2018-2019学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）
A．i B．﹣i C．﹣1D．1
2．下列四个结论：
①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；
②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；
③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减
其中正确的是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）
4．已知函数，则以下说法正确的是（）
A．f（x）的对称轴为
B．f（x）的对称中心为
C．f（x）的单调增区间为
D．f（x）的周期为4π
5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68
6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°
7．若均α，β为锐角，=（）
A．B．C．D．
8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）
A．3B．7C．10D．4
9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）
A．（）B．（]C．（）D．（]
10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）
C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）
11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）
A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2
12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n
+1=2a n a n
+1
，且n∈N*，则a8=．
14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于．
15．设实数x，y满足，则的取值范围是．
16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．
20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
21．（2分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间和极值；
（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．
22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行
（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）
①求实数m的取值范围；
②求证：x1+x2＜0．
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）
A．i B．﹣i C．﹣1D．1
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．
【解答】解：iz=1+2i，∴﹣i•iz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2
则z的共轭复数=2+i的虚部为1．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．下列四个结论：
①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；
②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；
③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减
其中正确的是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；
【解答】解：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；
②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；
③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；
④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y=，可知：
x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；
故选：A．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假，充要条件的应用，是基本知识的考查．
3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）
【分析】当B=∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值
范围．
【解答】解：∵集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，
∴当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，成立；
当B≠∅时，，解得2≤m≤3．
综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．
故选：C．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．已知函数，则以下说法正确的是（）
A．f（x）的对称轴为
B．f（x）的对称中心为
C．f（x）的单调增区间为
D．f（x）的周期为4π
【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数，令2x+=kπ+，
求得x=+，k∈Z，故它的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故A不正确．
令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故它的图象的对称中心为（﹣，0 ），
k∈Z，故B正确．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，
故它增区间[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，故C不正确．
该函数的最小正周期为=π，故D错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68
【分析】首先运用a n=求出通项a n，判断正负情况，再运用S10﹣2S2即
可得到答案．
【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，
故a n=，
据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10
∴|a1|+|a2|+…+|a10|
=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）
=S10﹣2S2
=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）
=67．
故选：C．
【点评】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n=1的情况，是一道基础题．
6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°
【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合A的范围即可得解A
的值．
【解答】解：∵b=acosC+c．
∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinC，
可得：sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinC，
可得：sinCcosA=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=，
∵A∈（0°，180°），
∴A=60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．
7．若均α，β为锐角，=（）
A．B．C．D．
【分析】由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．
【解答】解：α，β为锐角，
则cosα===；
＜sinα，
∴，
则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，
cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
==．
故选：B．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．
8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．4
【分析】由“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k+a4=0可求得结果．
【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，
∴9+36d=4+6d，其中d为等差数列的公差，
∴d=﹣，又∵a k+a4=0，
∴1+（k﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题．
9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）
A．（）B．（]C．（）D．（]
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e x﹣2m=﹣3有解，即可得到结论．
【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣2m，
若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，
则切线斜率k=e x﹣2m，
满足（e x﹣2m）=﹣1，
即e x﹣2m=﹣3有解，
即2m=e x+3有解，
∵e x+3＞3，
∴m＞，
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．
10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）
C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）
【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．
【解答】解：由题意得x，y的约束条件．
画出不等式组表示的可行域如图示：
在可行域内平移直线z=x﹣y，
当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，
目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10．
x﹣y＜λ+恒成立，即：λ+≥10，
即：．
解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）
故选：D．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）
A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a，b，c＞0且（a+b）（a+c）=4﹣2，
则2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥=2=2，当且仅当a+b=a+c=﹣1时取等号．
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．
【分析】根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可
【解答】解：∵x∈（0，+∞），
∴x1f（x1）＜x2f（x2）．
即函数g （x ）=xf （x ）=e x ﹣ax 2在x ∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x ）=e x ﹣2ax ≥0恒成立． ∴2a ≤，
令，
则
，
x ∈（0，1）时m'（x ）＜0，m （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时m'（x ）＞0，m （x ）单调递增， ∴2a ≤m （x ）min =m （1）=e ， ∴
．
故选：D ．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，且n ∈N*，则a 8=
．
【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，
则：（常数），
数列{}是以
为首项，2为公差的等差数列．
则：，
所以：
，
当n=1时，首项a 1=1， 故：．
所以：．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．
14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于﹣3．
【分析】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的
值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．
【解答】解：∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，
∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12
∴•=﹣3=||||cosθ
∴||cosθ=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．
15．设实数x，y满足，则的取值范围是[﹣，] ．
【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．
【解答】解：由实数x，y满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为[k OB，k OA]，A（1，1），B（，）
即∈[，1]，∈[1，7]，﹣ [﹣1，]．
所以则的最小值为﹣；m最大值为：；
所以的取值范围是：[﹣，]
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求m的范围．
16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，
则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．
【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．
【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，
本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：
由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到
BO2=BE2+OE2，
把数据代入得到OE=a，
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，
故答案为：a．
【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；
（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．
【解答】解：（1）∵f（x）=•=2sin（+x）•sin（+x）﹣cos2x=2sin2（+x）
﹣cos2x=1﹣cos[2（+x）]﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1
=2sin（2x﹣）+1，
∴最小正周期T=π，
由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，
所以f（x）的对称轴为：x=+，k∈Z，
（2）因为f（x）﹣m=2可化为m=2sin（2x﹣）﹣1在x∈[，]上有解，等价于
求函数y=2sin（2x﹣）﹣1的值域，
∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]
∴y∈[0，1]
故实数m的取值范围是[0，1]
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得
，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A 的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，
从而可得：，即，
又B为三角形内角，
所以sinB≠0，
于是，
又A为三角形内角，
所以．
（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，
所以，
所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质列出关于公差d的方程，利用方程求得d，然后写出通项公式；
（2）根据单调数列的定义推知a n=2n﹣1，然后利用已知条件求得b n的通项公式，再由错位相减法求得答案．
【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，
∴（1+7d）2=（1+4d）（1+12d）
解得d=0或d=2，
∴a n=1或a n=2n﹣1；
（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n=2n﹣1，
（i）当n=1时，T1=b1===．
（ii）当n＞1时，b n==，
∴T n=+++…+……①
∴T n=+++…++……②
①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣，
∴T n=﹣．
综上所述，T n=﹣．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题综上所述，
20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．
令n=1时，，
n=2时，， n=3时，，
由于2a 2=a 1+a 3， 所以，
解得k=﹣1． 由于=（2n ﹣1）（n +1），
且n +1≠0， 则a n =2n ﹣1；
（2）由于===
，
所以S n =+…+
=+n
=
=
．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．
21．（2分）已知函数f （x ）=ax +lnx （a ∈R ） （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程； （2）求f （x ）的单调区间和极值；
（3）设g （x ）=x 2﹣2x +2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求实数a 的取值范围．
【分析】（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f （x ）在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；
（2）求导函数，在区间（0，﹣）上，f'（x ）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x ）＜0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；
（3）由已知转化为f （x ）max ＜g （x ）max ，可求g （x ）max =2，f （x ）最大值﹣1﹣ln （﹣a ），由此可建立不等式，从而可求a 的取值范围．
【解答】解：（1）由已知f′（x）=2+（x＞0），…（2分）
∴f'（1）=2+1=3，f（1）=2，
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，
故切线方程是：y﹣2=3（x﹣1），
即3x﹣y﹣1=0…（4分）
（2）求导函数可得f′（x）=a+=（x＞0）．…
当a＜0时，由f'（x）=0，得x=﹣．
在区间（0，﹣）上，f'（x）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），
=﹣1﹣ln（﹣a）…（10分）
故f（x）
极大值=f（﹣）
（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．
∵g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2…（11分）
由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）
当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），
所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），所以ln（﹣a）＞﹣3，
解得a＜﹣．…（14分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）max＜g（x）max．
22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行
（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）
①求实数m的取值范围；
②求证：x1+x2＜0．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）
则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴∴a=1，
∴f（x）=e x，f
令h（x）=x2e x﹣1，h'（x）=（2x+x2）e x，
h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，
所以x∈（﹣∞，0）时，h（x），
即x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，
所以函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减．
（Ⅱ） 由条件可知，g（x）=e x﹣x+m+1，
①g'（x）=e x﹣1，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
要使函数有两个零点，则g（x）min=g（0）=m+2＜0，∴m＜﹣2．
‚②证明：由上可知，x1＜0＜x2，∴﹣x2＜0，
∴构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）
则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，
所以m（x）＞m（0）即g（x2）=g（x1）＞g（﹣x1）
又g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
所以x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。