全国初中数学竞赛试题及答案(1993年)

1993年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是

(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:

Ⅰ.y 没有最小值;

Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.

其中正确的是

(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ

4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.

;;;;52154154

354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x

其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是

(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;

(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.

5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解

(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于5

6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,

则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)2

2 (C)2

3 (D)21-. 答( )

7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别

为m , n , p ,那么m :n :p 等于 (A)c

b a 1:1:1; (B)

c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .

答( ) 8.13333)9

19294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+

答( )

二.填空题

1.当x 变化时,分式1

5632212++++x x x x 的最小值是___________.

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点

等距排列,则k =____________.

4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC

分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.

第二试

一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底

边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.

二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点

D ,

E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线

段DE 的最小长度.

三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21

,x x '',且,021>x x 021

>''x x . (1)求证:;0,0,0,021

21<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ;

(3)求c b ,所有可能的值.