f x x
∴>， ()00f x x ⎧>∴⎨>⎩
或()00f x x ⎧<⎨<⎩， 由题可知()f x 的大致图象如图：
∴该不等式的解集为()
(),22,-∞-+∞,
故选：D.
变式训练2．
【答案】C
【分析】 首先根据题意证明函数()f x 为偶函数，根据单调性得到()()2121f ax ax f x x ---<<⇔-，从而得到3111x x x -<<-在[]2,3上有解，再根据31y x
=-和11y x =-的单调性即可得到答案. 【详解】
当0x <时，()lg(12)f x x =-，
0x ->，()()lg(21)f x x f x -=-+=.
当0x >时，()lg(21)f x x =+，
0x -<，()()lg(12)f x x f x -=+=.
所以()f x 为偶函数.
又因为()f x 在(),0-∞为减函数，在()0,∞+为增函数.
所以()()2121f ax ax f x x ---<<⇔-.
因为不等式()()12f ax f x -<-在[]2,3上有解，
所以212x ax x -<-<-，即3111x x x
-<<-在[]2,3上有解， 又因为31y x
=-在[]2,3为减函数，11y x =-在[]2,3为增函数， 所以302
a <<
. 故选：C
变式训练3．
【答案】A
【分析】
根据函数为偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，得到2x t x -≥，化简解出即可.
【详解】
易知，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，
由10t ->，得1t >，
又()()()2f x t x f x -=，且函数为偶函数，
2x t x ∴-≥，两边平方化简，则22320x xt t +-≤在[]0, 1t -恒成立，
令()22
32g x x xt t =+-，则()()0010g g t ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩， 即()()222031210t t t t t ⎧-≤⎪⎨-+--≤⎪⎩
， 解得1322
≤≤t ， 综上：t 的最大值为32
． 故选：A ．
题型七：对称性与奇偶性综合问题
例题1．
【答案】D
【分析】
由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，可知()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，可知()f x 关于直线1x =对称，由此即可求出函数的周期，进而可判断选项A,B 是否正确；利用周期和对称性即可判断选项C ，D 是否正确.
【详解】
由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；
所以()()(2)4f x f x f x =--=-，
所以函数()f x 的周期4T =，所以选项A ､B 错误；
119133*********f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选项C 错误； 对选项D ：由已知()f x 关于(0,0)和直线1x =对称，所以()f x 关于(2,0)对称，
又因为()f x 的周期4T =，可得()f x 关于(2,0)-对称，
所以(2)f x -是奇函数，D 正确.
故选：D.
例题2．
【答案】A
【分析】
根据函数的对称关系以及周期函数的定义即可判断①②是否正确；利用奇函数、周期性和轴对称的性质，并结合(1)1f =即可求解(2)f 和(3)f ，进而判断③④是否正确.
【详解】
由(2)()f x f x -=知，(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 关于1x =对称，
若()f x 关于(1,0)对称，则(2)()0f x f x -+=，从而()0f x =对于x R ∀∈都成立，显然不合题意，故①错误； 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，
又由(2)()f x f x -=，所以(2)()f x f x -=--，
从而(2)()f x f x +=-，即()(2)f x f x =-+，所以(2)(4)f x f x +=-+，
故()(4)f x f x =+，从而函数()f x 的一个周期是4，故②正确；
又因为()f x 的一个周期是4且()f x 为奇函数，
从而(3)(1)(1)1f f f =-=-=-，故③正确；
因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，故(0)0f =，
又因为()f x 关于1x =对称，所以(2)(0)0f f ==，故④正确.
故选：A.
变式训练1．
【答案】C
【分析】
计算可得出()()8f x f x +-=，利用()()52ln log 2ln log 50+=，结合已知条件可求得结果.
【详解】
()()()()2
22123411x h x x h x f x x x +++=+=+++，该函数的定义域为R ， 因为函数()h x 为奇函数，则()()0h x h x -+=，
则()()()()22228811
x h x x h x f x f x x x -+-+-+=++=++， 因为52ln 2ln 5log 2log 51ln 5ln 2
⋅=⋅=，则()()()5252ln log 2ln log 5ln log 2log 50+=⋅=， 所以，()()()()52ln log 2ln log 58f f +=，因此，()()5ln log 23f =.
故选：C.
变式训练2．
【答案】D
【分析】
对于①，由(1)(1)f x f x +=-直接判断对称即可，对于②，利用函数图像平移变换和对称变换判断，对于③，由(1)()f x f x +=-结合偶函数的性质判断，对于④，由()(2)f x f x =--结合奇函数的性质判断即可
【详解】
①若(1)(1)f x f x +=-，则()f x 的图像关于直线1x =对称；故①正确，
()f x 的图像向右平移1个单位，可得(1)f x -的图像，将()f x 的图像关于y 轴对称得()f x -的图像，然后将其图像向右平移1个单位得(1)f x -的图像，
(1)f x ∴-与(1)f x -的图像关于直线1x =对称∴②对.
(1)()f x f x +=-，(2)()f x f x ∴+=
()f x 为偶函数，()()(2)()()f x f x f x f x f x ∴-=∴+=-∴的图像自身关于直线1x =对称∴③对.
()f x 为奇函数，且()(2)f x f x =--
(2)()()()f x f x f x f x ∴+=-=-∴的图像自身关于直线1x =对称
∴④对；
综上正确的命题是①②③④，
故选：D.
变式训练3．
【答案】C
【分析】
设点(),x y 是函数lg y x =在[)1,+∞的图象上任意一点，可得函数lg y x =在[)1,+∞上的图象与函数()lg 2y x =--在(],1-∞上的图象关于点()1,0对称，根据对称性可得答案.
【详解】
设点(),x y 是函数lg y x =在[)1,+∞的图象上任意一点，
它关于点()1,0的对称点为(),x y ''，
则20
x x y y +=⎧⎨+=''⎩，∴2x x y y =-⎧⎨='-'⎩代入lg y x =，得()lg 2y x ''-=-， ∴()lg 2y x ''=--，1x '≤，
∴函数lg y x =在[)1,+∞上的图象与函数()lg 2y x =--在(),1-∞上的图象关于点()1,0对称，
即()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩
的图象关于点()1,0对称， 因为函数lg y x =在[)1,+∞上是增函数，所以()f x 在定义域R 上单调递增．
故A 、B 、D 错误；
故选：C.
题型八：对称性、周期性与奇偶性的综合问题
例题1．
【答案】C
【分析】
根据单调性的定义可得()f x 在()0,1上单调递增，根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.
【详解】
由()()1f x f x +=-可得()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为2，
因为()2f x -为奇函数，所以()f x 为奇函数，
因为[)0,1x ∈时，()()
12120f x f x x x ->-，所以()f x 在()0,1上单调递增，
因为()f x 为奇函数，所以()f x 在()1,0-上单调递增，
所以()f x 在()1,1-上单调递增， 因为1515124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()()()44220f f f =-⨯=， 1111123222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以()11022f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C.
例题2．
【答案】A
【分析】
①利用()()13f x f x +=-求出函数的周期；②利用()()13f x f x +=-求出函数的对称轴；③④先求出当
02x ≤≤时，()2f x x x =-的单调性，再利用函数的周期和对称轴进行求解.
【详解】
对于①，()()13f x f x +=-，()()3133f x x f ∴+=+-+，则()(4)f x f x =+，即()f x 的最小正周期为4，故①正确；
对于②，由()()13f x f x +=-知()f x 的图像关于直线2x =对称，故②正确；
对于③，当02x ≤≤时，()2f x x x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增 根据对称性可知，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,42⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，则函数()f x 在[]0,4上的最大值为()2422f =-=，故③正确；
对于④，根据周期性以及单调性可知，函数()f x 在156,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在15,82⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则函数()f x 在[]6,8上的最小值为157711114222242
4f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故④错误. 故选：A
变式训练1．
【答案】B
【分析】
根据题中函数的性质，先求解出函数的周期，最后求解出函数值即可.
【详解】
由题意()f x 有对称中心()0,0，有对称轴1x =，则周期4T =，()2,0为对称中心，即()20f =；()()()3111f f f =-=-=，即()11f =-，
解出1a =，2b =-. 所以91312222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，选项B 正确. 故选：B.
变式训练2．
【答案】B
【分析】
根据函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
得到函数的周期为3求解. 【详解】
因为定义域为R 的函数()f x 满足图象关于原点对称，
所以()()f x f x -=-，又()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 所以()3
2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()()3f x f x =+， 所以3T =，
所以()()221341log log 322f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭
， 解得1m =,
故选：B
变式训练3．
【答案】A
【分析】
由题可知函数为奇函数，再结合条件可知函数的周期为2，然后利用函数的单调性可得.
【详解】
因为函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，
故函数()y f x =的图象关于原点对称，所以()y f x =是R 上的奇函数，
由(2)()0f x f x ++-=可得(2)()()f x f x f x +=--=，
所以()f x 的周期为2，
因为函数()y f x =在(0,1)上单调递增，
所以函数()y f x =在(1,1)-上单调递增， 又7711112,444242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， 所以171242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭. 故选：A.
函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）
课后巩固练习
1．
【答案】B
【分析】
由奇函数定义和已知抽象函数关系式可推导得到()f x 的周期为4，进而得到()()()202111f f f ==--.
【详解】
()f x 为定义在R 上的奇函数，()()()22f x f x f x ∴=-=--，
()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x ∴是以4为周期的周期函数，
()()()()202145051111f f f f ∴=⨯+==--=-.
故选：B.
2．
【答案】C
【分析】
根据给定条件探求函数()f x 的性质，再对各选项逐一推理判断即可作答.
【详解】
因定义在R 上的非常数函数()f x 满足()3f x +为奇函数，则有(3)(3)f x f x -+=-+， 又3()2f x +为偶函数，则有33()()22
f x f x -+=+，即(3)()f x f x -+=， 于是得，(3)()f x f x +=-，即(6)(3)()f x f x f x +=-+=，函数()f x 周期为6，A 正确；
由(3)()f x f x +=-得：(3)()f x f x -+=--，而(3)()f x f x -+=，于是有()()f x f x --=，函数()f x 为奇函数，B 正确；
因函数()f x 周期为6，则(3)[(3)6](3)()f x f x f x f x --=--+=-+=，C 不正确；
因()f x 为奇函数，则33333()()()()()22222f x f x f x f x f x --=-+=-+=--+=-3
()2
f x =-+，D 正确.
故选：C 3． 【答案】D 【分析】
根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式. 【详解】
因为函数是偶函数，在(,0]-∞上是减函数，所以在()0+∞，
上是增函数，()()220f f -==， 22x -<<时，()0f x <，(1)()0f x f x -<，
则(1)0()0f x f x -<⎧⎨>⎩或(1)0
()0
f x f x ->⎧⎨
<⎩. 当(1)0
()0f x f x -<⎧⎨>⎩时，21222
x x x -<-<⎧⎨><-⎩或，得23x <<时； 当(1)0()0f x f x ->⎧⎨<⎩时，121222x x x ->-<-⎧⎨-<<⎩或，此时21x -<<-.
故选:D. 4． 【答案】C 【分析】
根据函数奇偶性求出0m =，再求出得出单调性，由单调性即可求解 【详解】
函数||()23x m f x +=-()m R ∈为偶函数，()()f x f x =-恒成立，
||||22x m x m +-+=恒成立，即0m =，则||
()23x f x =-，
||()23x f x =-在()0,x ∈+∞单调递增，
因为0(2)(1)a f f ==， 0.255(log 4)(log 4)(log 4)b f f f ==-=，0.4(2)c f =， 0.450log 412<<<，
所以b a c <<. 故选：C 5． 【答案】B 【分析】
对于①，利用函数的奇偶性的定义进行判断； 对于②，利用基本不等式求出最小值即可判断；
对于③，当n 为奇数时，作出16
()n
n
f x x x =+
的图像，利用图像进行判断； 对于④,当1n =时，作出函数16
()f x x x
=+和2y x =的图像，利用图像进行判断. 【详解】 16
()n n
f x x x =+
的定义域为()()00-∞∞，
，+.
对于①，当n =2时，2
216
()f x x x
=+
，满足()=()f x f x -，则()f x 为偶函数；故①错误.
对于②，当n 为偶数时，0n x >，所以16()n n f x x x =+≥，当16=n n x x ，即x =以函数()f x 的最小值为8；故②正确.
对于③，当n 为奇数时，作出16
()n
n
f x x x =+
的图像如图示：
由图像可得：()f x 的极大值为8-；故③正确. 对于④,当1n =时，作出函数16
()f x x x
=+
和2y x =的图像如图示：
显然函数()y f x =的图像不关于直线2y x =对称，故④错误. 故选:B 6． 【答案】D 【分析】
先证明函数(),()f x g x 关于点(0,1)对称，再作出两函数的图象分析得解. 【详解】
由题意化简，()1x x
x x e e f x e e
--+=+-，
因为函数x x x x e e y e e --+=-是奇函数，所以函数()1x x
x x e e f x e e
--+=+-关于点(0,1)对称.
因为函数312y x x =-+是奇函数，所以函数()3
121x x g x =-++关于点(0,1)对称.
又()()
22
2401x
x
e f x e
'=
<--，
所以()f x 在()(),0,0,-∞+∞上单调递减，
由题得()()2
'34g x x =--
所以函数()g x 在()()2,2,-∞-+∞，
上单调递减，在()2,2-上单调递增， 由图象可知，()f x 与()g x 的图象有四个交点，且都关于点()0,1对称， 所以123412340,02,2x x x x y y y y +=+=+=+=，， 所以所求和为4, 故选：D
【点睛】
方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（解方程得解）；（2）图象法（作出函数()f x 的图象即得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，分析函数(),()g x h x 得解）. 7． 【答案】A 【分析】
根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可. 【详解】
因为(1)(1)f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，所以()(2)f x f x =-， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--， 所以(2)()f x f x -=--，所以函数()f x 是周期函数，且4T =，
所以2224
(log 3)(2log 3)(log )3
a f f f ==-=，4)
b f f ==，(2021)(1)
c f f ==，
又()f x 是奇函数，且在[0,1]上单调递增，所以()f x 在[1,1]-上单调递增.
所以由2414log 13
-<<<，得244)(log )(1)3
f f f <<，即b a c <<. 故选：A. 8． 【答案】D
根据已知关系式可推导得到()()2f x f x +=，知A 错误；由周期性、奇偶性和函数在(]0,1上的解析式可得
()f x 图象，通过图象可判断出BC 错误；将()ln y f x x =+零点个数问题转化为()f x 与ln y x =-交点个数问
题，通过数形结合的方式可确定结果，知D 正确. 【详解】
由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误； 当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =， 可得()f x 大致图象如下图所示：
由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；
()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；
()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角
坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：
由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，
∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D 正确.
【点睛】
思路点睛：本题考查函数性质和函数图象的综合应用问题，解题的基本思路是能够根据奇偶性、周期性和函数的部分解析式确定函数的图象，进而通过数形结合的方式来进行分析求解. 9． 【答案】D 【分析】
由()f x 奇偶性可知函数是偶函数，对称性可知()f x 关于直线1x =对称，周期性可知()f x 的周期为2，于是可以得出只需要知道0x >时()f x 和()g x 交点的个数便可，又根据直线和圆的关系判断出0x >时 交点的个数，便可求出在定义域为R 上()f x 和()g x 的交点个数. 【详解】 解：由题意得
∴()f x 是偶函数，且当01x ≤≤时，()3f x =
∴当10x -≤≤时，设()()3y f x f x ==-=()2
231x y +-= 又∴()()11f x f x +=-
∴()f x 关于直线1x =对称，()f x 的周期为2
故当12x <
≤时，()3f x =2
2
2
3
1x y ，
在56x <≤时，()3f x =()()2
2
631x y -+-=， ∴()f x 与()g x 均为偶函数
∴直线36
x
y =-过点()6,2，且点()6,2也在()f x 上，当以点()6,3为圆心，1为半径的部分圆(]()5,6x ∈与直
线3y ax =+
1=，解得16a =<-（a =
∴在0x >时，有7个交点 ∴共14个交点 故选：D ． 10． 【答案】D
利用()00=f ，()f x 关于点()10，
成中心对称，因为()()110f x f x ++-=，可得()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x =+-，所以()f x 的最小正周期为2，则可以画出()f x 的大致图像，通过图像来逐项判断即可. 【详解】
由题意可得：()00=f ，()f x 关于点()10，成中心对称，因为()()110f x f x ++-=，可得()()11f x f x +=--，
所以()()11f x f x =+-，所以()f x 的最小正周期为2，可得()f x 的大致图象如下：
所以，()f x 的最小正周期为2，A 错误；
()f x 在()222k k +，
()k ∈Z 内单调递增，但是在()02021，内没有单调性，故B 错误；()f x 的对称中心为()0k ，()k ∈Z ，故相邻两个对称中心的距离为1，故C 错误；()y f x =的图象与ln y x =-的图象在每个()222k k +，区间内都有1个交点，且()y f x =在()20202021，
内的解析式为ln(2020)y x =-，所以()ln y f x x =+的图象在区间()20202021，
内的零点0x 满足()20000ln(2020)ln ln 20200y x x x x =-+=-=， 故20020201x x -=，所以2
2020e e x x -=.
故选:D 【点睛】
对奇函数的特点，以及()()110f x f x ++-=表示周期为2的准确理解，通过图像来解决问题，是这类问题的常见解法.
11．【答案】1
##0.52
-- 【分析】
根据已知条件求出()f x 的周期，再根据已知条件求出(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f 的值，进而可得
(1)(2)(3)(4)f f f f +++的值，再根据周期性计算即可求解.
【详解】
因为(4)()0f x f x ++-=，所以(4)()f x f x +=--， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=- 所以(4)()()f x f x f x +=--=，所以()f x 的周期为4，
当[1,0)x ∈-时，()2x
f x =，
所以1
21(1)2
f --==
，(0)0f =，()()1112f f =--=-，
在(4)()0f x f x ++-=中，令2x =-可得2(2)0f =，所以(2)0f =， 1
(3)(1)2
f f =-=
，(4)(0)0f f ==， 所以11(1)(2)(3)(4)00022f f f f ⎛⎫
+++=-+++= ⎪⎝⎭
，
因为202245052=⨯+， 所以(1)(2)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+
[]505(1)(2)(3)(4)(1)(2)f f f f f f =⨯+++++
115050022⎛⎫
=⨯+-+=- ⎪⎝⎭
，
故答案为：1
2
-.
12．【答案】( 【分析】
由给定条件可得函数()f x 是偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，将不等式()()2
221f ax f x <+脱去法则“f ”，
再借助恒成立的不等式求解即得. 【详解】
函数y =f (x )的图象可由函数y =f (x -2)的图像向左平移2个单位而得，而y =f (x -2)的图像关于x =2对称，则y =f (x )的图象关于y 轴对称，即f (x )是偶函数， 因当1x 、()2,0x ∈-∞，且12x x ≠时，()()
2121
0f x f x x x -<-恒成立，则函数f (x )在(,0)-∞上单调递减，于是得函
数f (x )在(0,)+∞上单调递增，
由()()()()22
221|2|21f ax f x f ax f x <+⇔<+得：2|2|21ax x <+，因此，对任意R x ∈，2|2|21ax x <+恒成立，
当0x =，01<成立，则R a ∈，
当0x ≠时，||0x >，从而有22
21
|2|21||2||
x ax x a x +<+⇔<，
因2211||2||2||x x x x +=+≥1||2||x x =，即x =“=”，
于是得||a <a <<a <
所以a 的取值范围为(.
故答案为：( 13．【答案】()(),12,-∞⋃+∞ 【分析】
构造函数()()3g x f x =+，分析出函数()g x 为奇函数且为R 上的增函数，将所求不等式变形为
()()232g x x g -<，可得出232x x -<，解此不等式即可得解.
【详解】
构造函数()()3g x f x =+，则()()3f x g x =-，
由()()6f x f x -+=-可得()()66g x g x -+-=-，即()()g x g x -=-， 故函数()g x 为R 上的奇函数，
当0x ≥时，()24x f x =-，则()21x
g x =-，所以函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，
由于函数()g x 为奇函数，故函数()g x 在(],0-∞上为增函数， 所以，函数()g x 为R 上的增函数，
由()230f x x -<，可得()
2330g x x --<，即()2
33g x x -<， 因为()2
2213g =-=，所以，()()232g x x g -<，
则232x x -<，即2320x x -+>，解得1x <或2x >. 故答案为：()(),12,-∞⋃+∞. 14．
【答案】①②③
【分析】
由3()()2
f x f x +=-可得(3)()f x f x +=，由此可得函数()y f x =为周期函数，①对，④错，由函数3()4
y f x =-是奇函数确定函数()y f x =的对称中心，判断②，根据偶函数的定义判断③. 【详解】 解：对于①：
3
(3)()()2
f x f x f x +=-+=∴函数()f x 是周期函数且其周期为3.①对
对于②：3()4
y f x =-是奇函数∴其图象关于原点对称
又函数()f x 的图象是由3
()4y f x =-向左平移34
个单位长度得到.
∴函数()f x 的图象关于点3
(4
-，0)对称，故②对.
对于③：由②知，对于任意的x ∈R ，都有3
3()()44f x f x --=--+，用34x +换x ，可得：3()()02
f x f x --+=
33
()()()22
f x f x f x ∴--=-=+对于任意的x ∈R 都成立.
令32
t x =+，则()()f t f t -=，∴函数()f x 是偶函数，③对.
对于④：偶函数的图象关于y 轴对称，()f x ∴在R 上不是单调函数，④不对. 故答案为：①②③. 15．【答案】5 【分析】
由题意可知()f x 周期为2，从而可求出91544f f ⎛⎫⎛⎫
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()1110f f ==，进而可求出
()9114f f ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
的值. 【详解】
解：由()()2f x f x +=-可知，()f x 关于1x =对称，又因为()f x 是偶函数， 所以()f x 周期为2，则9915444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()()1110f f ==
()()9111150544f f f f ⎛⎫⎛⎫
∴-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为:5. 【点睛】
本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键. 16．
【答案】（1）{}3,01,31()0,1,0,1,1,10.31x
x x x f x x x ⎧<<⎪+⎪⎪=∈-⎨⎪⎪--<<+⎪⎩
；（2）13{0}(8)4,m ∈. 【分析】
（1）根据函数()f x 为奇函数可得(0)0f =，再由(1)()f x f x +=-得到(2)(1)f x f x +=-+，两式结合得到周期为2，再结合奇偶性求出(1)(1)0f f -==，
当10x -<<时，则01x <-<，将-x 代入到()331
x
x f x =+中化简即可求出10x -<<时的解析式. （2）先判断函数()f x 再[0,1]上的单调性，并求出值域，通过直观想象即可求得m 的范围.
【详解】
（1）由()()0f x f x ，得(0)(0)0f f -+=，所以(0)0f =，
又(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)f x f x +=-+，所以(2)()f x f x +=，
所以(1)(12)(1)f f f -=-+=，又因为(1)(1)0f f -+=，
所以(1)(1)0f f -==．
设10x -<<，则01x <-<，31()()3131
x x x f x f x --=--=-=-++． 综上，{}3,01,31()0,
1,0,1,1,10.31x
x x x f x x x ⎧<<⎪+⎪⎪=∈-⎨⎪⎪--<<+⎪⎩
（2）由（1）知
当{0,1}x ∈时，()0f x =，
当(0,1)x ∈时，33111()1313131
x x x x x f x +-===-+++为增函数， 所以13(0)()(1)24
f f x f =<<=， 所以13(){0}(,)24
f x ∈， 若关于方程()2f x m =在[0,1]上有实数解，则132{0}(,)24
m ∈， 所以13{0}(8
)4,m ∈． 17．
【答案】（1）35t -<<；（2）2.
【分析】
(1)由f (1)<0导出01a <<，再探讨函数f (x )的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；
(2)由3(1)2
f =
求出2a =，借助换元的思想将函数g (x )转化成二次函数问题即可作答. 【详解】 （1）()1
110f a a a a -=--<=，即210a a -<，而0a >，则210a -<，解得01a <<，显然()f x 在R 上单调递减，
又()()x x f x a a f x --=--=，于是得()f x 在R 上是奇函数，
从而有()()24f x tx f x ++-<0等价于()()()244f x tx f x f x +<--=-，
由原不等式恒成立可得24x tx x +>-，即()2140x t x +-+>恒成立，亦即()2
1440t ∆=--⨯<，解得：35t -<<，
所以实数t 的取值范围是：35t -<<；
（2）()1
211132a a a a f a a ---====-，即22320a a --=，而0a >，解得：2a =， 所以()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+，
令22x x t -=-，显然22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增，则1322222
x x t -=-≥-=， ()222h t t mt =-+，对称轴为t m =， 当32
m ≥时，()()22min 222h t h m m m ==-+=-，解得2m =或2m =-(舍)，则2m =， 当32m <时，()2min 33317()()22322224
h t h m m ==-⋅+=-=-，解得：253122m =>不符合题意， 综上得2m =，
所以实数m 的值为2.
18．
【答案】（1）34
a <
且0a ≠；（2）存在,1m =；（3）2334a << 【分析】 （1）变形()213f x x x x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，问题转化为2103x x a -+=有两个不同的非零实数解，利用判别式列不等
式求解即可；
（2）将问题转化为函数()()g x f x m n =+-为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解；
（3）分类讨论，当210x x >>时，可求出()f x 的最大值为零，则()10f >，解不等式求解；当210x x >>时，发现()()10f f <，不可能对任意的[]12,x x x ∈，都有()()1f f x >，综合可得结果.
【详解】
解：由已知()3221133f x x x ax x x x a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭
， （1）关于x 的方程()0f x =有3个不同的实数解120,x x ，，其中12x x <， 则2103
x x a -+=有两个不同的非零实数解， 41030
a a ⎧∆=->⎪∴⎨⎪≠⎩， 解得34
a <且0a ≠； （2）假设存在点(),m n ，使得()f x 的图像关于点(),m n 对称，
则函数()()g x f x m n =+-为奇函数，
则()()()()()()323223*********
g x x m x m a x m n x m x m m a x m m am n =+-+++-=+-+-++-+-， ()()()32232111233
g x x m x m m a x m m am n ∴-=-+---++-+- ()()()232112032m x m m am g x g x n ⎛⎫-+-+-= ⎝∴+⎪⎭
-=恒成立， ()322101203m m m am n ⎧-=⎪∴⎨⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝
⎭⎩，解得1m =， 故存在点(),m n ，使得()f x 的图像关于点(),m n 对称，此时1m =；
（3）由已知()()()1213
f x x x x x x =-- ①当210x x >>时，此时有304
a <<，对任意的[]12,x x x ∈，有120,0x x x x -≥-≤，此时()0f x ≤， ()10f ∴>，即1103
a -+>，得23a >，2334a ∴<<； ②当210x x >>时，此时有0a <，
又()1211033
f a a =-+=-+<，()00f =， ()()10f f <，所以不可能对任意的[]12,x x x ∈，都有()()1f f x >. 综上所述：2334
a <<. 【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，考查二次方程的根的问题，关键时将恒成立问题转化为最值问题，考查学生分类讨论的思想以及转化的思想，是一道难度较大的题目.
19．
【答案】（1）证明见解析 （2）当[1x ∈-，0)时，()2
x f x x =-+． 当[21x k ∈-，21)()k k Z +∈时，2,[21,2)()(2)222,[2,21)
x k x k k f x f x k x k x k k k -⎧-∈-⎪=-=-+⎨⎪-+⎩，
（3）1111(,)(,)19212119
a ∈--. 【分析】 （1）令x 取1x +代入1()(1)1()
f x f x f x -+=+化简后，由函数周期性的定义即可证明结论； （2）由[1x ∈-，0)得1[0x +∈，1)，求出(1)f x +代入1()(1)1()f x f x f x -+=
+化简后求出()f x ，即可求出一个周期[1-，1)上的解析式，利用函数的周期性求出()f x 在[21x k ∈-，21)()k k Z +∈时的解析式；
（3）由（2）和函数的周期性画出()f x 的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对a 分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出a 的取值范围．
【详解】
证明：（1）因为1()(1)1()
f x f x f x -+=+，令x 取1x +得， 所以1()
11(1)1()(2)()1()
1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++===-
++++
， 所以，2是函数()f x 的周期．
解：（2）当[1x ∈-，0)时，1[0x +∈，1)，则()11f x x +=+，
又1()(1)1()f x f x f x -+=+，即1()11()f x x f x -=++，解得()2
x f x x =-+．。