2017-2018学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷-含详细解析.

2017-2018学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
副标题
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为（）
A. 2√2
B. 4
C. 2√5
D. 5
2.直线x-y-√3=0的倾斜角为（）
A. 45∘
B. 60∘
C. 12∘
D. 135∘
3.直线y=2x-2与直线l关于y轴对称，则直线l的方程为（）
A. y=−2x+2
B. y=−2x−2
C. y=2x+2
D. y=1
2
x−1
4.已知圆M：x2+y2=1与圆N：（x-2）2+y2=9，则两圆的位置关系是（）
A. 相交
B. 相离
C. 内切
D. 外切
5.设m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也
不在β内．则下列结论正确的是
（）
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若m//n，n//α，则m//α
C. 若m⊥α，n⊥α，则m⊥n
D. 若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
6.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是（）
A. (−∞,1)
B. (−∞,1]
C. [1,+∞)
D. R
7.圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）
A. 2
πB. 1
π
C. 2
π2
D. 1
π2
8.方程x=√1−y2表示的图形是（）
A. 两个半圆
B. 两个圆
C. 圆
D. 半圆
9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，
若平面PAD∩平面PBC=l，则（）
A. l//CD
B. l//BC
C. l与直线AB相交
D. l与直线DA相交
10.已知a，b是异面直线，给出下列结论：
①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α，
②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；
③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α．
则所有正确结论的序号为（）
A. ①②
B. ②
C. ②③
D. ③
二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）
11.已知点A（m，-2），B（3，0），若直线AB的斜率为1
2
，则m=______．
12.若直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x-y=0平行，则a=______．
13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______．
14.已知直线y=kx+k过定点，则定点的坐标为______．
15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面
BCC1B1上运动，当点P满足条件______时，A1P∥平面BCD
（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）
16.如图，矩形ABCD中AB边与x轴重合，C（2，2），D（-1，2）．从原点O射出
的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处．
①若OP的斜率为1
，则点Q的纵坐标为______；
2
②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为______．
17.在区间[-2，4]内随机选取一个实数x，则x∈[1，3]的概率为______．
18.如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工
的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相
同，则m=______；甲、乙两组人加工零件数方差较大的一
组的方差为______．
19.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率
为______．
20.一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到
一个灯塔P在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船
到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15°方向上，这
时船与灯塔的距离为______km．
21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC面积S满足1≤S≤2，
且sin A sin B sin C=1
．给出下列结论：
8
①abc≥16；②a2b+ab2＞8；③ab＜32；
其中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）
22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD
＝2，点E为线段PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）求三棱锥A-PCE的体积．
23.已知直线l：y=-x+8与x轴相交于点A，点B坐标为（0，-4），过点B作直线l的
垂线，交直线l于点C．记过A、B、C三点的圆为圆M．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程．
24.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E
是棱AB上的动点，F是棱CC1上一点，CF：FC1=1：
2．
（Ⅰ）求证：B1D1⊥A1F；
（Ⅱ）若直线A1F⊥平面B1D1E，试确定点E的位置，
并证明你的结论；
（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，求
总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长
度．（直接写出答案）
25.在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M名同学的成绩，数据的分
组统计表如下：
分组频数频率
(40,50] 2 0.02
(50,60] 3 0.03
(60,70]12 0.12
(70,80]38 0.38
(80,90]m n
(90,100]15 0.15
合计M N
(Ⅰ)求出表中m，n，M，N的值；
(Ⅱ)根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；
(Ⅲ)若该地区高二学生有500人，假设同组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．
26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．b=√5，B=π
．
4
（I）若a=3，求sin A及sin C的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积等于1，求a的值．
27.已知圆C：x2+（y-3）2=25与x轴的负半轴相交于点
M．
（I）求点M的坐标及过点M与圆C相切的直线方
程；
（II）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切
三角形．记圆C的外切三角形为△DEF，且D（-5，-2），E（t，-2）（t＞5）试用t表示△DEF的面积；
（Ⅲ）过点M作MA，MB分别与圆相交于点A，B，且直线MA，MB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为
d==2．
故选：C．
根据两点间的距离公式计算即可．
本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．
2.【答案】A
【解析】
解：直线x-y-=0的斜率k=1，
设直线x-y-=0的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
则tanα=1，即α=45°．
故选：A．
由直线方程求直线的斜率，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．
本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基
础题．
3.【答案】B
【解析】
解：由点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），
可得直线y=2x-2关于y轴对称的直线l的方程为：
y=-2x-2，
故选：B．
运用点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），只要将已知直线方程中的x换为-x，y不变，可得所求直线方程．
本题考查直线关于y轴对称的直线方程求法，注意运用点（x，y）关于y轴的对
称点为（-x，y），同时还要熟记点关于原点对称的特点、以及点关于x轴对称的特点和关于直线y=x，y=-x的特点，考查变换能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】
解：圆M：x2+y2=1的圆心为M（0，0），半径为r1=1；
圆N：（x-2）2+y2=9的圆心为N（2，0），半径为r2=3；
|MN|=2=r2-r1，
∴两圆的位置关系是内切．
故选：C．
根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系
本题考查了两圆位置关系的判断问题，是基础题
5.【答案】B
【解析】
解：由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，
m，n既不在α内，也不在β内，知：
在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若m∥n，n∥α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故B正确；
在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m与n平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．
故选：B．
在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面平行的判定定理得m∥α；在C中，由线面垂直的性质定理得m与n平行；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
6.【答案】A
【解析】
解：由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得（x-2）2+（y+1）2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k＞0，解得k＜1．
故实数k的取值范围是（-∞，1）．
故选：A．
由方程x2+y2-4x+2y+5k=0配方可得（x-2）2+（y+1）2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k＞0，解得即可．
思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】
解：如图所示，
圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，
则圆柱的高为h=2，
底面圆的周长为2πr=2，
解得r=，
∴圆柱的体积是V=πr2h=π••2=．
故选：A．
由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．
本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．
8.【答案】D
【解析】
解：由x=，两边平方得x2+y2=1（x≥0）．
∴方程x=表示的图形是半圆．
故选：D．
把已知方程两边平方，结合x的范围得答案．
本题考查曲线方程，是基础题．
9.【答案】D
【解析】
解：∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD．∴AD与CB必相交于点M，
则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC=l．
∴P∈l．l与直线DA相交．
故选：D．
可得AD与CB必相交于点M，则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC=l．
本题考查了空间几何体中的直线与平面的位置关系，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】
解：对于①，a、b是异面直线，
不一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面
α，
如正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与B1C
是异面直线，
且不存在平面α，使直线A1A⊥平面α，直线B1C∥
平面α，①错误；
对于②，一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α，
在直线a、b外取点P，过点P作a′∥a，b′∥b，
由a′、b′确定平面α，则a∥α，b∥α，②正确；
对于③，存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，
且直线a∥平面α；
如正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与B1C是异面直线，
且A1A∥C1C，B1C∩C1C=C，过C1C且与A1A平行的平面有无数个，③正确．综上，所有正确结论的序号是②③．
故选：C．
①举例说明命题错误即可；
②在直线a、b外取点P，过点P作a′∥a，b′∥b，由a′、b′确定平面α满足条件；
③举例说明命题正确即可．
本题考查了空间中的线面平行与垂直关系的应用问题，是基础题．
11.【答案】-1
【解析】
解：点A（m，-2），B（3，0），若直线AB的斜率为，
则=，
解得m=-1，
故答案为：-1．
直接根据斜率公式计算即可．
本题考查了斜率公式，属于基础题．
12.【答案】-2
【解析】
解：∵直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x-y=0平行，
∴-=1，
解得a=-2．
故答案为：-2．
利用两直线平行的性质直接求解
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．
13.【答案】√5
【解析】
解：由正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面DA′的面积最大为．
故答案为：．
画出直观图，利用几何体的图形，判断求解三棱柱最大侧面的面积．
本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查数形结合以及计算能力．
14.【答案】（-1，0）
【解析】
解：直线y=kx+k，即k（x+1）-y=0，
令，解得x=-1，y=0．
∴无论k取任何实数，直线y=kx+k都经过一个定点（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
直线y=kx-k，即k（x+1）-y=0，得到关于x，y的方程组，解出即可得出．本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】P是CC1中点
【解析】
解：取CC1中点P，连结A1P，
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在
侧面BCC1B1上运动，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，
∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD
故答案为：P是CC1中点．
当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，由此能求出当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD．
本题考查满足线面平行的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】3
23 5
【解析】
解：①根据OP的斜率为，可得P（2，1）在BC中点上，那么反射必经过DC 与Y轴的交点，
即坐标为（0，2），设点Q的纵坐（-1，t）
那么
解得：t=
即点Q的纵坐标为；
②由题意，设P（2，n），反射线与DC交点E为（m，2）；入射角和反射角相等，可得……①
OP的斜率等于QE斜率；即……②
由①②解得：n=
则OP的斜率为；
故答案为：；．
①根据OP的斜率为，可得P（2，1）在BC中点上，那么反射比经过DC与Y 轴的交点，即可求解点Q的纵坐标；
②由题意，设P（2，m），反射线与DC交点E为（n，2）；入射角和反射角相等，OP的斜率等于QE斜率；建立关系即可求解；
本题考查了关于直线的对称的求法，考查了到入射角和反射角相等的运用，是基础题．
17.【答案】1
3
【解析】
解：在区间[-2，4]内随机选取一个实数x，则x∈[1，3]的概率为．故答案为：．
根据几何概型的概率公式计算即可．
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
18.【答案】1 2.5
【解析】
解：根据茎叶图中数据，计算甲、乙两组数据的平均数为：
=×（18+19+21+22）=20，
=×（19+20+20+20+m），
由=，求得m=1；
计算甲的方差为=×[（18-20）2+（19-20）2+（21-20）2+（22-20）2]=2.5；
乙的方差为=×[（19-20）2+（20-20）2+（20-20）2+（21-20）2]=0.5；
∴加工零件数方差较大的一组的方差为2.5．
故答案为：1，2.5．
根据茎叶图中数据，计算甲、乙两组数据的平均数和方差即可．
本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题．
19.【答案】2
3
【解析】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，
基本事件总数n==6，
所取两个数之和不小于5包含的基本事件有4个，分别为：
（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
∴所取两个数之和不小于5的概率为p==．
故答案为：．
基本事件总数n==6，利用列举法求出所取两个数之和不小于5包含的基本
事件有4个，由此能求出所取两个数之和不小于5的概率．
本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20.【答案】30√2
【解析】
解：如图，依题意有
AB=15×4=60，
∠MAB=30°，∠AMB=45°，
在△AMB中，
由正弦定理得=，
解得BM=30（km），
故答案为30．
先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的长度，求得BM．
本题主要考查了解三角形的实际应用．常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案．
21.【答案】②③
【解析】
解：sinAsinBsinC=，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得：===2R，
由S=absinC，及正弦定理得sinAsinBsinC==，
即R2=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R2≤8，即2≤R≤2，
由sinAsinBsinC=，可得8≤abc≤16，故①错误；
ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，故②正确；
由S≤2可得absinC≤2，可得ab≤，
而sinAsinBsinC=，即有
sinC=＞， 则ab≤
＜32，
故③正确． 故答案为：②③．
根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质和正弦函数的值域，即可得到结论．
本题考查三角形的正弦定理和面积公式、以及不等式的性质和正弦函数的值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
22.【答案】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，
如图示：
∵O 是正方形ABCD 对角线交点，∴O 为BD 的中点，
由已知E 为线段PD 的中点，∵PB ∥OE ，
又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，
∴PB ∥平面ACE ；
（2）证明：∵PA =AD ，E 为线段PD 的中点，∴AE ⊥PD ，
∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，
在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又PA ∩AD =A ，PA,AD ⊂面PAD
∴CD ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面PAD ，
∴CD ⊥AE ，又PD ∩CD =D ，PD,CD ⊂面PCD
∴AE ⊥平面PCD ；
（3）∵AE ⊥平面PCD ，
故三棱锥A -PCE 的体积
V =13S △PCE •AE =13×12PE •CD •AE =13×12
×√2×2×√2=23． 【解析】
（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ．可得PB ∥OE ，再由线面平行的判定可得PB ∥平面ACE ；
（2）由PA=AD ，E 为线段PD 的中点，得AE ⊥PD ，再由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥CD ，由线面垂直的判定可得AE ⊥平面PCD ；
（3）根据AE ⊥平面PCD ，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．
本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，直线l ：y =-x +8与x 轴相交于点A ，则A （8，0），又由BC ⊥AC ，则∠ACB =90°，
则圆M 是以AB 为直径的圆，其圆心M （4，-2），半径r =|AB|2=2√5，
则圆M 的方程为（x -4）2+（y +2）2=20；
（Ⅱ）设要求直线为CD ，且与圆M 的交点为C 、D ，
圆心到直线CD 的距离d =√20−16=2，
分2种情况讨论：
①，CD 的斜率不存在，则CD 的方程为x =6，
易得圆心到x =6的距离为2，符合题意；
②，CD 的斜率不存在，设CD 的方程为y -2=k （x -6），即kx -y -6k +2=0， 若圆心M 到直线CD 的距离为2，则有
|4k+2−6k+2|√1+k 2=|2k−4|√1+k 2=2，
解可得：k =34，
则此时直线CD 的方程为3x -4y -10=0；
故要求直线的方程为x =6或3x -4y -10=0．
【解析】
（Ⅰ）根据题意，由直线l 的方程求出A 的坐标，分析可得圆M 是以AB 为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，设要求直线为CD ，且与圆M 的交点为C 、D ，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线CD 的距离d=2，分2种情况讨论：①，CD 的斜率不存在，则CD 的方程为x=6，②，CD 的斜率不存在，设CD 的方程为y-2=k （x-6），即kx-y-6k+2=0，求出k 的值，综合即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的应用，关键是求出圆M 的方程．
24.
【答案】证明：（Ⅰ）连结A 1C 1，∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1是正方形，
∴B 1D 1⊥A 1C 1，
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，
∴CC 1⊥B 1D 1，
又CC 1∩A 1C 1=C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，
∵A 1F ⊂面A 1C 1C ，
∴B 1D 1⊥A 1F ．
解：（Ⅱ）当AE：EB=1：2时，直线A1F⊥平面D1B1E．
证明如下：
过点F在平面BCC1B1作FG∥BC，交BB1于点G，
连结A1G，交B1E于点H，
∵CF：FC1=1：2，∴BG：GB1=1：2，
在Rt△A1B1G与Rt△B1BE中，B1G=BE，A1B1=B1B，
∴△A1B1G≌△B1BE，∠B1A1G=∠BB1E，
又∠B1A1G+∠A1GB1=90°，∴∠BB1E+∠A1GB1=90°，
∴∠B1HG=90°，∴A1G⊥B1E，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB⊥面ABB1A1，
∴FG⊥B1E，
又A1G∩FG=G，∴B1E⊥面A1FG，∴B1E⊥A1F，
又B1D1⊥A1F，B1D1∩B1E=B，
∴直线A1F⊥平面B1D1E．
（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，
．
总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度为√2
3
【解析】
（Ⅰ）连结A1C1，推导出B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，从而B1D1⊥平面A1C1C，由此能证明B1D1⊥A1F．
（Ⅱ）当AE：EB=1：2时，过点F在平面BCC1B1作FG∥BC，交BB1于点G，连结A1G，交B1E于点H，推导出A1G⊥B1E，FG⊥B1E，从而B1E⊥面A1FG，
B1E⊥A1F，再由B1D1⊥A1F，能证明A1F⊥平面B1D1E．
（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度为．
本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查轨迹长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
25.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布表的性质得N=1，
=0.02，解得M=100，
∵2
M
∴m=100-（2+3+12+38+15）=30．
=0.30．
∴n=m
M
（Ⅱ）由频率分布表作出频率分布直方图如下：
（Ⅲ）平均分约为：
45×0.02+55×0.03+65×0.12+75×0.38+85×0.30+95×0.15=78.6，
该地区高二年级同学分数在区间（60，90]内的人数为：
5000×（0.12+0.38+0.30）=4000（人）．
【解析】
（Ⅰ）由频率分布表的性质得N=1，，由此能求出结果．
（Ⅱ）由频率分布表能作出频率分布直方图．
（Ⅲ）由频率分布表能估计这次测试中该地区高二学生的平均分数及分数在区间（60，90]内的学生人数．
本题考查频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、频数的求法，考查频率分布表、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
26.【答案】解：（Ⅰ）△ABC 中，a =3，b =√5，B =π4，
由正弦定理得a sinA =b sinB ，
∴sin A =a b sin B =√5sin π4=310√10；
当A 为锐角时，cos A =√1−sin 2A =√1010
， sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22+√1010×√22=2√55； 当A 为钝角时，cos A =-√1−sin 2A =-√10
10
， sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22-√1010×√22=√55
； （Ⅱ）△ABC 的面积为S △ABC =12ac sin B =12ac sin π4=√24ac =1，…① 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos π4=a 2+c 2-√2ac =5，…②；
由①得c =2√2a ，代入②得a 2+8
a 2-4=5， 化简得a 4-9a 2+8=0，
解得a =1或a =2√2． 【解析】 （Ⅰ）利用正弦定理求得sinA 的值，再根据三角形的内角和与两角和的正弦值求得sinC 的值； （Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理，列方程组求出a 的值．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．
27.【答案】解：（Ⅰ）∵圆C ：x 2+（y -3）2=25与x
轴的负半轴相交于点M ．
∴点M 的坐标为M （-4，0），
直线CM 的斜率k CM =3−00−(−4)=34，
∴过点M 与圆C 相切的切线的斜率k =-43，
∴过点M 的圆C 的切线方程为y -0=-43[x -（-4）]，即
4x +3y +16=0．
（Ⅱ）已知D （-5，-2），∴直线DF 方程为x =-5，
设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 的方程为y =k （x -t ）-2，即kx -y -kt -2=0， 依题意|−3−kt−2|
√k 2+1=5，∴（2-25）k 2+100tk =0，
解得k =0，（舍），或k =−10t t 2−25，
∴直线EF 的方程为y =−10t t 2−25（-5-t ）-2=
8t+10t−5， ∴F （-5，8t+10
t−5），
∴△DEF 的面积S △DEF =12⋅（t +5）•（
8t+10
t−5+2）=5t(t+5)t−5，（t ＞5）． （Ⅲ）设点A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），设直线MA 的方程为：x =my -4， 由{x 2+(y −3)2=25x=my−4，得（m 2+1）y 2-（8m +6）y =0，
∴y A +0=8m+6m 2+1，∴y A =8m+6m 2+1，∴y B =−8m+6m 2+1，
∴y A -y B =16m m 2+1，
又直线MB 的方程为x =-my -4，
∴x A =my A -4，x B =-my B -4，
x A -x B =my A +my B =m （y A +y B ）=12m m 2+1，
∴直线AB 的斜率k AB =y A −y B x A −x B =16m m 2+112m
m 2+1=4
3，
∴直线AB的斜率为定值，其值为4
．
3
【解析】
（Ⅰ）求出点M的坐标为M（-4，0），从而过点M与圆C相切的切线的斜率k=-，由此能求出过点M的圆C的切线方程．
（Ⅱ）求出直线DF方程为x=-5，设直线EF的方程为kx-y-kt-2=0，依题意=5，解得k=，由此能用用t表示△DEF的面积．
（Ⅲ）设点A（x A，y A），B（x B，y B），设直线MA的方程为：x=my-4，由
，得（m2+1）y2-（8m+6）y=0，由此利用韦害定理能求出直线AB的斜率为定值．
本题考查点的坐标、切线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，考查直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。