一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程典型例题整理版一元二次方程
专题一：一元二次方程的定义
典例分析：
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
2.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，
则（）
3.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a²-l=0的一个根是。

则a的值为( )
4.若方程(m-1)x²+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m
的取值范围是。

5.关于x的方程(a+a-2)x+a·x+b=0是一元二次方程的条件是（）
专题二：一元二次方程的解
典例分析：
1.关于x的一元二次方程(a-2)x²+x+a²-4=0的一个根为-2，则a的值为。

2.已知方程x²+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-8.
3.已知a是x²-3x+1=0的根，则2a²-6a+3=0.
4.若方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-
b+c=0，则方程的根是1和-1.
5.方程(a-b)x²+(b-c)x+c-a=0的一个根为1，则另一个根为-b/c。

课堂练：
1.已知一元二次方程x²+3x+m=0的一个根为-1，则另一个
根为-2-m。

2.已知x=1是一元二次方程x²+bx+5=0的一个解，则b=-6，另一个根为-5.
3.已知2y²+y-3=2，则4y²+2y+1=11/2，xy=-3/2.
4.已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=(a≠0)的系数满足
a+c=b，则此方程必有一根为1.
专题三：一元二次方程的求解方法
典例分析：
1.直接开平方法：(1-x)²-9=0，解得x=-2或4.
2.配方法：x²-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。

难度训练：
1.如果二次三项式x²-(2m+1)x+16是一个完全平方式，那么m的值是1.
2.试用配方法说明x²-2x+3的XXX大于2.
3.已知x²+y²+4x-6y+13=0，x、y为实数，求xy的值。

解得xy=5.
已知实数x、y，求代数式x^2+y^2+2x-4y+7的最小值。

公式法：
利用平方差公式将x^2+2x-8分解为(x+1)^2-9，代入原式得到：
x+1)^2+(y-2)^2+4的最小值。

显然，(x+1)^2和(y-2)^2都是非负数，所以最小值为4，当且仅当x=-1，y=2时取得。

因式分解法：
将x^2-6x+8分解为(x-2)(x-4)，代入原式得到：
x-3)^2+(y-2)^2+2的最小值。

同样地，(x-3)^2和(y-2)^2都是非负数，所以最小值为2，当且仅当x=3，y=2时取得。

整体思维法：
对于a^2+b^2-2ab+2，我们可以将其变形为(a-
b)^2+(a+sqrt(2)b)^2，最小值为2，当且仅当a=b=sqrt(2)时取得。

变式1：
将(x+y)(2-x-y)+3化简得到：(x-y-1)^2+2的最小值为2，
当且仅当x=y=1时取得，所以x+y=2.
变式2：
将(x+y)(x+y+xy)+14+28化简得到：(x+y)^2+xy(x+y)+42
的最小值为42，当且仅当x+y=6，xy=4时取得，所以x+y=6.
变式3：
将(x^2+y^2+1)(x^2+y^2-3)+5化简得到：(x^2+y^2-2)^2+8的最小值为8，当且仅当x^2+y^2=2时取得。

典例分析：
1、将x-3x+2化简得到：2/(x-1)，代入2[(x-1)^3-
x^2+1]/(x-1)^2中得到：
2(x-1)+(x-1)^2=3x-4.
2、将x^2+x-1代入x^3+2x^2-7中得到：x^3+2x^2-7x-8，代入x-3x+1中得到：
x-1)(x+2)(x-4)，所以x^3+2x^2-7=-2.
课堂练：
1、将x^2+(2m+1)x+m^2+2=0化简为(x+m+1)^2-2=0，所以m^2+2≥0，即m∈R。

当y=(2m-3)x-4m+7时，代入A(-2,4)得到：4=-(2m-3)2-
4m+7，解得m=1.
所以直线y=(2m-3)x-4m+7不能通过A(-2,4)。

2、根据判别式b^2-4ac≥0得到：16-12k≥0，即k≤4/3.
又因为kx^2-4x+3=0有实数根，所以判别式16-12k=0，解得k=4/3.
所以k的非负整数值为1.
3、将x^2-kx+k^2=0化简得到：(x-k/2)^2=k^2/4，即
x=k/2±k/2*sqrt(3)。

由于有两个相等的正实数根，所以k/2>0，即k>0.
又因为x=k/2±k/2*sqrt(3)是实数，所以k≥0.
所以k的值为k>0.
4、将c+b)x^2+2(a-c)x+a(3c-b)=0化简得到：(c+b-a)(x-
a+c)=(a-c)2，即x=a+c±sqrt((a-c)2/(c+b-a))。

由于有两个相等的实数根，所以(a-c)2/(c+b-a)=0，解得a=c或a+b=2c。

所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形。

45、如果关于$x$的方程$mx^2-2(m+2)x+m+5=0$没有实数根，那么关于$x$的方程$(m-5)x^2-2(m+2)x+m=0$的实根个数是多少。

6、已知关于$x$的方程$x^2-(k+2)x+2k=0$，证明无论$k$取何值时，方程总有实数根；若等腰$\triangle ABC$的一边长为$1$，另两边长恰好是方程的两个根，求$\triangle ABC$的周长。

专题六：根与系数的关系（韦达定理）
典例分析：
一、常见变形
1、若$x_1,x_2$是方程$x^2+2x-2007=0$的两个根，求下列各式的值：(1) $x_1^2+x_2^2$；(2) $x_1^3+x_2^3$。

2、以$1+7$与$1-7$为根的一元二次方程是（）A．$x^2-2x-6=0$ B．$x^2-2x+6=0$ C．$y^2+2y-
6=0$ D．$y^2+2y+6=0$
3、甲、乙两人同解一个一元二次方程，甲看错常数项，解得两根为$8$和$2$，乙看错一次项系数，解得两根为$-9$和$-1$，则这个方程是什么？
4、已知$m,n$是方程$x^2+1999x+7=0$的两个根，则$(m^2+1998m+6)(n^2+2000n+8)$=（）A、1990 B、1992 C、-1992 D、1999
5、方程$x^2-5x+2=0$与方程$x^2+2x+6=0$的所有实数根的和为多少？
6、已知$a,b$是方程$x^2-4x+m=0$的两个根，$b,c$是方程$y^2-8y+5m=0$的两个根，则$m$的值为多少？
7、设方程$3x^2-5x+m=0$的两根分别为$x_1,x_2$，且$6x_1+x_2=5$，那么$m$的值等于（）A。

$-
\frac{222}{11}$ B。

$-2$ C。

$11$ D。

$-\frac{993}{11}$；(2) $(x_1-5)(x_2-5)$；(3) $x_1x_2$；(4) $|x_1-x_2|$。

8、设$x_1,x_2$是方程$x^2+px+q=0$的两实根，
$x_1+1,x_2+1$是关于$x$的方程$x^2+qx+p=0$的两实根，则$p$= _____，$q$= _____。

9、若方程$2x^2-(k+1)x+k+3=0$的两根之差为$1$，则$k$的值是多少？
10、已知菱形$ABCD$的边长为$5$，两条对角线交于$O$点，且$OA,OB$的长分别是关于$x$的方程$x^2+(2m-1)x+m^2+3=0$的根，则$m$等于( )A．$-3$ B．$5$ C．$5$或$-3$ D．$-5$或$3$。

特殊技巧：
1、已知$a\neq b$，$a^2-2a-1=0$，$b^2-2b-1=0$，求$a+b+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值。

已知实数a、b满足$a^2=2-2a,b^2=2-2b$，且$a\neq b$，求$a+b$的值。

若$a^2-2a-1=0,b^2-2b-1=0$，则
若$ab\neq 1$，且$5a^2+2011a+9=9b^2+2011b+5$，求$a$的值。

已知实数$a,b$满足$\frac{b-1}{a-1}=\frac{a-1}{b-1}$，$22a-8a+5=b-8b+5$，则$\frac{a-1}{b-1}$的值是（）$A.-
20$ $B.2$ $C.2$或$-20$ $D.$无法确定。

1、已知一元二次方程$x^2-mx+2m=0$，（1）当$m$取何
值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设$x_1,x_2$是方程
的两个实数根，且满足$x_1+x_2=2$，求$m$的值。

2、已知关于$x$的方程$k^2x^2+(2k-1)x+1=0$有两个不相
等的实数根$x_1,x_2$，（1）求$k$的取值范围；（2）是否存
在实数$k$，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出
$k$的值；若不存在，请说明理由。

3、已知关于$x$的方程$x^2-(k+1)x+k^2+1=0$，根据下列
条件，分别求出$k$的值．（1）方程两实根的积为$5$；（2）方程的两实根$x_1,x_2$满足$|x_1|=x_2$．
4、已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(4m+1)x+2m-1=0$，（1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为$x_1,x_2$，且满足$\frac{x_1+1}{x_2-
1}=-\frac{1}{3}$，求$m$的值．
5、已知$x_1,x_2$是一元二次方程$4kx^2-4kx+k+1=0$的两个实数根．（1）是否存在实数$k$，使$(2x_1-x_2)(x_1-
2x_2)=-2$成立？若存在，求出$k$的值；若不存在，请您说明理由．（2）求使$\frac{x_1x_2-1}{x_2x_1-2}$的值为整数的实数$k$的整数值．
6、已知关于$x$的方程$x^2+3x-m=0$的两个实数根的平方和等于$11$．求证：关于$x$的方程$(k-3)x^2+kmx-
m^2+6m-4=0$有实数根．
巩固提高：
1、（2010•南充）关于$x$的一元二次方程$x^2-3x-
k=0$有两个不相等的实数根．（1）求$k$的取值范围．（2）请选择一个$k$的负整数值，并求出方程的根．
2、（2011•南充）关于$x$的一元二次方程
$x^2+2x+k+1=0$的实数解是$x_1$和$x_2$．（1）求$k$的取值范围；（2）如果$x_1+x_2-x_1x_2<-1$且$k$为整数，求$k$的值。

3、关于一元二次方程$x^2+3x+m-1=0$的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$。

1) 求$m$的取值范围；
2) 若$2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$，求$m$的值。

解析。

1) 根据一元二次方程的求根公式可得，$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=m-1$。

因为方程有实数根，所以判别式$3^2-4(m-1)\geq 0$，即$m\leq 4$。

又因为$x_1x_2=m-1$，所以$m-1\geq 0$，即$m\geq 1$。

综合得到$1\leq m\leq 4$。

2) 由题意可得$2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$，代入
$x_1+x_2=-3$和$x_1x_2=m-1$可得$2(-3)+m-1+10=0$，解得$m=4$。

4、关于一元二次方程$x^2-2mx+(m+1-m^2)=0$。

1) 求出方程的根；
2) $m$为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解析：
1) 根据一元二次方程的求根公式可得，方程的两个根为$x_1=\frac{2m+\sqrt{4m^2-4(m+1-m^2)}}{2}=m+1$，
$x_2=\frac{2m-\sqrt{4m^2-4(m+1-m^2)}}{2}=1-m$。

2) 方程的两个根都为正整数，即$m+1>0$且$1-m>0$，解得$-1<m<1$且$m$为整数。

因此，当$m=0$时，此方程的两个根都为正整数。

5、已知关于一元二次方程$x^2-22x+m=0$，有两个不相等的实数根。

1) 求实数$m$的最大整数值；
2) 在(1)的条件下，方程的实数根为$x_1$和$x_2$，求代数式$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$的值。

解析：
1) 根据一元二次方程的求根公式可得，判别式$22^2-
4m\geq 0$，即$m\leq 242$。

又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$22^2-4m>0$，即$m<242$。

综合得到$m$的最大整数值为241.
2) 代入$x_1+x_2=22$和$x_1x_2=m$可得
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=484-2m$，$x_1x_2=m$，因此$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=483-m$。

6、已知关于一元二次方程$x^2+2(a-1)x+a^2-7a-4=0$的两
根为$x_1$、$x_2$，且满足$x_1x_2-3x_1-3x_2-2=0$。

求
$(1+\frac{4a+2}{a^2-4a+7})$的值。

解析：
根据题意可得$x_1x_2-3(x_1+x_2)-2=-x_1x_2-
2a+6x_1+6x_2+2=0$，整理得$x_1x_2+2a=6(x_1+x_2)$。

由一
元二次方程的求根公式可得$x_1+x_2=2-a$，$x_1x_2=a^2-7a-
4$。

代入$x_1x_2+2a=6(x_1+x_2)$可得$a^2-4a+2=0$，解得
$a=2\pm\sqrt{2}$。

代入$(1+\frac{4a+2}{a^2-4a+7})$可得
$(1+\frac{4a+2}{a^2-4a+7})=3$。