2023届广州市高三年级调研测试数学试题及答案

2023届广州市高三年级调研测试
数
学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A =y ∣y =x 2 ,B =x ∣y =ln 2-x ，则A ∩B =(
)A.0,+∞
B.0,2
C.0,2
D.-∞,2 2.复数z =i 1+2i
的共轭复数在复平面内所对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限3.已知p :(x +2)(x -3)<0,q :|x -1|<2，则p 是q 的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件4.红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积S =2πRh .如图1，已知该灯笼的高为58cm ，圆柱的高为5cm ，圆柱的底面圆直径为14cm ，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为()
A.1940πcm 2
B.2350πcm 2
C.2400πcm 2
D.2540πcm 25.若α,β∈π2,π
，且1-cos2α 1+sin β =sin2αcos β，则下列结论正确的是()A.2α+β=5π2 B.2α-β=3π4 C.α+β=7π4 D.α-β=π2
6.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(
)A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75
7.已知函数f x 的定义域为R ，且f x +1 +f x -1 =2,f x +2 为偶函数，若f 0 =2，则115k =1f (k )=(
)
A.116
B.115
C.114
D.113
8.双曲线C :x 2-y 2=4的左，右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ,B 两点，△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，则△O 1O 2O 3的面积是(
)A.62-8 B.62-4 C.8-42 D.6-42
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知A ,B 分别为随机事件A ,B 的对立事件，P A >0,P B >0，则下列结论正确的是(
)A.P A +P A =1 B.P A ∣B +P A ∣B =1
C.若A ,B 互斥，则P AB =P A P B
D.若A ,B 独立，则P A ∣B =P A
10.已知f x 是f x 的导函数，f x =a sin x -b cos x ab ≠0 ，则下列结论正确的是(
)A.将f x 图象上所有的点向右平移
π2个单位长度可得f x 的图象B.f x 与f x 的图象关于直线x =3π4
对称C.f x +f x 与f x -f x 有相同的最大值
D.当a =b 时，f x +f x 与f x -f x 都在区间0,π2 上单调递增11.在矩形ABCD 中，AB =2,BC =3，将△ADC 沿对角线AC 进行翻折，点D 翻折至点D ，连接D B ，得到三棱锥D -ABC ，则在翻折过程中，下列结论正确的是(
)A.三棱锥D -ABC 的外接球表面积不变
B.三棱锥D -ABC 的体积最大值为
22C.异面直线AD 与BC 所成的角可能是90°
D.直线AD 与平面ABC 所成角不可能是60°12.已知a >0，b >0，abe a +ln b -1=0，则(
)A.ln b >1a B.e a >1b C.a +ln b <1 D.ab <1三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知a +x (1+x )5的展开式中x 4的系数是20，则实数a =
.14.已知向量a =-2,λ ,b =1,1 ，且a ⊥b ，则λ=
，a -b 在b 方向上的投影向量的坐标为.15.若过点0,b (b >0)只可以作曲线y =x e x
的一条切线，则b 的取值范围是.16.如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为4和2，球心距离O 1O 2 =210，截面分别与球O 1，球O 2相切于点E ,F (E ,F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列a n
的前n项和为S n，且S6=4S3,a2n=2a n+1n∈N*
.
(1)求数列a n
的通项公式；
(2)设b n=2n-1a n，求数列b n
的前n项和T n.
18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,2sin A=3sin2C.
(1)求sin C；
(2)若△ABC的面积为372，求AB边上的中线CD的长.
19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，平面PBC⊥平面ABCD，∠ACD=30°,E为AD
的中点，点F在PA上，AP=3AF.
(1)证明：PC⎳平面BEF；
(2)若∠PDC=∠PDB，且PD与平面ABCD所成的角为45°，
求平面AEF与平面BEF夹角的余弦值.
20.世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有56%的居民每周运动总时
间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A,B,C三个社区的居民人数之比为5:6:9.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X∼N5.5,σ2
.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦
点重合.
(1)求抛物线C和圆M的方程；
(2)设P x0,y0
x0≠2
为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点
A x1,y1
,B x2,y2
和点Q x3,y3
,R x4,y4
.且y1y2y3y4=16，证明：点P在一条定曲线上.
22.已知函数f x =a x-ex2,a>0且a≠1.
(1)设g x =f x
x+ex，讨论g x 的单调性；
(2)若a>1且f x 存在三个零点x1,x2,x3.
(i)求实数a的取值范围；
(ii)设x1<x2<x3，求证：x1+3x2+x3>2e+1
e
.
2023届广州市高三年级调研测试参考答案
1.【解析】由于x 2≥0，故A =y |y ≥0 ，∵y =ln 2-x ，∴2-x >0，即x <2，故B =x |x <2 ，因此A ∩B =x |0≤x <2 ，即A ∩B =0,2 .故选：C
2.【解析】z =i 1+2i =i (1-2i )(1+2i )(1-2i )
=i +25=25+15i ，z =25-15i ，对应点为25,-15 ，在第四象限．故选：D .
3.【解析】因为p :(x +2)(x -3)<0⇒-2<x <3；q :x -1 <2⇒-1<x <3，
所以q ⇒p ，p 推不出q ，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B .
4.【解析】由题意得：R 2-58-102 2=72，所以R =25cm ，所以h =25-58-102
=1cm ，所以两个球冠的面积为2S =2×2πRh =2×2×π×25×1=100πcm 2，
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：4πR 2-2S =4×π×252-100π=2400πcm 2，故选：C .
5.【解析】∵α,β∈π2,π
，∴sin α≠0.由1-cos2α 1+sin β =sin2αcos β，可得2sin 2α1+sin β =2sin αcos αcos β，即sin α1+sin β =cos αcos β.
∴sin α=cos αcos β-sin αsin β=cos α+β ，∴cos α+β =cos π2-α ，∵α,β∈π2,π ，∴π<α+β<2π，且-π2<π2-α<0，根据函数y =cos x 易知：α+β=π2-α+2π，即得：2α+β=5π2
.故选：A 6.【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200+800×9+12001200+800×8=8.4(小时)，该地区中学生每天睡眠时间的方差为：8001200+800×1+9-8.4 2 +12001200+800
×0.5+8-8.4 2 =0.94.故选：B
7.【解析】由f x +1 +f x -1 =2，得f x +2 +f x =2，即f x +2 =2-f x ，所以f x +4 =2-f x +2 =2-2-f x =f x ，所以函数f x 的周期为4，又f x +2 为偶函数，则f -x +2 =f x +2 ，所以f x =f 4-x =f -x ，所以函数f x 也为偶函数，又f x +1 +f x -1 =2，所以f 1 +f 3 =2，f 2 +f 4 =2，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，又f 1 +f -1 =2，即2f 1 =2，所以f 1 =1，又f 0 +f 2 =2，f 0 =2，∴f 2 =0，所以115
k =1f k =f 1 +f 2 +f 3 +f 4 ×28+f 1 +f 2 +f 3 =4×28+2+0=114,故选：C .8.【解析】由题意如图所示：由双曲线C :x 2-y 2=4，知a 2=b 2=4，
所以c 2=a 2+b 2=8，所以F 2(22,0)，F 1F 2 =2c =42所以过F 2作垂直于x 轴的直线为x =22，
代入C 中，解出A 22,2 ,B 22,-2 ，由题知△AF 1F 2,△BF 1F 2的内切圆的半径相等，
且AF 1 =BF 1 ，△AF 1F 2,△BF 1F 2的内切圆圆心O 1,O 2
的连线垂直于x 轴于点P ，设为r ，在△AF 1F 2中，由等面积法得：
12AF 1 +AF 2 +F 1F 2 ⋅r =12F 1F 2
⋅AF 2 由双曲线的定义可知：AF 1 -AF 2 =2a =4,由AF 2 =2，
所
以AF 1 =6，
所以126+2+42 ⋅r =12×42×2，解得：r =222+2=22×2-2 2=22-2，因为F 1F 2为△F 1AB 的∠AF 1B 的角平分线，所以O 3一定在F 1F 2上，即x 轴上，令圆O 3半径为R ，
在△AF 1B 中，由等面积法得：12AF 1 +BF 1 +AB ⋅R =12F 1F 2 ⋅AB ，又AF 1 =BF 1 =F 1F 2 2+AF 1 2=42 2+22=6,所以12×6+6+4 ⋅R =12
×42×4，所以R =2，所以PF 2 =r =22-2，O 3P =O 3F 2 -PF 2 =R -r =2-22-2 =2-2，
所以S △O 1O 2O 3
=12O 1O 2 O 3P =12
×2r ×O 3P =r ×O 3P =22-2 ×2-2 =62-8，故选：A .9.【解析】选项A 中：由对立事件定义可知P A +P A =1,选项A 正确；选项B 中：P A B +P A B =P (AB )+P (A B )P (B )=P (B )P (B )
=1，选项B 正确；选项C 中：A ，B 互斥，P (AB )=0，P A >0,P B >0,P AB ≠P A P B ，故选项C 错误；
选项D 中：A ，B 独立，则P (AB )=P (A )P (B )，则P A B =P (AB )P (B )
=P (A ),故选项D 正确.故选：ABD .10.【解析】∵f x =a sin x -b cos x ab ≠0 ，∴f x =a cos x +b sin x .
将f x 的图像向右平移π2个单位得y =a cos x -π2 +b sin x -π2
=a sin x -b cos x =f x 的图像，故A 选项正确；
已知f x 的图像与f 3π2-x 的图像关于直线x =3π4对称，f 3π2-x =a sin 3π2-x -b cos 3π2-x =-a cos x +b sin x ≠f x ，故B 选项错误；f x +f x =a +b sin x +a -b cos x =a +b 2+a -b 2sin x +φ ，其中tan φ=a -b a +b
，∴f x +f x 最大值为a +b 2+a -b 2=2⋅a 2+b 2，
f x -f x =a -b sin x -a +b cos x =a -b 2+a +b 2sin x -θ ，其中tan θ=a +b a -b
，∴f x -f x 最大值为a -b 2+a +b 2=2⋅a 2+b 2，故C 选项正确；
当a =b 时，f x +f x =2a sin x ，f x -f x =-2a cos x ，
当a >0时，f x +f x 在0,π2 上单调递增，f x -f x 在0,π2 上单调递增，当a <0时，f x +f x 在0,π2 上单调递减，f x -f x 在0,π2 上单调递减，综上可知f x +f x 和f x -f x 在0,π2
上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D 选项错误.故选：AC
11.【解析】对于A ，记AC 中点为M ，如图所示
∵△ADC 和△ABC 均为直角三角形,M 为AC 中点,∴AM =MC =D M =BM ,
∴M 为棱锥D -ABC 的外接球球心，半径为AM =
52,∴S =4πR 2=4π52 2
=5π.∴三棱锥D -ABC 的表面积不变，，故A 正确；对于B ，画图如下：由题知AB =DC =D C =2，BC =AD =AD =3,AC =5,
当平面D AC ⊥平面ABC 时,三棱锥D -ABC 的体积最大,
过点D 向AC 做垂线，垂足为E ，∵D A =3,D C =2,
在△AD E 中可得D E =
AD ⋅D C AC
=3×25
=305，∵平面D AC ⊥平面ABC ,平面D AC ∩平面ABC =AC ,D E ⊥AC ,∴D E 是三棱锥D -ABC 的高,∴三棱锥D -ABC 的体积最大值为
13S △ABC ⋅D E =13×12×2×3×305=6530=55
.故B 不正确；对于C ，若异面直线AD 与BC 所成的角是90°，则AD ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ,AB ∩AD =A ,AB ⊂平面ABD ,AD ⊂平面ABD ,
∴BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥BD ，在△BCD 中，D C =2<BC =3，不成立，所以异面直线AD 与BC 所成的角不可能是90°，故C 不正确；
对于D ，设AD 与平面ABC 所成角为θ，点D 到平面ABC 距离为d ，则sin θ=
d AD =d 2
，∴当点D 到平面ABC 距离最大时，AD 与平面ABC 所成角最大，当平面D AC ⊥平面ABC 时，点D
到平面ABC 距离最大，由B 知，此时d max =D E =305，即sin θ max =155<32
，∴θmax <60°，D 正确.故选：AD .12.【解析】对于A 选项，当a =1时，abe a +ln b -1=0⇔eb +ln b -1=0.设f x =ex +ln x -1，其中x >0.
则f x =e +1x >0，故f x 在0,+∞ 上单调递增.又f 1 =e -1>0，f 1e =-1<0，则∃b ∈1e ,1 ，使f b =0.即存在a =1，b ∈1e ,1 ，使abe a +ln b -1=0.但此时，ln b <ln1=0<1=1a .故A 错误.对于B 选项，abe a +ln b -1=0⇔ae a +1b ln b =1b ⇔ae a -1b ln 1b =1b ⇔ae a -ln 1b e ln 1b =1b
.设g x =xe x ，其中x >0.则g x =x +1 e x >0.得g x 在在0,+∞ 上单调递增.
注意到ae a -ln 1b e ln 1b =1b ⇔g a -g ln 1b =1b .则g a -g ln 1b =1b >0⇒a >ln 1b
.又y =e x 在R 上递增，则有e a >e ln 1b ⇒e a >1b .故B 正确.对于C 选项，由B 选项可知e a >1b ，则由abe a +ln b -1=0，有0=abe a +ln b -1>ab ⋅1b
+ln b -1⇒a +ln b <1.故C 正确.对于D 选项，因a >0，b >0，abe a +ln b -1=0，则abe a =1-ln b >0⇒ln b <1⇒b <e.
设b =e m ，其中m <1.则abe a +ln b -1=0⇔ae a +m +m -1=0.
设h x =xe x +m +m -1，其中x ∈0,+∞ .则h x =x +1 e x +m >0，得h x 在0,+∞ 上单调递增.
(1)若0<m <1，注意到h 1-m =1-m e -1 >0，h 0 =m -1<0，
则∃x ∈0,1-m ，使h x =0.即a ∈0,1-m ，则ab <e m 1-m ，设p x =e x 1-x ，则p x =-xe x ，得p x 在0,1 上单调递减，则ab =e m 1-m =p m <p 0 =1.
(2)当m =0，h x =xe x -1，注意到h 0 =-1<0，h 1 =e -1>0.则a ∈0,1 ，此时ab =a <1.
(3)当m <0，注意到h -m =-10，h 1-m =1-m e -1 > 0
则a ∈-m ,1-m ，又由(1)分析可知p x 在-∞,0 上单调递增.
则ab =e m 1-m =p m <p 0 =1.综上，有ab <1.故D 正确.故选：BCD
13.【解析】因为a +x (1+x )5=a +x 1+C 15x +C 25x 2+C 35x 3+C 45x 4+C 55x 5
则展开式中x 4的系数是aC 45+C 35=5a +10=20，求得a =2.故答案为：2.
14.【解析】①已知a =-2,λ ，b =1,1 ，由于a ⊥b ，所以a ⋅b =-2 ×1+λ×1=0，解得λ=2；②由①知：a =-2,2 ，b =1,1 ，得a -b =-3,1 ，则a -b ⋅b =-3 ×1+1×1=-2，b =12+12=2，
故a -b 在b 方向上的投影为a -b ⋅b b
=-22=-2，得a -b 在b 方向上的投影向量为-22⋅b =-1,-1 .故答案为：2；-1,-1 15.【解析】函数y =x e x 的定义域为R ，则y =1-x e x
，设切点坐标为x 0,x 0e x 0 ，则切线斜率为k =1-x 0e x 0，故切线方程为：y -x 0e x 0=1-x 0e x
0x -x 0 ，又切线过点0,b (b >0)，则b -x 0e x 0=1-x 0e x 0-x 0 ⇒b =x 20e
x 0
，设h x =x 2e x ，则h x =x 2-x e x
=0得，x =0或x =2，则当x ∈-∞,0 时，h x <0，函数h x 单调递减，当x ∈0,2 时，h x >0，函数h x 单调递增，
当x ∈2,+∞ 时，h x <0，函数h x 单调递减，所以h 0 =0,h 2 =
4e 2
，又x →-∞时，h x →+∞，x →+∞时，h x →0，
所以b =x 20e x 0有且只有一个根，且b >0，则b >4e 2，故b 的取值范围是
4e 2,+∞ .故答案为：4e 2,+∞ .16.【解析】设O 1O 2∩EF =D ，由O 2D O 1D =O 2F
O 1E
=12O 2D +O 1D =210
，解得O 2D =2103,O 1D =4103
，所以DE =4103 2-42=43,DF =
2103 2-22=23
，所以2c =43+23
=2,c =1，设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ，圆锥的母线与球相切于B ,C 两点，如图所示，
则AB =AE ,AC =AF ，
两式相加得AB +AC =AE +AF =a -c +a +c =2a ，
即BC =2a ，过O 2作O 2G ⊥O 1B ，垂直为G ，
则四边形BGO 2C 为矩形，
所以2a =BC =210 2
-22=6，a =3，所以椭圆的离心率为c a =13.故答案为：13
17.【解析】(1)设等差数列的公差为d ，依题意，S 6=4S 3,a 2n =2a n +1n ∈N * ，则a 2=2a 1+1所以6a 1+15d =43a 1+3d a 1+d =2a 1+1
，解得a 1=1,d =2，所以a n =2n -1.(2)b n =2n -1a n =2n -1 ⋅2n -1，
所以T n =1×20+3×21+⋯+2n -1 ×2n -1，2T n =1×21+3×22+⋯+2n -1 ×2n ，
两式相减得-T n =1+22+23+⋯+2n -2n -1 ×2n
=1+4×1-2n -1 1-2-2n -1 ×2n =3-2n ⋅2n -3，所以T n =2n -3 ⋅2n +3.
18.【解析】(1)因为2sin A =3sin2C ，所以2sin A =6sin C cos C ，
所以2a =6c cos C ，即a =3c cos C ，
所以cos C =a 3c ，
由余弦定理及c =2b 得：cos C =a 2+b 2
-c 22ab =a 2+b 2
-4b 22ab =a 2
-3b 22ab ，
又cos C =a 3c =a 6b ，所以a 2
-3b 22ab =a 6b ⇒2a 2=9b 2，即a =322b ，
所以cos C =a 6b =3
22b
6b =24，
所以sin C =1-cos 2C =1-24 2=144.
(2)由S △ABC =12ab sin C =12×ab ×144=372，所以ab =62，
由(1)a =322
b ，所以b =2,a =32，因为CD 为AB 边上的中线，
所以CD =12
CA +CB ，
所以CD 2=14CA 2+CB 2+2CA ⋅CB
=14×b 2+a 2+2ab cos C
=14×4+18+2×2×32×24
=7，
所以CD =7，
所以AB 边上的中线CD 的长为：7.
19.【解析】(1)设AC ,BE 的交点为O ，连接FO ，已知O 为△ABD 的重心，
所以AO AC =12，AF AP =12，所以在△APC 中，AO AC =AF AP =12，
所以FO ⎳PC ，所以FO ⊂平面BEF ，PC ⊄平面BEF ，
则PC ⎳平面BEF .
(2)因为∠ACD =30°,所以∠ACB =30°,
所以△DCB 为等边三角形，所以DC =DB ，又因为∠PDC =∠PDB ，
所以△PDB ≅△PDC ，所以PB =PC ，
取BC 的中点为H ，连接PH ，则PH ⊥BC ，
平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，
则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，HD ,HB ,HP 为x ,y ,z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为PD 与平面ABCD 所成的角为∠PDH =45°，所以PH =DH ，
设菱形的边长为2，所以PH =DH =3，所以P 0,0,3 ,B 0,1,0 ,A 3,2,0 ,D 3,0,0 ,E 3,1,0 ，
因为AP =3AF ，所以F 233,43,33 ，EF =-33,13,33 ,AE =0,-1,0 ,BE =3,0,0 ，设n =x ,y ,z ⊥平面AEF ，n ⋅AE =0n ⋅EF =0 ⇒-y =0-33x +13y +33z =0 ，令x =1,y =0,z =1，所以n =1,0,1 ，
设m =x 2,y 2,z 2 ⊥平面BEF ，由m ⋅BE =0m ⋅EF =0 ⇒3x 2=0-33x 2+13y 2+33z 2=0
，令y 2=3,x 2=0,z 2=-1，所以m =0,3,-1 ，则cos m ,n =m ⋅n m n =-24，所以平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值为24
.20.【解析】(1)因为A ,B ,C 三个社区的居民人数之比为5:6:9，
设A ,B ,C 三个社区的居民人数为5a ,6a ,9a ，
所以A 社区每周运动总时间超过5小时的人数为：5a ⋅56%=2.8a ，
B 社区每周运动总时间超过5小时的人数为：6a ⋅65%=3.9a ，
C 社区每周运动总时间超过5小时的人数为：9a ⋅70%=6.3a ，
该居民每周运动总时间超过5小时的概率P 1=2.8a +3.9a +6.3a 5a +6a +9a
=0.65.(2)因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X (单位：小时)，且X ∼N 5.5,σ2 ，所以P X >5.5 =0.5，由(1)知，P X >5 =0.65，
所以P 5<X <5.5 =0.65-0.5=0.15，
因为随机变量X 服从正态分布，且关于X =5.5对称，
所以P 5<X <6 =2P 5<X <5.5 =0.3，
所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：
P 2=C 230.3 20.7 +C 330.3 3=0.216.
21.【解析】(1)由题设得p =2，
所以抛物线C 的方程为y 2=4x .
因此，抛物线的焦点为F 1,0 ，即圆M 的圆心为M 1,0
由圆M 与y 轴相切，所以圆M 半径为1，
所以圆M 的方程为x -1 2+y 2=1.
(2)证明：由于P x 0,y 0 x 0≠2 ，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则x 0≠0.
故设过点P 且与圆M 相切的切线方程为y -y 0=k x -x 0 ，即kx -y +y 0-kx 0=0.
依题意得k +y 0-kx 0
k 2+1=1，整理得x 0x 0-2 k 2-2y 0x 0-1 k +y 20-1=0①；
设直线PA ,PQ 的斜率分别为k 1,k 2k 1,k 2，则k 1,k 2是方程①的两个实根，
故k 1+k 2=2y 0x 0-1 x 0x 0-2 ，k 1⋅k 2=y 20-1x 0x 0-2
②，由kx -y +y 0-kx 0=0y 2=4x
得ky 2-4y +4y 0-kx 0 =0③，因为点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，Q x 3,y 3 ,R x 4,y 4
则y 1y 2=4y 0-k 1x 0 k 1④，y 3y 4=4y 0-k 2x 0 k 2
⑤由②，④，⑤三式得：
y 1y 2y 3y 4=16y 0-k 1x 0 y 0-k 2x 0 k 1k 2=16y 20-k 1+k 2 x 0y 0+x 20k 1k 2 k 1k 2
=16y 20-k 1+k 2 x 0y 0 k 1k 2+16x 20=16y 20-2y 0x 0-1 x 0x 0-2 x 0y 0 y 20-1
x 0x 0-2
+16x 20=16，即y 20x 0x 0-2 -2y 0x 0-1 x 0y 0=1-x 20 y 20-1 ，
则y 20x 20-2y 20x 0-2y 20x 20+2x 0y 20=y 20-x 20y 20-1+x 20，即x 20+y 20=1，
所以点P 在圆x 2+y 2=1.
22.【解析】(1)g x =f x x +ex =a x -ex 2x +ex =a x x ,g x =a x ln a ⋅x -a x x 2=a x ln a ⋅x -1 x 2
,因为a x >0,x 2>0,g x 定义域为-∞,0 ∪0,+∞
当a >1时,ln a >0,解g x >0,得x >
1ln a ,解g x <0,得0<x <1ln a ,x <0当0<a <1时,ln a <0,解g x >0,得x <1ln a ,解g x <0,得0>x >1ln a ,x >0综上, 当a >1时, g x 增区间为1ln a ,+∞ ,g x 减区间为-∞,0 ,0,1ln a
,当0<a <1时, g x 增区间为-∞,1ln a ,g x 减区间为0，+∞ ,1ln a ，0 ,(2)(i )因为f x =a x -ex 2,a >1且f x 存在三个零点x 1,x 2,x 3.所以a x -ex 2=0有3个根
当x <0时, f -1 =a -1-e <0,f 0 =a 0>0,f x =a x ln a -2ex >0,f x 在-∞,0 上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.
当x >0,x ln a =1+2ln x ,即ln a =
1+2ln x x 有两个根,令t x =1+2ln x x ,可转化为y =ln a 与t x =1+2ln x x
有两个交点t x =2-1+2ln x x 2=1-2ln x x 2,可得x ∈0,e ,t x >0,t x 是单调递增的, 可得x ∈e ,+∞ ,t x <0,t x 是单调递减的,
其中t 1e
=0,当x >e ,t x >0,t x max =t e =2e
所以可得0<ln a <2e ,即得1<a <e 2e .
(ii )因为f x =a x -ex 2,a >1且f x 存在三个零点x 1,x 2,x 3.
设x 1<x 2<x 3，a x 1=ex 12,a x 2=ex 22,a x 3
=ex 32,易知其中x 1<0,0<x 2<x 3,因为x 1<x 2,a x 1<a x 2
,所以ex 12<ex 22,x 12<x 22,-x 1<x 2,故可知x 1+x 2>0;①由1)可知y =ln a ,与t x =1+2ln x x
有两个交点x 2<x 3,x ∈0,e ,t x 是单调递增的, x 2∈0,e ,t x 2 =ln a >0,t 1e
=0,所以x 2>1e ;②e >x 2>1e
,x 3>e,若x 3≥2e ,则x 2+x 3>2e
若e <x 3<2e,构造函数h x =t x -t 2e -x ,e <x <2e
h x =1-2ln x x 2+1-2ln 2e -x 2e -x 2=1-2ln x 2e -x 2+x 21-2ln 2e -x x 22e -x 2
设m x =1-2ln x 2e -x 2+x 21-2ln 2e -x ,
m
x =-22e -x 2x +2x 22e -x
-21-2ln x 2e -x +2x 1-2ln 2e -x 因为-22e -x 2x +2x 22e -x =2x 3-22e -x 3x 2e -x =2x 3-2e -x 3 x 2e -x 又因为2e >x >e ,2x >2e ,x >2e -x ,x 3>2e -x 3,
所以-22e -x 2x +2x 22e -x
>0③因为-21-2ln x 2e -x +2x 1-2ln 2e -x =22ln x -1 2e -x +2x 1-2ln 2e -x 又因为x >e ,ln x >12,2e -x <e ,ln 2e -x <12所以2ln x -1>0,2e -x >0;1-2ln 2e -x >0,x >e >0即得22ln x -1 2e -x +2x 1-2ln 2e -x >0④由③④可知m x >0, ,m x 在e ,2e 上单调递增, x >e 可得m x >m e =0h x =m x x 22e -x
2,可知m x 与h x 同号所以h x >0,
h x 在e ,2e 上单调递增. h x >h e =t e -t e =0t x -t 2e -x >0,t x 3 >t 2e -x 3 ,又由1)可知t x 2 =t x 3 所以t x 2 >t 2e -x 3 ,x 2∈0,e ,2e -x 3∈0,e x ∈0,e ,t x >0,t x 是单调递增的,
所以x 2>2e -x 3,x 2+x 3>2e ⑤
由①②⑤可知x 1+3x 2+x 3>2e +1
e。