天津市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

天津2023年11月高一年级期中考试数学试卷（答案在最后）
一.选择题(每题12分,共计36分)
1.设集合{}
0,2,4,5,8,10A =，
{}
234B x x =-<，则A B = （）
A.
{}4,8 B.
{}0,2,6 C.
{}0,2 D.
{}
2,4,6【答案】C 【解析】
【分析】先求出集合B ，然后再求交集.【详解】由{}
234B x x =-<，得72B x x ⎧⎫=<
⎨⎩
⎭
又{}0,2,4,5,8,10A =所以{}0,2A B =I 故选：C
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知命题3:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是（）
A.32,80x x ∃≥-≥
B.32,80x x ∀≤->
C.32,80x x ∀>->
D.32,80
x x ∃<-≥【答案】D 【解析】【分析】
根据全称命题的否定是特称命题可求出.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以p ⌝是“32,80x x ∃<-≥”.故选：D.
3.设a R ∈，则“1a <”是“21a <”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
【答案】B 【解析】
【详解】由题意，解不等式21a <，得11a -<<，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又
()()111-⊂-∞，，
，即满足由条件p 不能推出结论q ，且结论q 推出条件p ，故选B.4.设函数()f x 为奇函数，当0x >时，()²2f x x =-，则()2f -=（
）A.-1 B.-2
C.1
D.2
【答案】B 【解析】
【分析】根据奇函数特征()()22f f -=-，将2代入0x >时，()²2f x x =-的解析式，求出()2f ，然后即得到
()2f -.
【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以()()22f f -=-，又因为当0x >时，()²2f x x =-，所以()2
2222f =-=，
所以()22f -=-.故选：B.
5.已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（）
A.{1}
B.
C.{1,1}-
D.【答案】C 【解析】
【分析】根据B 是A 的子集列方程，由此求得m 的取值集合.【详解】由于B A ⊆，所以211m m =⇒=±，所以实数m 的取值集合为{1,1}-.故选：C
6.下列函数是偶函数且在()0,∞+上单调递增的为（）
A.()f x =
B.()²1
f x x =-+ C.()1
f x x x
=- D.()f x x
=【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性和单调性逐选项判断即可.
【详解】对于A ，定义域为[)0,∞+，不关于原点对称，所以()f x 为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ，()²1f x x =-+定义域为R ，关于原点对称，()()()2
1f x x f x -=--+=，所以()f x 为偶函数，
又因为()²1f x x =-+，开口向下，对称轴为0x =，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，()1
f x x x =-
，定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，()()11
f x x x f x x x
-=--=-+=--，所以()f x 奇函数，故C 错误；
对于D ，()f x x =定义域为R ，关于原点对称，
()()f x x f x -=-=，所以()f x 为偶函数，
又()f x x =当()0,x ∈+∞时，()f x x =，在()0,∞+上单调递增，故D 正确，故选：D.
7.若0a b <<，则下列不等式成立的是（）
A.²a ab >
B.²
ab b < C.11
a b
-
>- D.11
a b
-
<【答案】A 【解析】
【分析】利用作差法判断A ；举反例判断BCD ；从而得解.【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0a b -<，则()²0a ab a a b -=->，即²a ab >，故A 正确；
对于B ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但221ab b =>=，故B 错误；
对于C ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但111
12a b -=<=-，故C 错误；对于D ，取2,1a b =-=-，满足0a b <<，但111
12a b
-=>-=，故D 错误.
故选：A.
8.已知0,0x y >>，且
14
1x y
+=，则x y +的最小值为（）
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】D 【解析】
【分析】由题意得14()x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为0,0x y >>，且14
1x y
+=，
所以144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=
⎪⎝⎭
，
当且仅当4y x
x y
=，即3,6x y ==时取等号，
所以x y +的最小值为9，故选：D
9.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）
A.,y x u ==
B.2
y s ==
C.21
,1
1
x y m n x -==+- D.y y =
=【答案】A 【解析】
【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.
【详解】对于A ，y x =和u =的定义域都是R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；
对于B ，函数y =R ，函数2
s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，
故选项B 错误；
对于C ，函数21
1
x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函
数，故选项C 错误；
对于D ，函数y =
的定义域为{|1}x x ≥，函数y =的定义域为(,1][1,)∞∞--⋃+，
定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选：A .
10.已知集合M ＝{x |1
x x -≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2
＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于()
A.∅
B.{x |x ≥1}
C.{x |x >1}
D.{x |x ≥1或x <0}
【答案】C 【解析】
【分析】首先确定集合M 和集合N ，然后求解其交集即可.【详解】求解分式不等式
1
x
x -≥0可得{}|01M x x x 或=≥<，求解函数y ＝3x 2＋1的值域可得{}|1N x x =≥，结合交集的定义可知M ∩N ={x |x >1}.本题选择C 选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.若关于x 的不等式21kx kx -<的解集为R ，则实数k 的取值范围是（）
A.
()
4,0-B.(4,0]-C.
[]
4,0-D.(,4][0,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】
由题可知满足0k =或0
0k <⎧⎨∆<⎩
即可
.【详解】由题210kx kx --<的解集为R ，当0k =时，10-<恒成立，满足题意；
当0k ≠时，则()2
410k k k <⎧⎨∆=-⨯-<⎩
，解得40k -<<，综上，40k -<≤.故选：B.
【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.
12.已知函数() y f x =是定义在区间[]
1,1-上的奇函数，且对[]12,1,1x x ∀∈-，当12x x <时，总有()()12f x f x <，则不等式()()1130f x f x -+-<的解集为（
）
A.1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B.1
,2⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
C.12,23⎛⎫
⎪⎝⎭ D.12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.
【详解】因为[]12,1,1x x ∀∈-，当12x x <时，总有()()12f x f x <,所以() f x 在[]1,1-为增函数，不等式()()1130f x f x -+-<，即()()
113f x f x -<--又因为函数() y f x =是定义在区间[]
1,1-上的奇函数，所以()() f x f x -=-，[]1,1x ∈-所以()()1331f x f x --=-，所以()()
131f x f x -<-所以111
1311131x x x x -≤-≤⎧⎪
-≤-≤⎨⎪-<-⎩
，
解得
1223
x <≤所以不等式()()1130f x f x -+-<的解集为12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
.
故选：D.
二.填空题(每题4分，共计32分)
13.函数f (x )=
12
x -的
定义域为___________.
【答案】{
1x x ≥且}
2x ≠
【解析】【分析】
由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.
【详解】由题意得：10
20x x -≥⎧⎨-≠⎩
，解得12x x ≥≠且，所以定义域为{1x x ≥且}2x ≠.
故答案为：{
1x x ≥且}
2x ≠【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
14.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间是_______．
【答案】[1,2]-和[4,)+∞【解析】
【分析】根据函数的图象，观察即可写出单调区间.
【详解】根据函数的图象，自左向右看，上升为增函数，下降为减函数，所以函数的单调递减区间为[1,2]-和[4,)+∞.
【点睛】本题主要考查了利用函数的图象写出单调区间，属于容易题.15.已知函数()231
x
f x x -=
-，则函数的值域为______.
【答案】()(),33,-∞--+∞ 【解析】
【分析】分离常数法求函数的值域.【详解】()231
x
f x x -=
-定义域为()(),11,-∞+∞ ，()()311231
3111
x x f x x x x ----=
==-----因为10x -≠，所以101
x ≠-，即1
331x --
≠--，所以()231
x
f x x -=
-的值域为()(),33,-∞--+∞ .
故答案为：()(),33,-∞--+∞ .16.函数()2
112
f x x x =++在[]2,3-上的最大值是_________________.【答案】172
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求[]2,3-上的最大值即可.【详解】因为()()2
211111222
f x x x x =
++=++,所以对称轴为=1x -,开口向上，
所以当3x =时，()f x 有最大值，最大值为()3f =17
2
，故答案为：
172
.17.已知:14,:p x q x a ≤<<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________________.【答案】[)4,+∞【解析】
【分析】根据充分不必要条件定义转换为集合真包含关系求解即可.【详解】设集合{}|14A x x =<≤，集合{}|B x x a =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，
即4a ≥.
所以实数a 的取值范围为[)4,+∞故答案为：[)4,+∞.
18.函数()()2
212f x x a x =+-+在区间(]
,4∞-上递减，则实数a 的取值范围是___________．
【答案】(]
,3-∞-【解析】
【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴()2142
a x -=-
≥，由此可求出实数a 的取值范围.
【详解】因为函数()()2
212f x x a x =+-+在区间(]
,4∞-上递减，
所以()2142
a --
≥，解得3a ≤-.
故答案为：(]
,3-∞-.19.已知5
2
x <，若不等式9225x m x +
≤-恒成立，则实数m 的最小值为______.【答案】1-【解析】
【分析】利用配凑法与基本不等式求得9
225
x x +-的最大值，从而得解；【详解】因为5
2
x <，所以250x -<，则520x ->，所以9992255525252552x x x x x x ⎛
⎫+
=-++=--++ ⎪---⎝
⎭
51≤-=-，
当且仅当9
5252x x
-=-，即1x =时，等号成立，因为不等式9
225x m x +
≤-恒成立，所以max
9225m x x ⎛⎫≥+ ⎪-⎝⎭，则1m ≥-，
所以实数m 的最小值为1-.故答案为：1-.
20.已知函数()2
,0
2,0
x f x x
x x ⎧-<⎪=⎨⎪-+≥⎩，则当函数值()()1f f x =时，x =__________.【答案】2-或1或4.【解析】
【分析】根据分段函数的特征，分0x <，02x ≤≤，2x >求()()1f f x =，得到x 的值.
【详解】当0x <时，20x ->，()()222221f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫
=-=--+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以2x =-，
当02x ≤≤时，20x -+≥，()()()()2221f f x f x x x =-+=--++==，所以1x =；
当2x >时，20x -+<，()()()22
2122
f
f x f x x x =-+=-
==-+-，所以4x =，
综上，2x =-或1或4.故答案为：2-或1或4.
三.解答题(共计32分)
21.已知集合{}231{||,}03A x a x a B x x =-≤≤-=<<.（1）若1a =，求A B ⋃；
（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|}1x x -≤<（2）3
2
a >【解析】
【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解.（2）由题意得A B ⊆，分类讨论A =∅和A ≠∅两种情况，结合集合的运算即可得解.
【小问1详解】
当1a =时，231{|}{|10}A x a x a x x =-≤≤-=-≤≤，又{}|03B x x =<<，所以3|}1{A B x x ⋃=-≤<.【小问2详解】
因为A B A = ，所以A B ⊆，
又{}231{||,}03A x a x a B x x =-≤≤-=<<，
当A =∅时，231a a ->-，解得2a >，此时满足A B ⊆；当A ≠
∅时，2a ≤，则23013
a a ->⎧⎨
-<⎩，解得3
22a <≤；
综上，实数a 的取值范围3
2
a >．22.已知函数()2
1,1
,1
x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨
+<⎪⎩.（1）求3 2f f ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
；（2）若()0f x =，求 x ；（3）画出函数()f x 的图象
.
【答案】（1）34
（2）0x =或1
x =（3）图象见解析
【解析】
【分析】（1）利用()f x 的解析式，先求32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求3 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即可得解；（2）分类讨论1x ≥与1x <，分别列式计算即可得解；
（3）分别计算1x ≥与1x <，再利用一次函数与二次函数的图象性质即可得解.
【小问1详解】
因为()21,1 ,1x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
，所以331 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2
31113 22224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.【小问2详解】当1x ≥时，由()0f x =得10x -=，解得1x =；当1x <时，由()0f x =得20x x +=，解得0x =或=1x -（舍去）；所以0x =或1x =.
【小问3详解】当1x ≥，即1x ≤-或1x ≥时，()1f x x =-，当1x <，即11x -<<时，()2f x x x =+，所以()f x 的图象如图，
23.已知关于 x 的不等式()()210x a x a +-+<.
（1）若不等式的解集是1|22x x ⎧⎫-<<
⎨⎩⎭，（ⅰ）求 a 的值；
（ⅱ）求关于x 的不等式227104
ax x a ++->的解集.（2）解关于 x 的不等式()()210x a x a +-+<.
【答案】（1）（ⅰ）12a =-；（ⅱ）132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）利用二次不等式与二次方程根的关系，分类讨论求解即可；（ⅱ）代入a ，解二次不等式即可得解；
（2）分类讨论两根的大小关系，从而得解.
【小问1详解】
（ⅰ）因为()()210x a x a +-+<的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以12,2
-是方程()()210x a x a +-+=的两根，而解()()210x a x a +-+=，得x a =-或21x a =-，当2a -=-，即2a =时，12132
a -=≠
，不满足题意；当12a -=，即12a =-时，212a -=-，满足题意；
综上，12
a =-；（ⅱ）因为12a =-，所以227104ax x a ++->可化为2217110242x x ⎛⎫-++--> ⎪⎝⎭
，整理得()()3210x x --<，解得
132x <<，所以227104ax x a ++->的解集为132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
.【小问2详解】
因为()()210x a x a +-+=的解为x a =-或21x a =-，
当21a a -=-，即13a =时，()()210x a x a +-+<无解；当21a a -<-，即13a >时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；当21a a ->-，即13a <时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；综上，当13a =时，()()210x a x a +-+<的解集为∅；当13a >时，()()210x a x a +-+<的解集为{}21x a x a -<<-；。