2015年上海市中考数学试卷含答案

2015年上海市中考数学试卷含答案2015年上海市中考数学试卷
一、选择题
1.下列实数，是有理数的为（）
A。

-√3 B。

0.5 C。

π D。

√2
2.当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）
A。

a0=1 B。

a1= -a C。

( -a )2 = -a2 D。

a-1= 1/a
3.下列y关于x的函数，是正比例函数的为（）
A。

y=x2 B。

y=2x C。

y=1/x D。

y=x+1
4.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）
A。

4 B。

5 C。

6 D。

7
5.下列各统计量，表示一组数据波动程度的量是（）
A。

平均数 B。

众数 C。

方差 D。

频率
6.如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）
A。

AD=BD B。

OD=CD C。

∠CAD=∠CBD
二、填空题
7.计算：| -2 | + 2= 4
8.方程 2x-3=7 的解是 x=5
9.如果分式 (x+3)/(x-2)=2 的解是 x=1
有意义，那么x的取值范围是 (-∞。

2) ∪ (2.+∞)
10.如果关于x的一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，
那么m的取值范围是 m<8
11.同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间
的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那
么它的XXX度数是 77℉
12.如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移，使它经过点A（1，3），那么所得新抛物线的表达式是 y=x2+2x+2
13.某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次
活动需要7位同学参加，现有包括XXX在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，XXX被抽
到参加首次活动的概率是 7/50
14.已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况
如下表：
年龄（岁）人数
11 5
12 5
13 16
14 15
15 12
那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 13岁
15.如图，已知在△ABC中，D，E分别是边AB、边AC
的中点。

量用向量，表示为 AD=1/2 AB，AE=1/2 AC，那么向量
DE=1/2 BC
16.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=45°
17.在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以
等于 6
18.已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°。

将△ABC 绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处。

此时点C落在
点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E。

求线段DE的长度。

19.化简表达式，再代入x=-1求值：$\frac{1}{x^2-3x} \div \frac{1}{x-3}$。

20.解不等式组：$\begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-3x-
4<0 \end{cases}$，并在数轴上表示解集。

21.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数$y=x$的图像经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数
$y=\frac{k}{x}$的图像也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，
且AC=AB。

1）求这个反比例函数的解析式；
2）求直线AB的表达式。

22.如图，XXX表示一段笔直的高架道路，线段AB表示
高架道路旁的一排居民楼。

已知点A到MN的距离为15米，
BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在
高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响。

1）过点A作MN的垂线，垂足为点H。

如果汽车沿着从
M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开
始影响这一排的居民楼。

求此时汽车与点H的距离。

2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板。

当
汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米。

求对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多长（精确到1米）。

（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.7$）
23.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD
相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE。

1）求证：DE⊥BE。

2）如果OE⊥CD，求证：BD·CE=CD·DE。

24.已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线
$y=ax^2-4$与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m。

1）求这条抛物线的解析式；
2）用含m的代数式表示线段CO的长；
3）当$\tan\angle ODC=1$时，求$\sin\angle PAD$的值。

已知半圆O的直径为AB，弦CD与AB平行，动点P、
Q分别在OC、CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ
相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y。

1）证明AP=OQ。

由于AB为半圆的直径，所以∠ACB=90°。

因为弦CD与AB平行，所以∠XXX∠ACB=90°，∠CAD=∠CBA，
∠CDA=∠CAB。

由于DQ=OP，所以△DCQ≌△OAP。

因此，∠AOP=∠DCQ，∠XXX∠XXX。

又因为∠XXX∠ACB=90°，所以△ACD与△ACB相似，所以AC²=AD×AB。

又因为
∠XXX∠OCA，所以△OAC也是等腰三角形，所以OA=OC。

因此，AC²=AD×2OA，即AD=AC²/2OA=10/cos∠AOC。

因为DQ=OP，所以AP=DQ+AD=10/cos∠AOC+x。

同理，
OQ=DC+OC=10/cos∠AOC+OA=10/cos∠AOC+10.因此，
AP=OQ。

2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。

设∠AOC=θ，则cosθ=AB/2OA=10/O A，所以
OA=10/cosθ。

由于∠AOC=θ，所以△OAC是等腰三角形，所以OC=OA=10/cosθ。

因为弦CD与AB平行，所以
∠DCF=∠OAB=θ/2.又因为AP=OQ，所以AP×OQ=CP×PF，即(10/cosθ+x)(10/cosθ+10)=(10/cosθ-10)×2PF。

因此，
y=△CPF=PF×CF/2=(10/cosθ+x)(10/cosθ+10)/(4cosθ-2)。

函数的定义域为x∈(-10/cosθ,∞)。

3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长度。

当△OPE是直角三角形时，有OE²=OP×OQ。

因为
OA=OC，所以OE=OA-CE=OA-CD/2=10/cosθ-5.又因为
OE²=OP×OQ=(10/cosθ-x)(10/cosθ+10)，所以(10/cosθ-
5)²=(10/cosθ-x)(10/cosθ+10)。

解得x=20-10cosθ，因此，线段OP的长度为20-10cosθ。

解析：此题没有明显的格式错误，但是第一段中的
“∴Rt△XXX≌Rt△ADF，”后面没有接任何说明，应该加上
“∴∠DAF=∠EAF。

”并且第二段中的“求证
Rt△AEF≌Rt△ADF是解此题的关键”应该改为“证明
Rt△AEF≌Rt△ADF是解此题的关键”，因为这是一个证明题。

改写后的完整答案如下：
16．22.5解析：如图。

在直角三角形Rt△AEF和
Rt△ADF中，因为AE=AD，EF=DF，AF=AF，所以根据SSS
全等条件可知Rt△AEF≌Rt△ADF，因此∠DAF=∠EAF。

又
因为四边形ABCD为正方形，所以∠CAD=45°，因此
∠FAD=22.5°。

点评：此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质。

关键在于掌握三角形全等的判定条件和证明方法。

17．14（答案不唯一）解析：如图。

在矩形ABCD中，
AB=5，BC=12，所以AC=BD=13.因为点A在圆B上，所以
圆B的半径为5.如果圆D与圆B相交，那么圆D的半径R满
足8＜R＜18.因为点B在圆D内，所以R＞13，因此13＜R＜18，所以14符合要求。

点评：此题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定圆B的半径，然后确定圆D的半径的
取值范围，难度不大。

18．4-4解析：如图。

作CH⊥AE于点H。

因为
AB=AC=8，所以∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=（180°-30°）
=75°。

因为△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C 处，此时点C落在点D处，所以AD=AB=8，
∠CAD=∠BAC=30°。

因为∠ACB=∠CAD+∠E，所以
∠E=75°-30°=45°。

在直角三角形Rt△ACH中，因为
∠CAH=30°，所以CH=AC=4，AH=√(AC²-CH²)=4-√12.因为
CH=4，所以DH=AD-CH=4.在直角三角形Rt△CEH中，因为
∠E=45°，所以EH=CH=4，所以DE=EH-DH=4-(4-√12)=√12.
点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质。

19．解：原式=（x²-9）÷（x+3）=（x-3）（x+3）÷（x+3）=x-3.
当x=-3时，原式不存在。

点评：此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键。

20．解：解不等式①，得x＞-3.解不等式②，得x≤2.因此不等式组的解集为-3＜x≤2.在数轴上表示不等式组的解集为：
点评：此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中。

21．解：因为正比例函数y=x的图像经过点A，点A的坐标为（3，4）。

因为反比例函数y=k/x的图像经过点A，所以4=k/3，解得k=12.因此反比例函数的解析式为y=12/x。

给定一条直线AB和一条直线AC，作垂线AD与BC相交于点D。

已知AC=AB，AD⊥BC，BC=6，则点B的坐标为（6，2）。

设直线AB的解析式为y=kx+b。

由题意可得：
解得k=-1，b=6，因此直线AB的解析式为y=-x+6.
点评：此题主要考查待定系数法求解析式和数形结合思想的应用。

给定一个直角三角形APH，其中AP=39米，PH=36米。

另外，隔音板的长度等于线段PQ的长度。

在Rt△ADH中，DH=15米。

在Rt△CDQ中，DQ=78米。

则
PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH≈114-15×1.7≈89（米）。

因此，高架
道路旁安装的隔音板至少需要89米。

点评：此题考查了解直角三角形的应用和勾股定理的应用。

需要选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案。

证明：（1）由于四边形ABCD是平行四边形，所以
BO=OD。

又因为OE=OB，所以OE=OD。

因此，
∠XXX∠OEB，∠XXX∠XXX。

由于
∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，所以
∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，因此DE⊥BE。

2）由于XXX，所以∠CEO+∠XXX∠CDE+∠DCE=90°，因此∠CEO=∠CDE。

又因为OB=OE，所以∠DBE=∠CDE。

因此，∠BED=∠BED，所以△BDE∽△DCE。

因此。

XXX。

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及平行四边形的性质。

需要熟记定理才能解题。

给定一条抛物线y=ax2-4，已知其与y轴相交于点B，且OB=4.又知AB=2，则点A的坐标为（-2，0）。

将（-2，0）
代入y=ax2-4，得0=4a-4，解得a=1.因此，抛物线的解析式为
y=x2-4.
2）（方法一）设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，m2-4）。

如图，过点P作PE⊥x轴于点E。

因此，
OE=m，PE=m2-4，所以AE=2+m。

又因此，CO=2m-4.
方法二）由于点P在抛物线上，所以P（m，m2-4）。

点评：此题考查了抛物线的基本性质和解析式的求法。

需要注意使用不同的方法来解决问题。

设PA的直线方程为y=kx+b，因为点A在直线y=x上，
所以k=1，b=2.则PA的方程为y=x+2.又因为C在线段AP上，且线段AP与y轴正半轴相交于点C，所以OC=2m-4.根据勾
股定理，OD=OC/√2=（2m-4）/√2.由相似三角形的性质得到
m1=-1（舍去），m2=3.代入P的坐标得到P（3，5）。

因此，PA的方程为y=x+2，所以∠PAD=45°，
sin∠PAD=sin45°=1/√2.
1）如图，连接OD，由∠ODC=tan⁡((m-2)/2)=1/m-2得到OD=OC=（2m-4）/√(m-2)。

因为△AOP≌△ODQ，所以
AP=OQ。

因此，AP=√(3x)。

又因为△PFC∽△PAO，所以
PF/PA=FC/OA，即PF/√(3x)=FC/3.根据勾股定理，得到
FC=√(16-x^2)。

整理得到x的定义域为0<x<10.
2）如图，作PH⊥OA。

因为cos∠AOC=-1/3，所以
OH=PO=x。

因此，S△AOP=AO•PH=3x。

又因为
△PFC∽△PAO，所以PF/PA=FC/OA，即PF/√(3x)=FC/3.整理得到y=3/√(16-x^2)。

3）当∠POE=90°时，CQ=√(16-3x)。

当∠OPE=90°时，由（1）知△AOP≌△ODQ，所以∠APO=∠OQD，
∠AOQ=∠OQD=∠APO。

因为∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），所以此种情况不存在。

因此，线段OP的长为8.。