2024年中考数学复习专题课件—几何最值问题

6．(2022·娄底)如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝45°，点 P，Q 分 别是 BC，BD 上的动点，CQ＋PQ 的最小值为 2 .
【解析】由题易知点 P 关于直线 BD 的对称点在 AB 上，过 C 作 CP′⊥AB， 则 CP′≤CQ＋QP′＝CQ＋PQ.在 Rt△BCP′中，BC＝2，∠ABC＝45°.∴ CP′＝ 2.故 CQ＋PQ 的最小值为 2.
33
93
＝ 2 .当点 P 运动到 F 处时，OP 最小，此时，AF＝AE＋EF＝ 2 .AO＝2OE
＝23AE＝2 3.∴OF＝AF－AO＝5 2 3.故 OP＝5 2 3.
3．如图，已知在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点 E 为边 AC 上的动点，点 F 为边 AB 上的动点，则线段 FE＋EB 的最小值是（ B ）
53 5 A. 2 B.2 C. 5 D. 3
【解析】作△ABC 关于 AC 对称的△ADC，连接 DE.由对称易得 EB＝ED.∴ FE＋EB＝FE＋ED.过点 D 作 DH⊥AB 于 H，FE＋ED 的最小值为 DH 的长．在
115 Rt△ADH 中，∠DAH＝2∠CAB＝30°，∴DH＝2AD＝2AB＝2.故选 B.
（B ）
A．4 B．2 10
C．4 3 D．2 15
【解析】延长 CO 交⊙O 于点 E，连接 ED，易证 CD 是△OAB 的中位线，PC 1
D．四边形 ABCD 面积的最小值为 3 3
【解析】延长 AD，BC 交于点 M，证四边形 DECM 是平行四边形，∴MP＝PE. ∵E 在 AB 上运动，∴P 在△MAB 的中位线上运动．作点 A 关于中位线的对 称点 A′，连接 A′B，则 PA＋PB 的最小值为 A′B 的长．在 Rt△A′AB 中，AA′是△MAB 的高，由勾股定理即可得 A 选项．PE＋PF＝MP＋PF，当 M，P，F 三点共线，即 MF 为△MAB 的高时，即可得 PE＋PF 最小．作 DK ⊥AB 于 K，作 CT⊥AB 于 T，KE＝12AE，TE＝12BE，∴CD 的最小值为 DK 与 CT 的距离，即 CD 最小为12AB＝2.又∵DE＋CE＝AE＋BE＝4.可求得△CDE
5.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P 为 AB 边上不与 A， B 重合的一动点，过点 P 分别作 PE⊥AC 于点 E，PF⊥BC 于点 F，则线段 EF 的最小值是 22.4.4 .
【解析】连接 CP，易证四边形 CEPF 是矩形，则 EF＝CP，当 CP⊥AB 时， CP 最小．由勾股定理得 AB＝5，由等积法可得 CP＝ACA·BBC＝2.4.故 EF 最 小值为 2.4.
15．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，AE＝2DF＝2，点 G，H 分别在
CD，BC 边上，则四边形 EFGH 周长的最小值为
（D ）
A．5 5
B．2 5＋6
C．2 5＋8
D．2 5＋10
【解析】∵E，F 为定点，∴作 E 点关于直线 BC 的对称点 M，作 F 点关于 直线 DC 的对称点 N，连接 MN，则 MN 的长为 FG＋GH＋HE 的最小值．在 Rt △AMN 中，AM＝8，AN＝6，∴MN＝10.在 Rt△AEF 中，AE＝2，AF＝4，∴ EF＝2 5.∴四边形 EFGH 的最小值为 10＋2 5.故选 D.
7．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，点 D，E 分别在边 AC， AB 上，AD＝14，P 是边 BC 上一动点，当 PD＋PE 的值最小时，AE＝15， 则 BE 的长为 2299 .
【解析】作 D 关于 BC 的对称点 D′.当 D′E⊥AB 时，PD＋PE 的值最小．∵ ∠A＝90°－∠B＝60°，AE＝15，∴AD′＝30，DD′＝16，∴CD＝8，∴ AC＝22，∴AB＝44，∴BE＝29.
8．如图，点 E，F 分别是正方形的边 AB，AD 上的动点，O 为对角线的交 点，连接 OE，OF，若 OE⊥OF，AB＝4，则 EF 长的最小值为 22 2 .
【解析】易证△OEF 为等腰直角三角形，∴EF＝ 2OE，当 OE⊥AB 时，OE 1
最小，此时 EF 最小．OE＝2AB＝2.故 EF 最小为 2 2.
（A ）
【解析】∵四边形 PAQC 为平行四边形，当 PQ⊥BC 时，PQ 最短，为两平
行线的距离．过 A 作 AD⊥BC.则 AD＝PQ，在 Rt△ABC 中，AC＝ BC2－AB2＝
4，由等积法可得 AD＝ABB·CAC＝152.故 PQ＝152.
2．(2022·安徽)已知点 O 是边长为 6 的等边三角形 ABC 的中心，点 P 在
4．(2023·包河区校级期中)如图，在△ACB 中，∠A＝15°，AB＝2，P
为 AC 边上的一个动点(不与 A，C 重合)，连接 BP，则 22AP＋PB 的最小值
是
（A ）
A. 3
B．3
C．1
D. 2
2 【解析】以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰直角三角形 ADP，则 AD＝DP＝ 2
则线段 CP 长的最小值为
（B ）
A.32
B．2
C.8
13 13
D.121313
【解析】∵∠PAB＝∠PBC，∠PBC＋∠PBA＝90°，∴∠PAB＋∠PBA＝90
°，即∠P＝90°，∴点 P 在以 AB 为直径的圆上．取 AB 的中点 O，连接
OC.当 O，P，C 三点共线时，CP＋OP 最小，OP 为定值，则 CP 最小．在 Rt
2024年中考数学复习专题课件★★ 几何最值问题
类型一：垂线段最短求最值
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点 P 为 BC 边上 任意一点，连接 PA，以 PA，PC 为邻边作平行四边形 PAQC，连接 PQ，
则 PQ 长度的最小值为 A.152 B．2.5 C．3 D．4
的最大值为
（C ）
A．1 B. 2 C．2 D．3
【解析】作 N 点关于 BD 的对称点 N′，连接 MN′并延长交 BD 于点 P，过 点 M 作 MG⊥AC 交于点 G，∵NP＝N′P，∴MP－NP＝MP－N′P≤MN′，当 M，N，P 三点共线时，MP－NP 的值最大，在△MCN′中，∠N′CM＝45°， ∴CN′＝AN＝2 2，CM＝2，∴MN′＝2，∴MP－NP 的值最大为 2.
l 到直线 AB 的距离 h＝2.作 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B.在 Rt
△A′AB 中，∴A′B＝ 42＋52＝ 41.故 PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B.故选
D.
12．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝8，AC 与 BD 交于点 O，点 N 是 AO 的
中点，点 M 在 BC 边上，且 BM＝6，点 P 为对角线 BD 上一点，则 PM－PN
14．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝ 3，
点 M，N 分别是 AB，AD 上的动点，则△CMN 周长的最小值为
（B ）
A．4 3 B．2 3
C．2
D．4
【解析】连接 AC，易证△BAC≌△DAC.由∠A＝60°，可得△ABC 为含 30 AB
°角的直角三角形，∴AC＝cos30°＝2.作点 C 关于 AB 的对称点 E，作点 C 关于 AD 的对称点 F，连接 EF，则 CM＋MN＋CN＝EM＋MN＋FN≥EF.即 EF 的长为△CMN 周长的最小值．连接 AE，AF.则 AE＝AF＝AC＝2，∠EAF＝120 °，∴EF＝2AE·cos30°＝2 3.故选 B.
的周长的最小值．设 AE＝2x，则 BE＝4－2x，AK＝x，DK＝ 3x，BT＝2 －x，CT＝ 3(2－x)．∴S＝S△ADK＋S△BCT＋S ＝ 梯形 CDKT 3(x－1)2＋3 3.即可 得面积最小．
17．(2023·绥化)如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 E 为高 BD 上的动点．连接 CE，将 CE 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 CF.连接 AF，EF， DF，则△CDF 周长的最小值是 33＋33 3 .
16．(2023·安徽)如图，E 是线段 AB 上一点，△ADE 和△BCE 是位于直线
Байду номын сангаас
AB 同侧的两个等边三角形，点 P，F 分别是 CD，AB 的中点．若 AB＝4，
则下列结论中错误的是
（A ）
A．PA＋PB 的最小值为 3 3
B．PE＋PF 的最小值为 2 3
C．△CDE 周长的最小值为 6
教学总结：
类型二：两点之间线段最短求最值
10．如图，在 Rt△ABC 中，AC＝5，∠ACB＝90°，点 M 是 AC 边上一点，
且 AM＝2，CD 平分∠ACB 交 AB 边于点 D，点 P 是 CD 上一动点，则 PM＋PA
的最小值为
（C ）
A．5 2 B. 29
C. 34 D．2 17
【解析】作点 M 关于 CD 的对称点 M′.∴PM＋PA＝PM′＋PA，当 A、P、M ′共线时，PM＋PA 最小，即为 AM′的长．在 Rt△ACM′中，AC＝5，CM ′＝CM＝5－2＝3.由勾股定理得 AM′＝ AC2＋CM′2＝ 34.故选 C.
△ABC 外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA 的面积分别记为 S0，S1，S2，S3，
若 S1＋S2＋S3＝2S0，则线段 OP 长的最小值是
（B ）
A.3 2 3
B.5 2 3
C．3 3
D.7 2 3
【解析】如图，∵S1＋S2＋S3＝2S0，∴S△ABC＋S△PBC＋S△PBC＝2S△ABC，∴2S△PBC ＝S△ABC，∴A 到 BC 的距离是 P 到 BC 的距离的 2 倍．∴P 在直线 l 上且 l ∥BC.延长 AO 交 BC 于 E，交直线 l 于 F.∵AB＝6，∴AE＝3 3.∴EF＝12AE
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，CD⊥AB 于 D，E 为 BC 中点，F 为 CD 上一动点，P 为 AF 中点，连接 PE，则 PE 的最小值是 2 .
【解析】取 AD 的中点 M，AC 的中点 N，连接 MN，点 P 在△ACD 的中位线 MN 上运动.
【教学反思】 教学启发：
11．(2017·安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，动点 P 满足 S 1
△PAB＝3S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA＋PB 的最小值为 （ D ） A. 29 B. 34 C．5 2 D. 41
1
1
【解析】过点 P 作直线 l∥AB.∵3S 矩形 ABCD＝5.∴S△PAB＝2AB·h＝5，∴直线
1
1
△OBC 中，OB＝2AB＝3，BC＝4，∴OC＝5.∵OP＝2AB＝3，∴CP＝2.故选
B.
19．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点 O 为圆心，
3 为半径的⊙O 与 OB 交于点 C，过点 C 作 CD⊥OB 交 AB 于点 D，P 是边 OA
上的动点，则 PC＋PD 的最小值为
13．如图，在△ABC 中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线 m 是△ABC 中 BC 边 的垂直平分线，P 是直线 m 上的一动点，则△APC 周长的最小值为（ A ）
A．10 B．11 C．11.5 D．13 【解析】连接 BP，易证 BP＝CP.∴C△APC＝AC＋AP＋PC＝AC＋AP＋PB≥AC ＋AB＝4＋6＝10.故选 A.
2
2
AP，∴ 2 AP＋PB＝DP＋PB，∴当 D，P，B 在一条直线上时， 2 AP＋PB 取
得最小值．∵△ADP 是等腰直角三角形，∴∠DAP＝45°.∵∠BAC＝15°，
∴∠DAB＝60°.在 Rt△ABD 中，∵sin∠BAD＝BADB，∴BD＝AB·sin60°＝
3
2
2× 2 ＝ 3.∴ 2 AP＋PB 的最小值为 3.
【解析】作点 C 关于直线 AF 的对称点 H，当点 H 在 BD 的延长线上时，△ CDF 周长最小.
【教学反思】 教学启发：
教学总结：
类型三：与圆有关的最值
18．(2016·安徽)如图，在 Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，