2022-2023学年天津市南开中学高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年天津市南开中学高二（下）期末数学试卷
一、选择题（共40分，每题4分）
1．集合A ＝{x |﹣1≤x ＜2}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜1}
B ．{x |﹣1≤x ≤1}
C ．{x |﹣1≤x ＜2}
D ．{x |x ＜2}
2．设命题p ：∀n ∈N ，n 2＜3n +4，则p 的否定为（ ） A ．∀n ∈N ，n 2＞3n +4 B ．∀n ∈N ，n 2≥3n +4
C ．∃n ∈N ，n 2≥3n +4
D ．∃n ∈N ，n 2＞3n +4
3．“α∈（0，π
2）”是“tan α＞0”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，则下列结论不正确的是（ ） A ．a +c ＞b +d
B ．ac ＞bd
C ．a
c
＞b
d
D ．a d
＞c
b
5．掷一个均匀的骰子．记A 为“掷得点数大于等于2”，B 为“掷得点数为奇数”，则P （B |A ）为（ ） A ．5
6
B ．2
3
C ．1
2
D ．2
5
6．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0（a ≠0）的解集为（﹣3，1），则不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为（ ） A ．(−1
3
，1) B ．(−∞，−13
)∪(1，+∞) C ．(−1，13)
D ．(−∞，−1)∪(1
3，+∞)
7．从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A ，B ，C ，D 的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B 盒中的不同的方法数是（ ） A ．24
B ．48
C ．54
D ．96
8．小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min ，样本方差为4，假设做公交车用时X ～N （30，62），骑自行车用时Y ～N （34，22），则（ ） A ．P （X ≤38）＞P （Y ≤38） B ．P （X ≤34）＞P （Y ≤34）
C ．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车
D ．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 9．已知0＜x ＜1
2，则1
x +
81−2x
的最小值为（ ）
A．16B．18C．8D．20
10．已知当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与y=√x+m的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）
A．（0，1]∪[2√3，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）
C．（0，√2）∪[2√3，+∞）D．（0，√2]∪[3，+∞）
二、填空题（共24分，每题4分）
11．已知(x3+2
)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．
x2
12．某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”
的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为．
13．已知随机变量X﹣B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝1，则p＝．
14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）
15．若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．
①f（x）＝2﹣x②f（x）＝3﹣x③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2．
16．设a∈R，函数f（x）＝ax2+|x2﹣ax﹣1|恰有三个零点，则a的取值集合为．
三、解答题（17题10分，18题12分，19题14分）
17．（10分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax，且f′（1）＝0．
（1）求实数a的值及曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当x∈[﹣2，2]时，求f（x）的最大值．
19．（14分）设函数f（x）＝a•x2﹣b•lnx，其中a，b∈R．
（1）当a＝1，b＝0时，求关于x的不等式f（x）＞1
x
的解集；
（2）设a＝2，b＞4，集合D＝（0，1]，记g（x）＝2cx−1
x2
（c∈R），若y＝g（x）在D上为单调递增
函数，且对D上的任意两个变量s，t，均有f（s）≥g（t）成立，求c的取值范围．
（3）当a＝0，b＜0，x＞1时，记h n（x）＝[f（x）]n+1
[f(x)]n
，其中n为正整数．求证：[h1（x）]n+2≥h n（x）+2n．
2022-2023学年天津市南开中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共40分，每题4分）
1．集合A ＝{x |﹣1≤x ＜2}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜1}
B ．{x |﹣1≤x ≤1}
C ．{x |﹣1≤x ＜2}
D ．{x |x ＜2}
解：∵B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}， 又A ＝{x |﹣1≤x ＜2}，
∴A ∩（∁R B ）＝{x |﹣1≤x ＜2}∩{x |x ≤1}＝{x |﹣1≤x ≤1}． 故选：B ．
2．设命题p ：∀n ∈N ，n 2＜3n +4，则p 的否定为（ ） A ．∀n ∈N ，n 2＞3n +4 B ．∀n ∈N ，n 2≥3n +4
C ．∃n ∈N ，n 2≥3n +4
D ．∃n ∈N ，n 2＞3n +4
解：因为命题p ：∀n ∈N ，n 2＜3n +4， 所以p 的否定为：∃n ∈N ，n 2≥3n +4． 故选：C ．
3．“α∈（0，π
2）”是“tan α＞0”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：α∈（0，π2
）则有tan α＞0，故充分性成立，
但tan α＞0，有α∈（k π，π
2+k π），k ∈Z ，故必要性不成立，
故“α∈（0，π
2
）”是“tan α＞0”的充分不必要条件，
故选：A ．
4．已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，则下列结论不正确的是（ ） A ．a +c ＞b +d
B ．ac ＞bd
C ．a
c
＞b
d
D ．a d
＞c
b
解：∵a ＞b ，c ＞d ，∴a +c ＞b +d ，故A 正确； ∵a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，∴ac ＞bd ，故B 正确； 取a ＝4，b ＝3，c ＝2，d ＝0.1，则a
c
=2，
b d =30，此时a c
＜b
d
，故C 错误；
∵c ＞d ＞0，则1
d
＞1c
＞0，又a ＞b ＞0，则a
d
＞b c
，故D 正确．
故选：C ．
5．掷一个均匀的骰子．记A 为“掷得点数大于等于2”，B 为“掷得点数为奇数”，则P （B |A ）为（ ） A ．5
6
B ．2
3
C ．1
2
D ．2
5
解：事件A 有下列可能：2，3，4，5，6，共5种；
在事件A 条件下满足B 条件有：3，5共2种，所以P(B|A)=25
． 故选：D ．
6．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0（a ≠0）的解集为（﹣3，1），则不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为（ ） A ．(−1
3
，1) B ．(−∞，−13
)∪(1，+∞) C ．(−1，13)
D ．(−∞，−1)∪(1
3，+∞)
解：由题意可知a ＜0，且−3+1=−b
a ，−3×1=c
a ，所以
b ＝2a ，
c ＝﹣3a ， 所以cx 2+bx +a ＜0化为3x 2﹣2x ﹣1＜0，解得−13
＜x ＜1， 即不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为（−1
3
，1）． 故选：A ．
7．从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A ，B ，C ，D 的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B 盒中的不同的方法数是（ ） A ．24
B ．48
C ．54
D ．96
解：先在编号为1，3，4，5的4个球中任取1个放在B 盒中， 再将余下的3个球与2号球放在一起，从中选3个球放在编号为 A ，C ，D 的3个盒子中，每盒一球，即可完成题目要求．
则符合题给要求的不同的方法数为A 41A 43
=96．
故选：D ．
8．小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min ，样本方差为4，假设做公交车用时X ～N （30，62），骑自行车用时Y ～N （34，22），则（ ） A ．P （X ≤38）＞P （Y ≤38） B ．P （X ≤34）＞P （Y ≤34）
C ．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车
D ．如果有34分钟可用，小明应选择自行车
解：因为X ～N （30，62），Y ～N （34，22）， 将X ，Y 化为标准正态分布，则X−306
～N(0，1)，
Y−342
～N(0，1)，
因为
38−306
＜
38−342，所以P （X ≤38）＜P （Y ≤38），故A 错误；
又P(X ≤34)＞1
2，P(Y ≤34)=1
2，P （X ≤34）＞P （Y ≤34），故B 正确；
因为P （X ≤38）＜P （Y ≤38），所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C 错误； 因为P （X ≤34）＞P （Y ≤34），所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D 错误． 故选：B ．
9．已知0＜x ＜1
2
，则1
x +
81−2x
的最小值为（ ）
A ．16
B ．18
C ．8
D ．20
解：1
x +
81−2x =
22x +81−2x ，又2x +（1﹣2x ）＝1， ∴
22x
+81−2x =（
22x
+
8
1−2x
）[2x +（1﹣2x ）]＝10+
2(1−2x)2x +16x
1−2x
， ∵0＜x ＜1
2
，∴1﹣2x ＞0，2x ＞0， ∴
2(1−2x)2x +
16x 1−2x ≥2√2(1−2x)2x ⋅16x
1−2x =8，当且仅当2(1−2x)2x
=
16x 1−2x
，即x =1
6时，等号成立，
∴1x +81−2x =22x
+81−2x
=10+
2(1−2x)2x +16x
1−2x
≥10+8＝18， 故1
x
+
81−2x 的最小值为18，
故选：B ．
10．已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝（mx ﹣1）2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1]∪[2√3，+∞） B ．（0，1]∪[3，+∞） C ．（0，√2）∪[2√3，+∞）
D ．（0，√2]∪[3，+∞）
解：根据题意，由于m 为正数，y ＝（mx ﹣1）2 为二次函数，在区间（0，1
m
）为减函数，（1
m
，+∞）为增函数，
函数y =√x +m 为增函数， 分2种情况讨论： ①、当0＜m ≤1时，有
1m
≥1，
在区间[0，1]上，y ＝（mx ﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m ﹣1）2，1]， 函数y =√x +m 为增函数，其值域为[m ，1+m ]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有0＜1
m
＜1，
y＝（mx﹣1）2在区间（0，1
m
）为减函数，（
1
m
，1）为增函数，
函数y=√x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
另解：设f（x）＝（mx﹣1）2−√x−m，x∈[0，1]，
f（0）＝1﹣m，f（1）＝（m﹣1）2﹣1﹣m＝m（m﹣3），
得到分类讨论的分界点1和3，分4种情况讨论：
①当m∈（0，1）时，f（x）单调递减，有f（0）f（1）＜0，函数f（x）有唯一零点，符合题意；
②m＝1时，f（x）单调递减，f（0）＝1﹣1＝0，函数f（x）有唯一零点，符合题意；
③m∈（1，3）时，此时f′（x）＝2mx（mx﹣1）
1
2√x
，f′（x）递增，
则f（x）单调递增，或单调递减，或先减后增，总之在区间取得最大值，
而f（0）＜0且f（1）＜0，不符合题意，
④当m∈[3，+∞），同理③，
有f（0）＜0，f（1）≥0，由零点判断定理可得函数f（x）有唯一零点，符合题意；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．
二、填空题（共24分，每题4分）
11．已知(x3+2
x2
)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为80．
解：已知(x3+2
x2
)n的展开式中各项系数和为243，即3n＝243，解得n＝5；
所以T r+1=C5r⋅x15−3r⋅(2
x2
)r=C5r⋅2r⋅x15−5r，
令r＝3，故常数项为C53⋅23=80．
故答案为：80．
12．某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”
的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为
0.55．
解：由题意，因为两条生产线产量相同，故从该厂产品中任取一件，抽取到甲、乙两条生产线的概率均为0.5，
故从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为0.5×0.6+0.5×0.5＝0.55， 故答案为：0.55．
13．已知随机变量X ﹣B （n ，p ），且E （X ）＝2，D （X ）＝1，则p ＝ 12
．
解：随机变量X ﹣B （n ，p ），且E （X ）＝2，D （X ）＝1， 可得np ＝2，np （1﹣p ）＝1， 解得p =1
2． 故答案为：12．
14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种．（以数字作答）
解：按照使用颜色的种类分类，
第一类：使用了4种颜色，2，4同色或3，5同色，则共有C 21A 44
=48种，
第二类：使用了3种颜色，2，4同色且3，5同色，则共有A 43=24种， 所以共有48+24＝72种． 故答案为：72．
15．若函数e x f （x ）（e ≈2.71828…是自然对数的底数）在f （x ）的定义域上单调递增，则称函数f （x ）具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ①④ ． ①f （x ）＝2﹣
x ②f （x ）＝3﹣
x ③f （x ）＝x 3 ④f （x ）＝x 2+2．
解：对于①，f （x ）＝2﹣
x ，则g （x ）＝e x f （x ）=e x ⋅2−x =(e
2
)x 为实数集上的增函数；
对于②，f （x ）＝3﹣
x ，则g （x ）＝e x f （x ）=e x ⋅3−x =(e
3)x 为实数集上的减函数；
对于③，f （x ）＝x 3，则g （x ）＝e x f （x ）＝e x •x 3，
g ′（x ）＝e x •x 3+3e x •x 2＝e x （x 3+3x 2）＝e x •x 2（x +3），当x ＜﹣3时，g ′（x ）＜0， ∴g （x ）＝e x f （x ）在定义域R 上先减后增；
对于④，f （x ）＝x 2+2，则g （x ）＝e x f （x ）＝e x （x 2+2），
g′（x）＝e x（x2+2）+2xe x＝e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
16．设a∈R，函数f（x）＝ax2+|x2﹣ax﹣1|恰有三个零点，则a的取值集合为{﹣2，﹣1}．解：显然x＝0不是函数f（x）的零点，
令f（x）＝0，可得a+|1−a
x
−
1
x2
|=a+|
1
x2
+
a
x
−1|=0，
令t=1
x
，(t≠0)，则a+|t2+at﹣1|＝0，即|t2+at﹣1|＝﹣a（*），
要使（*）有三个根，则﹣a＞0，解得a＜0，
令y＝t2+at﹣1，则Δ＝a2+4＞0，且对称轴t=−a2＞0，作出函数g（t）＝|t2+at﹣1|（t≠0）的大致图象如下，
由图象可知，要使（*）有三个根，则﹣a＝1或−a=g(−a
2
)=−(
a2
4
−
a2
2
−1)，
解得a＝﹣1或a＝﹣2．
故答案为：{﹣2，﹣1}．
三、解答题（17题10分，18题12分，19题14分）
17．（10分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率公式有P（A）=C21C31C51
C103
=
1
4
．
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，
则P（X＝0）=C83
C103
=
7
15
，P（X＝1）=
C21C82
C103
=
7
15
，P（X＝2）=
C22C81
C103
=
1
15
，
EX＝0×7
15+1×
7
15
+2×
1
15
=
3
5
．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax，且f′（1）＝0．
（1）求实数a的值及曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当x∈[﹣2，2]时，求f（x）的最大值．
解：（1）由题意可得f′（x）＝3x2+a，
所以f′（1）＝a+3＝0，即a＝﹣3，
所以f（x）＝x3﹣3x，f′（x）＝3x2﹣3，
所以f（2）＝2，f′（2）＝9．
所以曲线y＝f（x）在点（2，2）处的切线方程为y﹣2＝9（x﹣2），即y＝9x﹣16；
（2）由（1）得f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），
令f′（x）＝0，则x＝1或x＝﹣1．
列表得：
所以当x∈[﹣2，2]时，y＝f（x）在x＝1时取得极小值，在x＝﹣1时取得极大值，且f（﹣1）＝f（2）＝2＞f（1）＝f（﹣2）＝﹣2，
故y＝f（x）的最大值为2．
19．（14分）设函数f（x）＝a•x2﹣b•lnx，其中a，b∈R．
（1）当a＝1，b＝0时，求关于x的不等式f（x）＞1
x
的解集；
（2）设a＝2，b＞4，集合D＝（0，1]，记g（x）＝2cx−1
x2
（c∈R），若y＝g（x）在D上为单调递增
函数，且对D上的任意两个变量s，t，均有f（s）≥g（t）成立，求c的取值范围．
（3）当a＝0，b＜0，x＞1时，记h n（x）＝[f（x）]n+1
[f(x)]n
，其中n为正整数．求证：[h1（x）]n+2≥h n（x）+2n．
解：（1）由题设f（x）＝x2，则x2＞x﹣1，即x2−1
x
=
x3−1
x
＞0，
故x（x﹣1）（x2+x+1）＞0，
又x2+x+1=(x+1
2
)2+
3
4
＞0，x＞0，则x﹣1＞0，即x＞1，
所以不等式的解集为（1，+∞）；
（2）由题意f（x）＝2x2﹣blnx，要使D上的任意两个变量s，t，均有f（s）≥g（t）成立，则只需当x∈（0，1]时，f（x）min≥g（x）max成立即可，
又y＝g（x）在D上为严格增函数，则g（x）max＝g（1）＝2c﹣1，
且g′(x)=2(c+1
x3
)≥0在（0，1]上恒成立，
又g′（x）在（0，1]上单调递减，则g′（1）＝2（c+1）≥0，解得c≥﹣1，
由b＞4且x∈（0，1]，f′(x)=4x−b
x
=
4x2−b
x
＜0，则f（x）在（0，1]上递减，
所以f（x）min＝f（1）＝2，则2c﹣1≤2，解得c≤32，
综上，实数c的取值范围为[−1，3
2 ]；
（3）证明：依题意，f(x)=−blnx，ℎ1(x)=−blnx−
1
blnx
，且x＞1，b＜0，
令k＝﹣blnx，则k＞0，
所以[ℎ1(x)]n−2n=(−blnx−
1
blnx
)n−2n=(k+
1
k
)n−2n，
而(k+1
k
)n=C n0k n+C n1k n−1(
1
k
)1+⋯⋯+C n n(
1
k
)n=k n+C n1k n−2+⋯⋯+C n n−1k2−n+(
1
k
)n，
2n=(1+1)n=C n1+C n2+⋯⋯+C n n−1+2，
则(k+1
k
)n−2n=k n+(
1
k
)n−2+C n1(k n−2−1)+C n2(k n−4−1)+⋯⋯+C n n−1(k2−n−1)，
又C n1(k n−2−1)+C n n−1(k2−n−1)=C n1(k n−2+k2−n−2)，且k n−2+k2−n≥2√k n−2+2−n=2，当且仅当k＝1时等号成立，
所以C n1(k n−2−1)+C n n−1(k2−n+1)≥0，
同理，C n2(k n−4−1)+C n n−2(k4−n−1)≥0，⋯⋯，且均在k＝1时等号成立，
所以C n1(k n−2−1)+C n2(k n−4−1)+⋯⋯+C n n−1(k2−n−1)≥0，
则[ℎ1(x)]n−2n≥k n+(1
k
)n−2=ℎn(x)−2，即得证．
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