【优化方案】第一课时一元二次不等式及其解法[精选文档]

解：(1)因为 Δ＝72－4×2×4＝17>0，所以方
程 2x2 ＋ 7x＋ 4＝ 0 有 两 个 实 数 根 ： x1 ＝ －7－ 17，
4
x2
－ ＝
7＋ 4
17.画出二次 函数
y＝2x2＋7x＋4 的图象如图 1 所示，由图象得
原不等式的解集为
－ x|x>
7＋ 4
17或
－ 7－ x< 4
17
(2)原不等式可化为 x2＋2x－3<0.
法一：由方程 x2＋2x－3＝0 的判别式
Δ＝ 22－ 4×(－ 3)＝ 16，
得方程两根分别为 x1＝－3，x2＝1. ∴原不等式的解集 为{x|－ 3<x<1}．
法二：不等式 x2＋2x－3<0 可化为(x＋3)(x－1)<0.
∴x＋ 3>0 x－ 1<0
，
a<0
解得 a<－2－ 3或－2＋ 3<a<0.
故当 f(x)的最大值是正数时，实数 a 的取值
范围是(－∞，－2－ 3)∪(－2＋ 3，0)．
【点评】 一元二次方程、一元二次不等 式、二次函数的关系一直是高考的重点， 并且年年考查，常考常新．解决这类问题， 要以函数观点作指导，用函数图象来沟 通． 自我挑战3 如果不等式ax2＋bx＋c<0的解 集是{x|x<m或x>n}(m<n<0)，求关于x的不 等式cx2－bx＋a>0的解集．
由图可知 y＝x2－8x＋15的图象在 x轴上方(即函数
值大于零)的点的横坐标的取值范围是 x<3 或 x>5.
故原不等式的解集为{x|x<3 或 x>5}．
法三：原不等式可化为(x－3)(x－5)>0，
即x－5>0 x－3>0
或x－5<0 x－3<0
，解得 x<3 或 x>5.
故原不等式的解集为{x|x<3 或 x>5}．
∴不等式解集为－m1 ，－1n.
数轴标根法解高次或分式不等式
例4 解不等式2x3－x2－15x＞0. 【分析】 将原不等式因式分解，再用 “穿根法”．
【解】 原不等式可化为 x(2x＋5)(x－3)＞0. 把方程 x(2x＋5)(x－3)＝0 的三个根 x1＝0， x2＝－52，x3＝3 顺次标在数轴上，然后从右 上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如 图阴影部分．
知新益能
1．一元二次不等式 把含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的 整式不等式，称为一元二次不等式．
思考感悟 不等式mx2＋x＋1＜0(m为常数)是一元二次 不等式吗？ 提示：当m＝0时为一无一次不等式；当 m≠0时为一元二次不等式．
2．一元二次方程，二次函数和一元二次不等式 的关系
Δ＝b2－ 4ac
线，所以不等式的解集为{x|x<－1或 x>1}． 2
(4)因为 Δ＝0，方程 9x2－6x＋1＝0 有两个相等 的实数根：x1＝x2＝13.函数 y＝9x2－6x＋1 的图
象是开口向上的抛物线(如图 4)，与 x 轴仅有一 个交点(13，0)．由图象可得不等式的解集为{x|x ∈R 且 x≠13}． (5)因为 Δ＝16－32＝－16<0，所以方程 x2－4x ＋8＝0 无实数根，函数 y＝x2－4x＋8 的图象是
x＋1 的图象是开口向下的抛物线(如图 3)， 与 x 轴交于点(－12，0)和(1,0)．观察图象得不 等式的解集为{x|x<－12或 x>1}． 法二：不等式两边同乘以－1，可得 2x2－x
－ 1>0.
方程
2x2－ x－ 1＝0
的解为
x1＝
－1， 2
x2＝
1，
函数 y＝2x2－x－1 的图象是开口向上的抛物
(2)可先化成 ax2＋bx＋c>0(a>0)的形式再求解．
【解】 (1)法一：由方程 x2－8x＋15＝0 的判别式 Δ＝ (－ 8)2－ 4× 15＝ 4>0， 得方程两根分别为 x1＝3，x2＝5. ∴原不等式的解集是{x|x<3 或 x>5}． 法二：
作函数 y＝x2－8x＋15 的图象，如图所示．
【解】 (1)∵f(x)＋2x>0 的解集为(1,3)， 设 f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)且 a<0， ∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x ＝ ax2－(2＋ 4a)x＋ 3a.① 由方程 f(x)＋6a＝0 得 ax2－(2＋4a)x＋9a＝ 0.② ∵方程②有两个相等的根， ∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0. 即 5a2－4a－1＝0.解得 a＝1 或 a＝－1.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)的图
象
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
ax2＋bx＋c ＝0 (a>0)的
根
有两个不相等 的实数根(x1<x2)
有两个相等的 实数根(x1＝x2)
ax2＋bx＋
c>0 (a>0)的 解集
{x|x>x2或x<x1}
__{_x_|x_≠___x_1_}___
(2)原不等式移项整理，得 3x2＋ 5x－ 2>0. 因为 Δ＝49>0，所以方程 3x2＋5x－2＝0 有 两个实数根，即 x1＝－2，x2＝13. 画出函数 y＝3x2＋5x－2 的图象如图 2 所示， 由图象得原不等式的解集为
{x|x<－2 或 x>13}．
(3)法一：因为 Δ＝9>0，方程－2x2＋x＋1＝0 的两个根为 x1＝－12，x2＝1.函数 y＝－2x2＋
温故ຫໍສະໝຸດ Baidu基
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点即相应 一元二次方程__a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0______的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时， 开口__向__上_____，a＜0时，开口___向__下____，若 b2－4ac＞0，则与x轴有___两__个____交点；若b2－ 4ac＝0，则与x轴有_一__个____交点；若b2－4ac＜ 0，与x轴__无______交点．
学习目标
1.通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、二次方程的联系． 2．会解一元二次不等式，对给定的一元二 次不等式，会设计求解的程序框图． 3．重点是解一元二次不等式． 4．难点是设计求解一元二次不等式的程序 框图．
第一课时
课前自主学案
第
一
课
时
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
5
由于 a<0，舍去 a＝1，将 a＝－15代入①，
得 f(x)的解析式 f(x)＝－1x2－6x－3. 5 55
(2)由 f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a
＝
a(x－1＋a
2a)2－a2＋
4a＋ a
1 .
又
a<0，可得
f(x)的最大
值为－a2＋
4a＋ a
1 .
－a2＋ 由
4a＋ a
1 >0
或x＋ 3<0 x－ 1>0
，解得－3<x<1 或 x∈∅.
∴原不等式的解集 为{x|－ 3<x<1}．
【点评】 首先判断判别式的符号，求根，
然后根据不等号的方向及首项系数的符号写
出解集，这是解一元二次不等式的基本方法， 应当熟练掌握．
自我挑战1 解下列一元二次不等式： (1)2x2＋7x＋4>0； (2)3x2＋2x>2－3x； (3)－2x2＋x＋1<0； (4)9x2－6x＋1>0； (5)x2－4x＋8<0.
解 ： ∵ ax2 ＋ bx ＋ c<0 的 解 集 是 {x|x<m 或
x>n}(m<n<0)，∴a<0 且有 m＋n＝－ba<0，m·n＝ca>0.
∴c<0.
又∵－m1 ＋－1n＝bc，－m1 ·－1n＝ac.
∴－ 1 、－1是 mn
cx2－ bx＋ a＝0
的两根．
又∵m <n<0，
∴－m1 <－1n，
∴原不等式的解集为{x|－52＜x＜0 或 x＞3}．
【点评】 用“穿根法”解不等式时应注意： ①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇 次重根，注意“奇穿偶不穿”的原则． 自我挑战4 解不等式：x(x－1)2(x＋1)3(x＋ 2)≥0.
∴不等式的解集为{x|x＞1α或 x＜1β}
【点评】 在解不等式时要注意数形结合，特别 是一元二次不等式与二次函数图象和一元二次方 程之间的关系． 自我挑战2 设a∈R，若关于x的一元二次方程 7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两个实数根x1，x2， 且0<x1<1<x2<2，求a的取值范围．
开口向上的抛物线，与 x 轴无交点，所以不等
式的解集为∅.
一元二次不等式与相应一元二次方程 的关系 例2 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，
且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
【分析】 由条件知a＜0，α、β为方程ax2＋bx＋
c＝0的两个根，利用根与系数的关系找出a、b、c
解：设 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2. ∵x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两根，且 0<x1<1<x2<2，
f 0 >0， ∴f 1 <0，
f 2 >0，
a2－a－2>0， ∴7－ a＋ 13＋ a2－ a－ 2<0，
28－ 2 a＋ 13＋ a2－ a－ 2>0，
a2－a－2>0， 即a2－ 2a－ 8<0，
ax2＋bx＋
c<0 (a>0)的 解集
_{_x_|x__1<__x_<_x_2_}__
________
∅
Δ<0
_无__实___数__根_____
R
∅
3.ax2 ＋ bx ＋ c>0(a≠0) 恒 成 立 的 条 件
a>0
_Δ__<_0__
.
4 ． ax2 ＋ bx ＋ c<0(a≠0) 恒 成 立 的 条 件
与α、β的关系，再利用此关系解不等式．
【解】 由 ax2＋bx＋c＞0 的解集为(α，β)，知 a＜0， α，β 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， ∴α＋β＝－ba，αβ＝ca， ∴b＝－a(α＋β)，c＝aαβ， ∴不等式变为 aαβx2－a(α＋β)x＋a＜0， 又∵ a＜ 0，∴ αβx2－ (α＋ β)x＋ 1＞ 0， 变形式(αx－1)(βx－1)＞0 ∵0＜α＜β，∴1α＞1β.
a2－3a>0，
解得－2<a<－1 或 3<a<4.
∴a 的取值范围是{a|－2<a<－1 或 3<a<4}．
例3 已知二次函数f(x)的二次项系数为a, 不 等式f(x)>－2x的解集为(1,3)． (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x) 的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围． 【分析】 f(x)>－2x的解集为(1,3)，即f(x)＝ －2x的两根一根为1，一根为3，方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的根，则Δ＝0.
a<0
.
_Δ__<_0_
课堂互动讲练
不含参数的一元二次不等式的解法 例1 解不等式：(1)x2－8x＋15>0； (2)－x2－2x>－3.
【分析】 由题目可获取以下主要信息： (1)是标准的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的 求解问题；(2)不是标准形式． 解答本题(1)可根据二次函数、二次方程和二次不等 式的关系求解，也可以利用二次函数图象求解，还 可以对不等式左边进行因式分解，转化为一元一次 不等式组求解；