空间向量及其运算-高考复习

1
1
B. a+ b+c
2
2
1 1
D.2a-2b+c
1
1
1 + 1 =c+ 1 1 =c+ (1 1
2
2
1
1
+ 1 1 )=- a+ b+c.
2
2
4.如图,在一个60° 的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面
角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为
5.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表
示.
6.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
7.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
8.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
备考指导
本节内容是在平面向量基础上的推广与扩充,复习时要类比平面向量的相
关概念、定理、公式、运算律等,比较它们之间的异同.本节知识对数学抽
(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;
a·b=b·a(交换律);
a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).
(3)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
表示
数量积
向量表示
a·b
坐标表示
a1b1+a2b2+a3b3
共线
a=λb(b≠0)
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
M,A,B共线,点P不在此直线上,则 =x+y 不成立.
3.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若
=a,=b,1 =c,则下列向量中与相等的向量是( A )
1
1
A.- a+ b+c
2
2
1 1
C.-2a-2b+c
=
量.
4.空间向量的数量积运算
(1)空间两向量的夹角
①夹角的定义:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作=a,=b,
则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>.
π
如果<a,b>= ,那么两向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b.
2
②夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0,π].特别地,当
(3) + 1 .
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点,
∴ = 1 + 1 1 + 1 = 1 +
1
1
=a+c+ =a+c+ b.
2
2
1
+ 1 1
2
(2)∵N 是 BC 的中点,
∴ 1 = 1 +
1
1
1
+ =-a+b+2 =-a+b+2 =-a+b+2c.
象核心素养体现较多,是基础性和工具性的内容,难度不大.重点是理解和
记忆定理、公式等,能准确进行空间向量的运算以及应用空间向量解决平
行、垂直和夹角等问题.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.空间向量的相关概念
(1)定义
(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若 =x+y +z (其中
x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.( × )
(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.( √ )
(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( × )
(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).( × )
=x+y (或对空间一点 O,有 = +x+y ).
推论 2:空间一点 P 位于平面 ABM 内⇔存在有序实数组(x,y,z),对空间任一
点 O,有=x+y+z,其中 x+y+z=1.
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件.( × )
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(2)特殊的空间向量
名称
概念
零向量
模为 0 的向量
单位向量
模为 1 的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
如果表示若干空间向量的有向线
共线(平行) 段所在的直线互相平行或重合,那
向量
么这些向量叫做共线向量或平行
向量
相等向量
λa=0;λa的长度是a的长度的|λ|倍,即|λa|=|λ||a|.
(3)运算律(其中λ,μ∈R)
①交换律:a+b=b+a;
②结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a;
③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.
3.空间向量的基本定理
(1)共线向量定理
①定理:
垂直
a·b=0(a≠0,b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
夹角
<a,b>(a≠0,b≠0)
12 + 22 + 32
cos<a,b>=
1 1 + 2 2 + 3 3
12 + 22 + 32 · 12 +22 +32
推论 1:空间一点 P 位于平面 MAB 内⇔存在有序实数对(x,y),使
空间向量及其运算
课标要求
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐
标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空
间两点间的距离公式.
3.了解空间向量的概念.
4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充
要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实
数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向
2
所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 .
3
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
空间向量的线性运算
例1 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设 1 =a,=b,=c ,
M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2)1 ;
1
1
1
√2
2 1 2 1 2 1 2 1
| | =4a +4b +4c -2a·
b+2b·
c-2c·
a=2,则| |= 2 .
1
1
1
·
2
(4) = 2b+2c, = + =-b+2a,cos< , >=
=-3,
||||
π
因为异面直线所成角的取值范围是 0, 2 ,
3 2
3
3
3
1
= − = −
2
1
1
1
1
=3 + 3 + 3 − 2
1
1
1
=- + + .
6
3
3
能力形成点2
共线定理、共面定理的应用
例2 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用
向量方法证明:
则| |=2√17.
1
=68,
2
5.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别
是AB,AD,CD的中点,计算:
(1) ·;(2) · ;
(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
解 设=a, =b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°.
− 2
(2)因为 = − =
=
所以 EH∥BD.
又 EH⊂平面 EFGH,BD⊄平面 EFGH,
所以 BD∥平面 EFGH.
1

,且
2
E,H,B,D 四点不共线,
解题心得 1.证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明 A,B,C
三点共线可转化为证明, 共线,亦即证明存在 λ,使得=λ (λ≠0).
对点训练1
如图所示,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重
心,用基向量 , , 表示 , .
2
2
解 = + = + = + ( − )
3
3
2 1
1
1
1
= +
( + )- = + + .
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)BD∥平面EFGH.
证明 (1)如图,连接 BG,EG,则 = + =
1
+ 2 (
1
+ (
2
+ )
= +
− )= + − = + ,
由共面向量定理知,E,F,G,H 四点共面.
1

2
1
首尾相连连首
尾
a+b= + =
公共起点对角
线
a-b= − =
共起点,连终
点,指被减
wk.baidu.com
加法
运算
平行四边
形法则
减法 三角形
运算 法则
(2)数乘运算
定义:实数λ与空间向量a的积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.
当λ>0时,λa与向量a方向相同;当λ<0时,λa与向量a方向相反;当λ=0时,
2√17
.
设=a, =c,=d,由已知条件知
|a|=4,|c|=6,|d|=8,<a,c>=90°,<a,d>=90°,<c,d>=60°,
| |2=| + + |2=|-c+a+d|2
2
2
2
=a +c +d -2a·
c+2a·
d-2c·
d=16+36+64-2×6×8×
a=λb=0,而零向量与任一向量共线,λ并不唯一;(2)在必要性中,当a≠0,b=0时,
不存在实数λ,使a=λb.
1
2.推论中与的系数之和为 1.特别地,当 t=2时,P 为线段 AB 的中点,则
1
= 2 ( + ).
(2)共面向量定理
①定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
2.已知x,y∈R,有下列说法:
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
③若=x+y ,则 P,M,A,B 四点共面;
④若点 P,M,A,B 共面,则=x+y .
其中正确说法的个数是( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
①正确.②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb不成立.③正确.④中若点
θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>= 0
或π.
(2)空间两向量的数量积运算
①定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作
a·b.
即a·b=|a||b|cos<a,b>.
特别地,零向量与任意向量的数量积为 0 .
②运算律
(3)∵M 是 AA1 的中点,
1
∴ = + = 2 1 +
1
1
1 1
=-2a+ + + 2 = 2a+2b+c.
1
1
又1 = + 1 = 2 + 1 = 2 + 1
1 1
1
3 1 3
∴ + 1 =( a+ b+c)+(a+ c)= a+ b+ c.
1
1 1
(1) = = c- a,=-a,
2
2 2
1 1
1 2 1
1
· = - ·(-a)= a - a·
c= .
2 2
2 2
4
(2)=b-c,
1
1
1
2
· = (c-a)·
(b-c)= (b·
c-a·
b-c +a·
c)=- .
2
2
4
1
1 1
1 1 1
(3) = + + = 2a+b-a+2c-2b=-2a+2b+2c,
方向相同且模相等的向量
说明
零向量记为 0,
方向是任意的
向量 a 的相反向量记作
-a
向量 a 与 b 平行,
记作 a∥b;
规定:零向量与任意向量
平行,即 0∥a
在空间,同向且等长的有
向线段表示同一向量或
相等向量
2.空间向量的线性运算
(1)加法与减法运算
运算 法则
三角形
法则
图形
符号表示
记忆口诀
a+b= + =
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
②推论:点 P 在直线 AB 上的充要条件是存在实数 t,使 = +t (O 为
空间任意一点),或对空间任意一点 O,有=t+ (1-t) .
温馨提示1.定理中规定b≠0,这是因为:(1)在充分性中,当b=0,λ≠0时,也有
2 2
2
2 2 2
=
1
c+a,
2
解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的
向量,这是用向量解决立体几何问题的基本方法.解题时应结合已知和所求
观察图形,灵活运用相关的运算法则和公式来表示所需向量.
2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某
一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.