级数的收敛性

n 1 n 1
证
(u
n 1

n
v n ) 的部分和为：
(u k vk ) (u1 v1 ) (u 2 v2 ) (u n vn ) Sn
k 1
n
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S 2 n
(u1 u 2 u m ) u m1 u m 2 u m k (u1 u 2 u m )
S m k S m
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim S m k S m lim S k
k
k
. 故 级数 u n 与级数 u k 有相同的敛散性
n 1 n 1
证
u
n 1 n 1

n
的部分和为 S n u k，
k 1
n
n
n
cu
故
的部分和为 S n cuk c u k cS n ,
k 1 k 1
n
lim cS n c lim S n lim S n
n n n
从而
四、级数收敛的必要条件：
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛 lim un 0.
证明
s un
n 1
n
则 un sn sn1 ,
lim un lim sn lim sn1 s s 0. n n n
注意
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
n 1 ar 例3. 讨论等比级数 的敛散性. n 1
cu
n 1

n
c u n 同时收敛或同时发散.
n 1

性质2
若

u 与 v 收敛，其和分别为S1和S2，则级
n 1 n n 1 n


数 (u n vn )也收敛,
n 1

且
(u
n 1
n
vn ) u n vn S1 S 2 .
n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn S S n
rn 0. 显然 lim n
m n 1
u

m
二、级数收敛的必要条件
u n 0. 定理：若级数 u n 收敛，则必有 lim n
n 1
证 设 u n S , 则 lim S n S
n 1 n
S n不存在. , 故 lim n
1 例4. 讨论级数 的敛散性. n 1 (2n 1)(2n 1)
1 1 1 1 解： (2n 1)(2n 1) 2 2 n 1 2n 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n 1 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n 1 2n 1
故 lim u n 0, 该级数发散. n
1 例6. 证明调和级数 是发散的. n 1 n
证 调和级数的部分和有：

S1 1，
S 2 S 21 1 1 ， 2
S 4 S 22
2 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 2 2 3 4 2 2
§1 级数的收敛性 §2 正项级数 §3 一般项级数
§1 级数的收敛性
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10

lim u n lim( S n S n 1 )
n n
lim S n lim S n 1
n n
S S 0
例5. 判别 (1)
n 1

n 1
n 的敛散性. n 1
(1) n 1 n 解：由于 lim | u n | lim 1, n n n 1

cosn cos1 cos2 cosn .
n 1

例2. 下列各式均为函数项级数
n 1 n 1 2 n 1 n 1 ( 1 ) x 1 x x ( 1 ) x , x R. n 1
n 2 n a x a a x a x a x , | x | 1. n 0 1 2 n n 0
性质3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，
所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对
收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 u n 的部分和为Sn,去掉级数的前
n 1

面m项后得到的级数 u k 的部分和为S 'k:
k m 1

' Sk um1 um2 umk
k=0, 1, 2,
而
k
lim S 2k
k lim 1 k 2
故 lim S n 不存在，即调和级数发散. n
三、无穷级数的性质
性质1
若c0为常数，则

n 1
un 与 cu n
n 1


有相同的敛散性，
且 cun c u n .

解：等比级数的部分和为：
S n ar k 1
k 1 n
a ar n1 r a(1 r n ) . 1 r 1 r
n
a (1 r ) a , 当公比 | r |<1时， lim S n lim n n 1 r 1 r
a 即S . 1 r
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n n1 例如 ( 1) 发散 2 3 4 n1
2.必要条件不充分.
1 1 1 例如调和级数 1 2 3 n
有 lim un 0, 但级数是否收敛?
n
讨论
n 1 1 1 1 , s2 n sn n1 n 2 2n 2 n 2
lim( S1 n S 2 n ) lim S1 n lim S 2 n S1 S 2 故 lim S n
n n n n
即 级数 (u n vn ) 收敛，且
n 1

(u
n 1

n
vn ) u n vn S1 S 2 .
1 每项均大于 2
2 m项
1 即前m 1项大于( m 1) 级数发散 . 2
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s ,则级数收敛;
2.当lim un 0 ,则级数发散;
a (1 r n ) . 当公比 | r |>1时，lim S n lim n n 1 r
S n lim na 当公比 r =1时， lim n n
a, n为奇数 当公比 r = 1时，Sn= 0, n为偶数 综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
S 8 S 23
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2
3 1 2
由数学归纳法，得
S 2k k 1 ， 2

sin nx sin x sin 2 x sin nx ,
n 1

x R.
2. 级数的敛散性定义 无穷级数 u n 的前n项之和：
n 1
S n u k u1 u 2 u n ,
k 1
n
称为级数的部分和.
S n S 存在，则称级数 u n 若 lim n
n 1


k m 1
性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然
收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题：
(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？
答：不一定发散.
(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也 发散？
答：原级数也发散.
n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ； n 2 4 2 n 1 2

n 1 2 n ;
n 1
n 1 n 1 ( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) ; n 1
n 1
收敛，
un S. S称为级数的和：
n 1

S n 不存在(包括为)，则称级数 若 lim n
u
n 1

n
发散.
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4 第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
1 1 1 2 2n 1
1 1 1 而 lim S n lim 1 n n 2 2n 1 2
1 1 故 (2n 1)(2n 1) 2 ，即该级数收敛. n 1

3. 收敛级数的余项 收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn
n 1 n 1


1 1 例7. 因为等比级数 n 与 n 收敛，所以级数 n 1 2 n 1 3

1 1 2 n 3 n 也收敛. n 1

例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的. 问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？ 答：不一定.
假设调和级数收敛 , 其和为s.
于是 lim( s2 n sn ) s s 0,
n
1 便有 0 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 ( m m m 1 ) 2 1 2 2 2
依次类推
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第 n 次分叉： 周长为 Pn ( 4 )n1 P1 n 1,2, 3 面积为 n 2 1 n 1 An An1 3{4 [( ) A1 ]} 9 1 1 2 1 n 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9
无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义
设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
u
n 1

n
u1 u 2 u n
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数
u
n 1

n
的每一个项un均为常数，则称该
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x) 为函数项