测量误差与平差(1)

1. 有界性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
误差分布曲线一
误差分布曲线二
精度是一组观测成果质量高低的标志，它与观测条 件的好坏密切相关。
ρ＝206265‫״‬
§8－3 算术平均值与加权平均值
一、算术平均值及其中误差
1.算术平均值 设对某未知量进行了n次等精度独立观测。
n个观测值为 ： l1 , l 2 ,, l n
其算术平均值为：
x l1 l2 ln l
n
n
2. 观测值中误差计算式
设观测量的真值为X，各观测值的真误差为： 1, 2 ,, n
本章主要介绍测量误差的基本知识。目的是了解测量误 差产生的原因和评定精度的标准；掌握偶然误差的特性、 误差传播定律及其在测量数据处理中的应用方法。
§8－1 误差与精度
一、测量误差的概念 误差是指由各种原因引起的观测值与真实值，或真实
值与其应有值之间存在的差异。
比如：三角形的内角和为180º，观测值为180º00'30″；标尺刻 划间距的真实值为0.97cm，其应有值即理论设计值为1cm。
布比较离散，则观测
值精度较低。
数学期望
(均)方差
2. 极限误差
极限误差也叫容许误差，即观测中可能出现的最大误 差值，用△容表示。
由偶然误差的有界性知：在一定的观测条件下，偶然 误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限 误差。
由概率论知，在误差群中，绝对值大于2m的真误差个 数只占误差总个数的5％，大于3m的个数仅0.3％。
阐述观测量函数的中误差与观测量本身的中误差之间 关系的定律，叫误差传播定律。
独立观测值的概念——
设x、y为两个观测值，如果它们之间没有任何联
系，并且都是直接观测量，则称它们是“独立观测 值”，它们之间是“互相独立”的。比如，三角高程 测量中的斜距和垂直角，三角形中的两个内角等。
与此对应，若两个观测值之间存在一定的联系，或包 含同一因素，则它们就不是“互相独立”的。如方向 观测法中各方向的归零方向值（零方向相同）。
需要指出的是，当函数与观测值的量纲不一致时，应 注意量纲的统一。例如——
函数h = S×sinα，h与α的量纲不同，按误差传播定 律求h的中误差时，需注意各误差的单位：
f sin, f S cos
S
mh2
(
h S
)
2
mS2
(
h
)
2
m2
sin 2 mS2
S 2 cos2 m2 2
关键是角度中误差平方这一项须除以ρ2。
此处的“平均大小”并非简单的算术平均大小，而 是指均方差。
测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值
的极限叫做中误差m的平方，即：
m2 lim
n n
式中：
21 22 2n
开平方后得：
2.趋向性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。
误差分布的趋向性在统计表中十分明显。 误差分布的趋向性在频率直方图中更易看出。 偶然测量误差是随机变量，服从于标准正态分布。
3. 对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
同样，误差分布的对称性可从统计表和直方图中得到 验证。
4. 抵偿性
偶然误差是一种随机性误差，不能直接通过加改正数的 方法来消除，在观测结果中总是不可避免地包含偶然误 差，因此，偶然误差是测量误差理论的主要研究对象。
偶然误差虽然从表面上看没有规律，但实际上具有统计 性规律，即特性。
下面先给出真误差的定义，然后介绍偶然误差的四个特 性。
任何一个被观测量，客观上总存在一个能代表其真正 大小的数值，称作“真值”。
由此可见，绝对值大于2m或3m的真误差实际上不可能
出现。因此一般用两倍或三倍中误差作为偶然误差的 极限值，即：
△容＝2m， 或△容＝3m
3. 相对误差
真误差和中误差都是绝对误差。有时，仅用绝对误差 还不能完全表达观测精度的高低。
例如，分别丈量了1000米和10米的两段距离，观测值 的中误差均为±0.01米，虽然从表面上看，两者的观 测精度相同，但就“单位长度”而言，两者的精度并 不相同（且实现的难度也不相同），显然前者的相对精度 比后者要高。
m lim
n
n
上式是中误差的极限表达式。在实际工作中，观测次数不可能 为无穷大，所以中误差通常用其估值表达式计算：
m
n
中误差的大小反映出
一组观测值误差的集
中与离散的程度。
右图中，m1较小, 误差
分布比较集中，说明 相应的观测值精度较
N (0, m12 )
N (0, m22 )
高； m2较大，误差分
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某类 数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在大小 及符号上表现出一致的倾向，如按一定的函数关系变 化，或保持常数，或保持同号，则这种误差叫系统误 差。比如：钢尺尺长误差，光电测距中的加常数、剩 余常数，传统的“五入”等。
2. 偶然误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对同类 数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在大小 及符号上均没有表现出一致的倾向，即从表面看没有 任何规律性，则这种误差叫偶然误差。比如：水准读 数估读、照准偏左或偏右等。
要点： 1. “要测量就会有误差”，即误差与测量同在。 2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环
境的影响。 3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的
测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
设某量的真值为X，已剔除了系统误差的观测值为l，
则它们的差值叫做该观测值的真误差，简称误差，用 △表示，即：
△ ＝ l－ X
真误差△仅指偶然误差。
如果对某量作一系列的观测，得到n个观测值li
(i=1,2,···,n)；则有n个真误差△i (i=1,2,···,n) 与之相对应。这种仅包含偶然误差的真误差具有以下 四个特性：
为此，通常又采用另一种衡量精度的指标，即“相对 中误差”，它是中误差（绝对值）与相应的观测值之
比，为一“不名数”，无量纲，常用分子为1的分式
表示：
k mD D
1 D
mD
相对误差仅可用作线量（即长度）观测精度的衡量指 标，在角度测量中没有意义。
§8－2 误差传播定律简介
在实际工作中经常会遇到这样的情况：某一个量的大 小并不是直接测定，而是由一个或一系列的观测量通 过一定的函数关系间接计算出来的（比如EDM测高）。 很显然，观测值误差必然会“传递”给函数，使其函 数也包含误差。
(1).列出函数式； (2).对函数式求全微分； (3).套用误差传播定律，写出函数中误差公式； (4).计算各偏导数之值； (5).将偏导数值和观测值中误差之值代入公式计算函数的中误差。
例: 对一个三角形，观测了A、B两个角： A=64º21'06″± 8.0″ ， B= 70º35'40
″±6.0″ 。 试求第三个角C及其中误差。
(
f xn
)
2
mx2n
f xi
是函数Z对各观测值（变量）的偏导数，它们都是
观测值的函数，将观测值代入后便都是常数。
例如，h = S×sinα，则
f sin,
S
f S cos
•上述一般函数形式的误差传播定律可以用于各种函数。
•几种常用函数形式的误差传播律
1、和差函数:
▪函数表达式：
z x1 x2 xn
第八章 测量误差与平差
§8－1 误差与精度 §8－2 误差传播定律简介 §8－3 算术平均值与加权平均值
平差——削平差异，消除不符。
由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影 响，测量误差总是不可避免的。
为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问 题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的 个数，也就是要进行多余观测。
测量平差是测绘工程专业的主干课程，一般需要讲授70 学时以上。
平差分为简易平差和严密平差。
严密平差又分为条件平差和间接平差。
在高程测量一章中水准路线闭合差的计算与分配实际上 就是一种简易平差工作（消除高差不符值）。
简易平差的相关内容将结合具体的控制测量计算（如导 线计算）加以介绍；对于严密平差方法，有兴趣的同学 可自学。
3. 粗差：数值超出了某种规定范围的误差。如读错、记 错等。
粗差实际上是一种不太容易发现的错误，严格来讲，粗 差不应属于测量误差的范畴。
三.偶然误差的特性
系统误差具有倾向的一致性，即单向性、同一性，其影 响具有积累性，对测量成果精度的影响很大，必须设法 消除或减小，比如施加尺长改正、加常数改正、剩余常 数改正、气象改正等。
偶然误差的算术平均值将随着观测次数的无限增加而趋 于零，即：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
•在测量平差中，方括号[ ]用来表示求和。 •第四个特性是由第三个特性即对称性导出的。 •必须指出，偶然误差的以上特性，尤其是后面的三个特 性，只有当观测数目较多（一般n为20以上）时才会比较 明显。
解：由题意可得: A + B + C = 180 °
于是： C = 180 °－ A － B = 45º03'14″
根据误差传播定律，有:
mC2
m
2 A
mB2
mC mA2 mB2 82 62 10.0
C = 45o 03‫ ׳‬14‫״‬±10 ‫״‬
关于误差传播定律，要求大家一定掌握“一般形式的 函数中误差计算式”，它是“通式”。
在相同的观测条件（观测者、仪器和外界环境）下进行 的一组观测，叫做“同精度观测”。
所有的观测值对应着同一种误差分布，因此，对于 组中的每一个观测值（即使是误差为零或误差很大的观测 值），都称为“同（等）精度观测值”；反之，则称 为“非等精度观测”。
例如，同一个观测者同一天用同一台仪器对同一个 三角形的内角和观测了10次，闭合差w有+8″的，有 - 2″的，也有为0的。
w=0 并不意味着高精度，w=8″也不表示低精度，所 有的观测结果应认为是相同精度的。
只有在不同的观测条件下所作的观测，才可以看作 精度不同。
（二）. 衡量精度的指标
除了用误差分布图表示观测精度之外，还可用简明 的数字来作为衡量精度的指标。
精度的高低虽然不能用观测列中的某个误差的大小 来判别，但与一组误差绝对值的平均大小有直接联 系，所以常用一组误差绝对值的平均大小来作为衡 量精度高低的指标。
有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平 差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结 果并评定测量成果的精度。
测量平差采用的原理是“最小二乘法”。
测量平差是德国数学家高斯于1821～1823年在汉诺威弧 度测量的三角网平差中首次提出并应用的。以后经过许 多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测绘 学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之 一。