人教数学九年级上册21.2.4：一元二次方程的根与系数关系 教学设计

《一元二次方程的根与系数关系》教学设计
教材分析
学生已经学习了完一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课进一步的学习，使学生了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．
教学目标
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
教学重难点
重点：一元二次方程根与系数的关系及其应用.
难点：探索一元二次方程根与系数的关系.
课前准备
多媒体课件
教学过程
问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？
（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？
（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？
（4）一元二次方程的求根公式是什么？
[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．
[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；
（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；
（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；
（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
a ac
b
b
x
2
4 2-
±
-
=（△≥0）. 【设计意图】通过复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。

问题2：请完成下面的表格
观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？
【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。

问题3：（1）填写上表后思考：
①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？
已知方程x 2
-4x-7=0的根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= ; 已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= .
已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= . [答案]4，-7；-3，-5；
2
3
，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？ [回答]若方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .
③如何证明以上发现的规律呢？
[论证结论]教师与学生共同整理证明过程： 证明：当Δ>0时，由求根公式得
x 1＝－b ＋b 2
－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2
－4ac
2a
，
所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2
－4ac 2a ＋－b －b 2
－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－b
a ，
x 1x 2＝－b ＋b 2
－4ac 2a ·－b －b 2
－4ac 2a ＝（－b ）2
－（b 2
－4ac ）4a 2
＝c
a ； 当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b
2a .
所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a
.
[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则
x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a
.
[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.
问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．
(1)x 2
－6x －15＝0；(2)3x 2
＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2
. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．
[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2
－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．
[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15； （2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=3
9
-； （3）方程化为4x 2
-5x+1=0，
∴x 1+x 2=
45，x 1·x 2=4
1. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2
－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )
A ．－4
B ．－1
C ．1
D ．4
变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2
－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值． [解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1， ∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.
【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。

问题5：例2 已知方程x 2
-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c 的值.
[分析]设方程的另一根为x 1，可通过求两根之和求出x 1的值；再用两根之积求c ，也可将x=3代入方程求出c 值.再利用根与系数关系求x 1值.
[解]设方程另一根为x 1， 由x 1+3=1,∴x 1=-2. 又x 1·3=-2×3=c,
∴c=-6.
例3已知方程x 2
-5x-7=0的两根分别为x 1,x 2，求下列式子的值： （1）x 12
+x 22
; （2）
12
21
x x x x + . [分析]将所求代数式分别化为只含有x 1+x 2和x 1·x 2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.
[解]∵方程x 2
-5x-7=0的两根为x 1,x 2, ∴x 1+x 2=5,x 1·x 2=-7.
(1)x 12
+x 22
=(x 1+x 2)2
-2x 1·x 2=52
-2×(-7)=25+14=39;
(2) 1221x x x x +=221212397
x x x x =-+ 【设计意图】例2侧重于逆用根与系数关系，应注意引导学生进行正确思考；而例3侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，这里将代数式转化为只含有x 1+x 2及x 1·x 2的式子是解决问题的关键，应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究，独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索过程中的成绩和问题也给予评析，进行反思。

问题6：例4已知x 1，x 2是方程x 2
-6x+k=0的两个实数根，且x 12
·x 22
-x 1-x 2=115，
（1）求k 的取值；（2）求x 12
+x 22
-8的值.
[分析]将x 1+x 2=6，x 1·x 2=k ，代入x 12
·x 22
-x1-x2=115可求出k 值.此时需用Δ=b 2
-4ac 来判断k 的取值，这是本例的关键.
[解]（1）由题意有x 1+x 2=6,x 1·x 2=k. ∴x 12
·x 22
-x 1-x 2=(x 1·x 2)2
-(x 1+x 2)=k 2-6=115, ∴k=11或k=-11.
又∵方程x 2
-6x+k=0有实数解， ∴Δ=(-6)2-4k ≥0, ∴k ≤9.
∴k=11不合题意应舍去， 故k 的值为-11;
(2)由(1)知，x 1+x 2=6,x 1·x 2=-11,
∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.
【设计意图】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调。

问题6 . 1课堂总结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
2．布置作业：教材第17页习题21.2第7题．
3.知识结构图：。