数学建模实验答案-概率模型

数学建模实验答案-概率模型
实验10 概率模型（2学时）
（第9章 概率模型）
1.（验证）报童的诀窍p302~304, 323（习题2）
关于每天报纸购进量的优化模型：
已知b 为每份报纸的购进价，a 为零售价，c 为退回价（a > b > c ），每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r )(r =0,1,2,…)。

求每天购进量n 份，使日平均收入，即
1
()[()()()]()()()n
r r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞
==+=----+
-∑∑
达到最大。

视r 为连续变量，f (r )转化为概率密度函数p (r )，则所求n *满足
*
()n a b
p r dr a c
-=
-⎰
已知b =, a =1, c =，r 服从均值μ=500（份），均方差σ=50（份）的正态分布。

报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少
[提示：normpdf, normcdf]
要求：
(1) 在同一图形窗口内绘制10
()()n
y n p r dr =⎰和2()a b
y n a c
-=
-的图形，观察其交点。

[提示] 22
()2()r p r μσ--
=
，0
()()()n n
p r dr p r dr p r dr -∞
-∞
=-⎰⎰
⎰
☆(1) 运行程序并给出结果：
(2) 求方程0()n
a b
p r dr a c
-=
-⎰的根n *（四舍五入取整），并求G (n *)。

mu=500;sigma=50;
a=1; b=; c=;
r=n+1;
while (a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)>1e-6
r=r+1;
end
r=n+1:r;
G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma));
r=0:n;
G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma))
☆(2) 运行程序并给出结果：
2.（编程）轧钢中的浪费p307~310
设要轧制长l=的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。

平均每得到一根成品材所需钢材的长度为
()
()
m
J m
P m
=
其中，
2
2
()
2
()(), ()
2
x m
l
P m p x dx p xσ
πσ
-
-
∞
==
⎰
求m使J(m)达到最小。

等价于求方程
()
()
z
z
z
λ
ϕ
Φ
=-
的根z*。

其中：
()z Φ是标准正态变量的分布函数，即 ()()z
z y dy ϕ∞
Φ=⎰
()z ϕ是标准正态变量的概率密度函数，即
22
()z z ϕ-
=
*
,,*z l m m
l
z σσ
μσ
λμλ-=⇒=
=
-=
(1) 绘制J (m )的图形（l =2, σ=），观察其最小值的位置。

★(1) 给出程序和运行结果：
(2) 求使J (m )达到最小值的m *。

由(1)可观察到J(m)达到最小值的区间。

分别用求无约束最小值的MATLAB 函数fminbnd, fminsearch, fminunc 求解，并比较结果。

★(2) 给出程序及运行结果（比较[310]）：
(3) 在同一图形窗口内绘制1()
()()
z y z z ϕΦ=和2()y z z λ=-的图形，观察它们的交点。

（参考题1的(1)）
★(3) 给出程序及运行结果（比较[309]图2）：
z=-2::2;
y1=(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1); l=2; sigma=;
(4)求方程
()
()
z
z
z
λ
ϕ
Φ
=-的根z*，并求m=l-σz*。

（参考题1的(2)）
提示：由(3)得到的图形可观察到z*的大概位置。

★(4) 给出程序及运行结果（比较[310]）：
3.（验证）航空公司的预订票策略p313~316
模型如下：
给定λ, n , p , b /g ，求m 使单位费用获得的平均利润J (m ) 最大。

∑--=---+-=1
1])()/1([1
)(n m k k p n k m g b qm n m J λ
约束条件为 1
()(01)m n j j k k P m p α
α---==
≤<<∑
其中：
m 预订票数量的限额。

λ( < 1 ) 利润调节因子。

n 飞机容量。

p 每位乘客不按时前来登机的概率，q = 1 – p 。

b 每位被挤掉者获得的赔偿金。

g 机票价格。

b /g 赔偿金占机票价格的比例。

不按时前来登机的乘客数K 服从二项分布，其概率为
p q p q p C k K P p k m k k
m k -=≤≤===-1,10,)(
被挤掉的乘客数超过j 人的概率为
∑---==
1
)(j n m k k
j p
m P
（等价于m 位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m – n – j – 1
人）
该模型无法解析地求解，我们设定几组数据，用程序作数值计算。

[提示：binopdf, binocdf]
要求：
(1)已知n=300，λ=，p=，b/g=和，取一组值m=300:2:330，求出对应的
y=1/(lambda*n) *(q*m-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p)))-1;
☆(1) 运行程序并给出结果（比较[315]表1(n=300)）：
(2)对(1)中改变p=和m=300:2:344，求对应的结果。

(3)对(1)中改变n=150和m=150:2:170，求对应结果。

（与教材时的计算结果比较。

）
(4)对(1)中改变n=150、m=150:2:176和p=，求对应结果。

注意！结果与教材相差较大，原因待查。

4.（编程）航空公司的预订票策略（改进）p316~317 已知:
第2类乘客（t 人）都按时前来登机。

第1类乘客（m – t 人）不按时前来登机的乘客数K 服从二项分布，其概率为
p q p q p C k K P p k t m k k t m k -=≤≤===---1,10,)(
被挤掉的第1类乘客数超过j 人的概率为
∑---==1
0)(j n m k k j p
m P （等价于预订的第1类乘客中不按时前来登机的不超
过( m – t ) – ( n – t ) – j – 1人）
单位费用获得的平均利润为
∑--=---+------=101])()/1()1([])1([1)(n m k k p n k m g b t p qm t n m J ββλ
要求：
已知n=300, λ=, p=, b/g=, β=，t=100，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)。

参考实验的程序，编写解决本问题的程序。

★ 给出编写的程序和运行结果：
% 航空公司的预订票策略（改进）
function main()
clear; clc; format short g;
n=300; m=(300:2:330)'; p=; %修改的参数
lambda=; % λ值
b_g=;
t=100; beta=;
J1=zeros(size(m));
for i=1:length(m)
J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g,t,beta);
end
P5=binocdf(m-n-5-1,m-t,p); %二项分布
P10=binocdf(m-n-10-1,m-t,p);
round(10000*[m,J1,P5,P10])/10000 %显示结果
function y=J(m,n,lambda,p,b_g,t,beta) %均是标量q=1-p; k=0:m-n-1;
y=1/(lambda*(n-(1-beta)*t))...
*(q*m-(1-beta-p)*t-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m-t,p)))-1;
附1：实验提示
附2：第9章概率模型[302] 报童的诀窍
[304]****本节完****
[307] 轧钢中的浪费
[309] 题2(3)答案
[310] 题2(2)(4)答案****本节完****
[313] 航空公司的预订票策略
[317]****本节完****。