学案2：3.2.1 倍角公式

3.2.1 倍角公式
倍角公式
名师点拨 (1)T 2α只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π
4
(k ∈Z )时才成立．
(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －
1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：
sin(2n mα)＝2sin(2n －
1mα)cos(2n －
1mα)； cos(2n mα)＝cos 2(2n －
1mα)－sin 2(2n －
1mα)； tan(2n
mα)＝2tan(2n －1mα)1－tan 2(2n －
1mα)
. 自主测试1 已知tan α＝2，则tan 2α等于( ) A ．4 B ．45 C ．－43 D ．4
3
自主测试2 函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数
自主测试3 已知sin α＝2
3，则cos(π－2α)＝( )
A ．－
53 B ．－19 C ．19 D ．53
课堂互动
关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：
归纳总结 (1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α
2cos α；
(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；
(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α
，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2
tan 2α；
(4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式． 典型考题
题型一 化简、求值问题
例题1 求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．
反思 问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底． 题型二 给值求值问题
例题2 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π
3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．7
9
反思 通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累． 题型三 给值求角问题
例题3 已知tan α＝13，tan β＝－1
7且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
反思 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步． 题型四 恒等式的证明 例题4 已知tan(α＋β)＝3tan α. 求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．
反思 证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．
题型五 三角函数的综合问题
例题5 已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；
(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤
π12，π2，求f (x )的取值范围． 随堂练习
1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝4
5，则tan 2x ＝( ) A ．724 B ．－724 C ．247 D ．－24
7
2．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π
5的递增区间是( )
A ．⎝⎛⎭⎫k π＋π10，k π＋3π
5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎫k π－3π20，k π＋7π
20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π10，2k π＋3π
5(k ∈Z ) D ．⎝
⎛⎭⎫k π－2π5，k π＋π
10(k ∈Z ) 3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为2
3，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为
( )
A ．259
B ．－259
C ．459
D ．－459
4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°
＝________.
5．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝5
13，则cos 2α的值为__________． 6．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6－1. (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π6，π
4上的最大值和最小值．
参考答案
自主测试1 【答案】C 自主测试2 【答案】D 自主测试3 【答案】B
【解析】cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫232－1＝－1
9
.
例题1 解：原式＝sin 50°⎝
⎛⎭
⎫
1＋
3sin 10°cos 10°
＝sin 50°×2⎝⎛⎭
⎫12cos 10°＋3
2sin 10°cos 10°
＝sin 50°×
2sin
30°＋10°
cos 10°
＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°
＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 例题2 【答案】A
【解析】观察发现2π3＋2α＝2⎝⎛⎭⎫π3＋α，而⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π
2，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π
3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79
. 例题3 解：∵tan α＝1
3＞0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×1
31－⎝⎛⎭⎫132＝3
4＞0，
∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.又∵tan β＝－1
7＜0，β∈(0，π)， ∴β∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，
∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β
＝34－⎝⎛⎭⎫
－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1.
又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π
2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π
4.
例题4 证明：tan(α＋β)＝3tan α， 可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)
⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β) ⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β ⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.
当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，
得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β
⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β)
⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝sin(2α＋2β)， 所以等式成立，即得证．
例题5 解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎫x －π
4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋1
2sin 2x ＋cos 2x
＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12
. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.
所以f (α)＝12⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝3
5
. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋1
2
＝
22
sin ⎝⎛
⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π
4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－2
2，1， 从而f (x )＝
22sin ⎝⎛
⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.
随堂练习 1．【答案】D
【解析】∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝4
5， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－3
4，
∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－24
7.
2．【答案】D 3．【答案】C
4．【答案】14 32 3
6
【解析】cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝1
4；
cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝3
2
； tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝3
6. 5．【答案】120
169
【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴0＜π4－α＜π
4，
∴cos ⎝⎛⎭
⎫π
4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝12
13，
∴cos 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2×513×1213＝120169
. 6．解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6－1 ＝4cos x ⎝⎛
⎭
⎫32sin x ＋12cos x －1
＝3sin 2x ＋2cos 2x －1
＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝
2π
2
＝π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π
3
.
于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值2；
当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π
6时，f (x )取得最小值－1.。