10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

【学生版】
*10.5异面直线间的距离
【知识梳理与拓展】 1、定理：
对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离
我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；
我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段
求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】
例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；
（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离． 【提示】； 【答案】
例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离． 【提示】
【答案】 【解析】
【精炼实践】
1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）
A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；
B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；
C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；
D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C
2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．
3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．
4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102
AD BE CF ===、
； 则异面直线a 与b 之间的距离为______.
5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；
6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；
（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.
【教师版】
*10.5异面直线间的距离
【知识梳理与拓展】 1、定理：
对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离
我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；
我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段
求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】
例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；
（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离．
【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）2
2
a ； 【解析】（1）连接EC ，ED ，
因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△， 又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ， 因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，
同理，可得EF ⊥AB ，
又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，
所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；
（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以2
2
EF a =，
所以异面直线AB 与CD 的距离为22
a .
例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．
【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ， 再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解； 【答案】22a b -
【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥， 因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，
所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥， 又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DC
BC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，
所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥， 则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线， 在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>， 所以22BD a b =-； 【精炼实践】
1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）
A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；
B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；
C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；
D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C
【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．
【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.
【答案】
22
【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF =BF =3
2
，于是得EF ⊥AB ， 同理可得EF ⊥CD ，
即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝22
31()()22
-＝22， 即AB 、CD 之间的距离为
22
. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A
2
2
a （22a ） 【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥
AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，
因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线， 所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；
1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，
1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，
11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，
如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，
连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ， 由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ， 又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，
又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112
222
MO MG AB a ===，
所以异面直线1A C 与11B C 距离为2
2
a ； 故答案为：AB ；a ；11A D ；
2
2
a ； 4、设a
b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102
AD BE CF ===、
； 则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；
【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线
b 与直线'a 确定平面a .
由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；
5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；
【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离； 【答案】3
【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:
6BD CD ==,90BDC ∠=︒
所以62BC = 因为M 为BC 中点
所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,
所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒
所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠
代入可解得222636AB AC x x ==-+
在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+
在ADM ∆中,由余弦定理可得222
cos 2AD DM AM ADM AD DM
--∠=
⨯⨯ 代入可得(
)2218618
2cos 2
232
x x x ADM x +--+∠=
=
⨯⨯ 所以2
22
sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭
而MN AD ⊥
所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离 则2
sin 3232
MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3
【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；
（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.
【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；
（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）
6
3
；（2）322；（3）存在，63BP =
. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图， 又
E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，
连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，
F 为CC '中点，正方体边长为2， 2E
G A B =''=，2221216EF =++=，
6
cos 3
EG FEG EF ∴∠=
=
， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63
．
（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离，
连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',
所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,
所以BM ⊥平面EFG ,
即BM 为点B 到平面EFG 的距离.
因为2212
2222,2BC MC GF ''=+==
所以322
BM BC MC ''=-=
即异面直线EF 与AB 32
. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,
所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，
设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο
∠==
332
=，所以6x =， 故当存在BP 长为
6
3
时，二面角P AC B --的大小为30ο；。