高考数学一轮总复习第章.3二项式定理课件理85.ppt

(2) 如 果
n
是
奇
数
，
那
么
中
间
两
项
(
第
n＋1 2
项
与
第
n＋ 2 1＋1项)的二项式系数相等并最大．
2．求展开式系数最大项 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是 采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，…， An＋1，且第 k 项系数最大，应用AAkk≥ ≥AAkk－ ＋11， ， 从而解出 k 来， 即得．
＋a 能被 13 整除，则 a＝(
)
A．0
B．1
C．11
D．12
[解析]
由于
51
＝
52
－
1
，
(52－
1)2012
＝
C
0 2012
522012
－
C12012522011＋…－C22001112521＋1，又由于 13 整除 52，所以只需
13 整除 1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以 a＝12.
命题角度 3 求近似值的问题 例 6 求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001.
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系 数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各 项系数之和为 f(1)，
奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
又∵TTrr＋ ＋21＝Cr8＋ C1r8·· 22－－rr＋1＝28r－ ＋r1，由28r－ ＋r1≤1，得 r≥2.
5
7
∴r＝2 或 r＝3，所求项为 T3＝7x 2 和 T4＝7x4 .
触类旁通
1．求二项式系数最大项
(1)如果 n 是偶数，那么中间一项(第n2＋1项)的二项式 系数最大；
得33kkCCk5k5≥ ≥33kk＋ －11CC5k5k－ ＋11， ， ∴72≤k≤92，∴k＝4，
2
即展开式中系数最大的项为
T5
＝
C
4 5
(x
3
)(3x2)4 ＝
26
405x 3 .
考向 二项式定理的应用
命题角度 1 几个多项式积的展开式问题
例 4 [2017·新疆质检](x2－3)x12＋15 的展开式的常数
B．8
C．7
D．6
解析 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1， 则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得 a0＋a2＋a4＝8.
3．[课本改编]若x＋1xn 展开式的二项式系数之和为 64，
则展开式的常数项为(
)
A．10
B．20
C．30
D．120
去)．

所以二项式系数的最大项为 C48

x× 1 4
2
x4＝385x.
(2)设第 r＋1 项的系数 Tr＋1 最大，显然 Tr＋1>0，
故有TTr＋r 1≥1 且TTrr＋ ＋21≤1，∵TTr＋r 1＝Cr8C－18r··22－ －rr＋1＝9－ 2r r，
由9－ 2r r≥1，得 r≤3.
触类旁通 求二项展开式中的项或项的系数的方法
(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数 的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式 中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．
(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范 围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过 解不等式(组)求取值范围．
解析 二项式系数之和 2n＝64，所以 n＝6，Tr＋1＝Cr6·x6 －r·1xr＝Cr6x6－2r，当 6－2r＝0，即 r＝3 时为常数项．T4＝C36＝ 20.
4．[2017·龙岩模拟](x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的 系数为___6_____．
解析 二项展开式的通项是 Tr＋1＝Cr4(x y)4－r·(－y x)r ＝(－1)rCr4x4－2r y2＋2r ，令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故展开 式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
x＋ 1x6，
其展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6·(－
x
)6
－源自文库

r·
1

x
r
＝
(
－
1)6
－
r·Cr6·( x)6－2r，由 6－2r＝0，得 r＝3，故常数项为(－1)3·C36＝
－20.
触类旁通 1．二项式定理应用的题型及解法
(1)对于多项式积的特定项问题，可通过“搭配”解决， 但要注意不重不漏．
考向 项的系数的最值问题
例3

已知
x＋ 1 4

n
的展开式中前三项
x
的系数为等

2 x
差数列．
(1)求二项式系数最大项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解] (1)∵C0n＝1，C1n12＝n2，C2n122＝18n(n－1)，由题设
可知 2·n2＝1＋18n(n－1)，n2－9n＋8＝0，解得 n＝8 或 n＝1(舍
[解] 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－ 0.002)2＋…＋(－0.002)6，
∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00006<0.001， 即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001， ∴从第 3 项起，以后的项可以忽略不计， 即 0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.
项是(
)
A．－2
B．2
C．－3
D．3
[解析] ∵(x2－3)x12＋15＝(x2－3)·(C05x－10＋C15x－8＋C25
x－6＋C35x－4＋C45x－2＋C55)，∴展开式的常数项是 x2·C45x－2－
3C55＝2.
命题角度 2 与整除有关的问题
例 5 [2016·潍坊模拟]设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512012
【变式训练 1】

若x6＋x
1
n
x
的展开式中含有常数项，
则当 n 取最小值时，展开式的常数项等于___5_____．
解析

由题意，x6＋x
1
n
x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Crn

(x6)n－rx
1
xr＝Crnx6n－6r－32r
＝Crnx6n－125r
【变式训练 2】 若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋
1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝39，则实数 m 的值为(
)
A．1 或－3 B．－1 或 3
C．1
D．－3
解析 令 x＝0，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令 x ＝－2，得 a0－a1＋a2－…－a9＝m9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－ (a1＋a3＋…＋a9)2＝39，即(a0＋a1＋a2＋…＋a9)·(a0－a1＋a2 －…－a9)＝39，即(2＋m)9·m9＝39，所以(2＋m)m＝3，解得 m＝1 或－3.
(1)∵n＝5，展开式共 6 项，∴二项式系数最大的项为
2
第三、四两项，∴T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
(2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大，
2
10＋4k
则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
第10章 计数原理、概率、随机变量及分 布列
第3讲 二项式定理
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 二项式定理 1．二项式定理 公式(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*) 叫 做 二 项 式定理． 2．二项展开式的通项 Tk＋1＝ Cknan－kbk 为展开式的第 k＋1 项．
(2) 在 证 明 整 除 问 题 或 求 余 数 问 题 时 要 进 行 合 理 的 变 形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(3)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当 n 不 很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
2．二项式定理与函数交汇问题的思路 二项式从某种意义上可视为函数解析式，因此该综合问 题实际上是以函数为载体，以二项式定理为工具的问题，解 题思路为：首先将函数具体化，并呈现二项式的形式，然后 利用二项式定理的相关知识解决问题．
板块二 典例探究·考向突破
考向 二项展开式中特定项或系数问题
例1

[2016·山东高考]若ax2＋
1
5
x
的展开式中
x5 的系
数是－80，则实数 a＝__－ __2____.
[解析] Tr＋1＝a5－rCr5x10－52r ，令 10－52r＝5，解之得 r＝ 2，所以 a3C25＝－80，a＝－2.
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数 Ckn (k∈{0,1，…，n})叫做 二项式系数．
考点 2 二项式系数的性质
[必会结论] 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指 数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项 减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n，C1n，…一直到 Cnn－1，Cnn.
[解析] 因为(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项
式系数相等，即 Cnm＝Cnn－m，所以 C3n＝C7n，解得 n＝10，所
以 二 项 式 (1 ＋ x)10
的
展
开式
中奇
数
项
的
二项
式
系数
和为
1 2
×210＝29.
触类旁通 二项式定理中赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求 其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项．( × ) 2．二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两 项．( × )
3．(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无 关．( √ )
，令
6n－125r＝0，得
n＝
54r.当 r＝4 时，n 取最小值 5，此时展开式的常数项为 C45＝
5.
考向 二项式系数的和或各项系数的和
例 2 [2015·湖北高考]已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与
第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
(
)
A．212
B．211
C．210
D．29
命题角度 4 二项式定理与函数的交汇问题
例7
设函数 f(x)＝x－1x6，x<0， － x，x≥0，
则当 x>0 时，f[f(x)]
表达式的展开式中常数项为(
)
A．－20
B．20 C．－15
D．15
[解析]
x>0 时，f(x)＝－

x<0，故 f[f(x)]＝－
4．在(1－x)9 的展开式中系数最大的项是第五、第六两 项．( × )
5．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋… ＋a1 的值为 128.( × )
二、小题快练
1．[2015·陕西高考]二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中 x2
的系数为 15，则 n＝(
)
2
【变式训练 3】 [2017·宜昌高三测试]已知(x 3 ＋3x2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
解 令 x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n. 又展开式中二项式系数和为 2n.∴222nn＝2n＝32，n＝5.
A．7
B．6
C．5
D．4
解析 由(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn， 知 C2n＝15，∴nn－ 2 1＝15，解得 n＝6 或－5(舍去)．故选
B.
2．[课本改编]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则
a0＋a2＋a4 的值为(
)
A．9
核心规律 1．二项展开式的通项 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋ 1 项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公 式求指定项或指定项的系数时，要根据通项公式讨论对 k 的 限制． 2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以， 在解题时，根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项 系数和的一种重要方法．