清华在线2019新版GCT精讲班-数学-微积分讲义-26页精选文档

GCT 数学.微积分部分
主讲：刘庆华
第11章函数的极限与连续
11.1函数 一 函数
1定义 设x 和y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。

2 表示法
3 基本初等函数
例11．1．1（1）C y =； （2）⎩⎨⎧<-≥==00x x x x x y ； （3）⎪⎩⎪
⎨⎧<-=>=0
1000
1x x x y 。

（4）设x 是任一实数，[]x y =表示不超过x 的最大整数部分。

例11.1.2 下列函数是否相同？ （1） x x g x x f lg 2)(lg )(2==；（否） （2） 33341)(,
)(-=-=x x x g x x x f ；
（是） （3） 1)(,)1()(2-=-=x x g x x f 。

（否） 例11.1.3 求函数的定义域。

（1）x x y -=1
； 答0<x
（2） 设1
1
)(1+=
-x e f x ，求)(x f 的定义域.2->e x 二 特性
1函数的有界性
设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果0>∃M ，使得对I x ∈∀，有M x f ≤)(，则称)(x f 在区间I 上有界，否则，称)(x f 在区间I 上无界。

2函数的单调性
设函数)(x f 在区间I 上有定义,如果I x x ∈∀21,且21x x <时，有)()(21x f x f ≤（或 )()(21x f x f ≥）则称)(x f 在区间I 上是单调增（或单调减）的。

3函数的奇偶性
设函数)(x f 的定义域X 关于原点对称，（即若∈x X ，则必有∈-x X ），如果∀∈x X ，有)()(x f x f =-成立，则称)(x f 为偶函数，如果∀∈x X ，有)()(x f x f -=-成立，则称)(x f 为奇函数。

4函数的周期性
设函数)(x f 的定义域是X ，如果∃常数0≠T ，使得对∀∈x X ，有∈±T x X ，且
)()(x f T x f =+恒成立，则称函数)(x f 是周期函数，使上式成立的最小正数T 称为)(x f 的周期。

例11.1.4 判断函数的奇偶性。

（1）2
x
x a a y -+=；（2）)1ln()1(22x x x y ++-=；（3）232x x y -=。

[（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶] 三 函数的运算 1 四则运算 2 反函数
3复合函数与初等函数 （1）复合函数
设)(u f y =，定义域为u D ；)(x u ϕ=，定义域为x D ，值域为u W ，当u W ⊆u D 时，
称
)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，它是由)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成的函数，它的定义域为x D ，称u 为中间变量。

（2）初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称为初等函数。

例11．1．5（1）设x x x f +=)(，⎩⎨⎧≥<=0
)(2x x x x x g ，求))(()),((x f g x g f 。

（2）求⎩⎨⎧<≤-≤≤-=011
0122x x x x y 的反函数。

（⎩⎨⎧≤<-≤≤-+=10011x x x x y ）
例11．1．6设函数)(x f 的定义域是),(+∞-∞，且)(x f 的图形关于直线a x =与
b x =对称，)(b a <，证明)(x f 是以)(2a b -为周期的周期函数。

四补充题 例11．1．7
1 )(x f 在),(+∞-∞上有定义，且)
(1
)(x f k x f =+，则)(x f 是[ ]（其中k 为大
于零的常数）
)(A 周期函数 )(B 单调函数 )(C 奇函数 )(D 偶函数 2设x e x f =)(，且x x f -=1))((ϕ，则函数)(x ϕ的定义域为[)(A ] 3下列函数中关于y 轴对称的是[)(B ] 4设函数)(x f 的定义域是]1,0[，则函数
)cos 1(1)(sin 1)(x f x x f x x g π+⋅++π⋅-=的定义域是[ )(D ]
5（08）设,
0,
0,1,)(x ＜x ＞x x x f ⎩⎨⎧-=则有[ ]。

（A ）2))(())((x f x f f = （ B ）)())((x f x f f =
（C ）)())((x ＞f x f f （D ）)())
((x ＜f x f f 答（B ）。

分析：本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。

解法1：由,
0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 易知，当0≠x 时，()0f x >。

又(())()()0f x f x f f x f x f x >=<⎩⎨⎧<->=,0)(),(1,0)(),(x
f x f x f x
f 所以)())((x f x f f =。

故正确选项为（B ）．
解法2：利用特殊值代入法与排除法更简单．取2x =，则
(2)2,((2))f f f f ===，这时选项（A ）,（ C ）,（Ｄ）都不成立。

故正确选项为（B ）． 11.2数列的极限
1定义 给定数列}{n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋近于某个常数A ，则称数列}{n x 以A 为极限，记作A x n n =∞
→lim 或者)(∞→→n A x n 。

2 单调性 设数列}{n x ，如果对于n ∀，有1+≤n n x x （1+≥n n x x ），则称数列}{n x 是单调递增（单调递减）的。

3如果0>∃M ，对于n ∀有M x n ≤，则称数列}{n x 是有界的。

4 数列极限的性质
（1）若数列}{n x 是收敛的，则它的极限是唯一的。

（2）数列}{n x 是收敛的，则称数列}{n x 是有界的。

5 数列极限的四则运算 设A x n n =∞
→lim ，B y n n =∞
→lim
（1）B A y x n n n ±=±∞
→)(lim
（2）AB y x n n n =∞
→lim
（3）)0(lim
≠=∞
→B B
A y x n n n
11.3 函数的极限 1 函数极限的定义
（1）设函数)(x f 在区间),[+∞a 上有定义，A 为常数，如果当+∞→x 时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称当+∞→x 时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =+∞
→)(lim 。

（2）设函数)(x f 在区间],(a -∞上有定义，A 为常数，
如果当-∞→x 时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称当-∞→x 时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =∞
-→)(lim 。

（3）设函数)(x f 在区间),(),(+∞⋃--∞a a )0(>a 上有定义，A 为常数，如果当x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称当∞→x 时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =∞
→)(lim 。

（4）定理 A x f x =∞
→)(lim 的充分必要条件是A x f x =∞-→)(lim 且A x f x =+∞
→)(lim 。

（5）当x 无限趋近于0x （≠x 0x ）时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称x 趋
近于0x 时，函数)(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0。

（6）当0x x <无限趋近于0x （≠x 0x ）时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称x
趋近于0x 时，函数)(x f 的左极限为A ，记作A x f x f x x ==--→)(lim )0(0
0。

（7）当0x x >无限趋近于0x （≠x 0x ）时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称x
趋近于0x 时，函数)(x f 的右极限为A ，记作A x f x f x x ==++→)(lim )0(0
0。

（8）定理 A x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是A x f x f x x ==--→)(lim )0(0
0且
A x f x f x x ==++→)(lim )0(0
0。

（9）设A x f x =*
→)(lim ，B x g x =*
→)(lim
（i ）若B A >，则极限点附近有)()(x g x f >。

（ii ）极限点附近有)()(x g x f ≥，则B A ≥。

2 函数极限的性质
（1）如果)(lim x f 存在，则极限值是唯一的。

（2）如果A x f =)(lim ，则)(x f 在极限点附近是有界的。

3 函数极限的运算法则 （1）四则运算
（2）复合函数的运算法则
设复合函数)]([x f y ϕ=在0x 的某邻域内（0x 可除外）有定义，如果
0)(lim 0
u x x x =ϕ→
（00)(,u x x x ≠ϕ≠）且A u f u u =→)(lim 0
，则A u f x f u u x x ==ϕ→→)(lim )]([lim 0。

4 重要极限
*（1）1sin lim
0=→x
x
x
（2） e x
x
x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1
0)1(lim
例11.3.1 设x x
x f =)(，讨论)(lim 0x f x →是否存在。

（不存在）
例11.3.2设⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<+--=>-=232
4
2121
4)(2
x x x x x x x f ，求)(lim 2x f x → 。

（7） 例11．3．3 =I m m m m n n n n x b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----∞→11101110lim ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>∞=m
n m n b a m
n 000
例11．3．4 )()(lim 0x Q x P m n x x →=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==≠=∞≠0
)(0)(0)(0)(0)()
()(0000000x P x Q x P x Q x Q x Q x P 且不定式且
例11．3．5 213lim 415320
-++-∞→x x x x x ，0213lim 415
312
=-++-∞→x x x x x ，2
5
2215lim 420320
=-++-∞→x x x x x 例11．3．6
（1）x
x
x tan lim 0→ （1）
（2）20cos 1lim x x
x -→（2
1） （3）x x x 11lim 0-+→（21
）
（4）x x x )
1ln(lim 0+→ （1）
（5）x
e x x 1
lim 0-→ （1）
（6）=I 22sin lim n x
n n ∞→（x ）
（7）n
n n n )1
1(lim -+∞→ （2e ）
11.4 无穷大量与无穷小量 一1 定义（1）如果函数)(x f 当0x x →（或∞→x ）时的极限为零，则称函数)
(x f 当0x x →（或∞→x ）时为无穷小量。

（2）如果函数)(x f 当0x x →（或∞→x ）时)(x f 无限变大，则称函数)(x f 当
0x x →
（或∞→x ）时为无穷大量。

记作∞=)(lim x f . 2 无穷大量与无穷小量的关系
在自变量的同一变化过程中，如果函数)(x f 为无穷大量，则
)
(1
x f 为无穷小量，反之，如果函数)(x f 为无穷小量且0)(≠x f ，则
)
(1
x f 为无穷大量。

3无穷小量与有极限量的关系
)()()(lim x A x f A x f α+=⇔=，其中0)(lim =x α 4 无穷小量与有界量之积为无穷小量 5无穷小量的比较
设*→x 时，0)(,0)(→β→αx x
(1)若
0)()
(→βαx x ，则称*→x 时)(x α比)(x β高阶无穷小，记作))(()(x x βο=α (2)若c c x x ()
()
(→βα是不等于零的常数），则称*→x 时)(x α与)(x β同阶无穷小。

特别地，当1=c 时称*→x 时)(x α与)(x β是等价无穷小，记作*→x 时，
)(x α)(~x β。

当0→x 时，x x ~sin ，，x x ~t a n ，
，x x ~)1l n (+ (3)若∞→βα)
()(x x ，则称*→x 时)(x α比)(x β低阶无穷小。

6等价无穷小替换定理
设*→x 时，0)(,0)(→β→αx x ，0)(,0)(11→β→αx x 且~)(x α)(1x α，
~)(x β)(1x β，)()(lim 11x x x βα→*存在，则 =βα→*)()
(lim x x x )()(lim 1
1
x x x βα→*。

例11．4．1
（1）x x x 2)
31ln(lim 0-→ （23-）
（2） 1
1
1lim
2
20
--+→x x e ax （2
a ） （3） )
3/tan(2sin lim 0x x
x → （6）
(4) )21ln()
31ln(lim x x x ++-∞→ （0）
11.5 函数的连续性 1 连续的定义
(1) )(x f y =在点0x 连续：设)(x f y =在点的某邻域有定义，如果 0)]()([lim lim 000
=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 或 )()(lim 00
x f x f x x =→，则称)(x f y =在点
0x 连续。

（2）左连续，右连续
（3）)(x f y =在),(b a 内连续 （4）)(x f y =在],[b a 内连续 2 函数的间断点及分类 3 连续函数的运算法则
(1)设)(x f ，)(x g 在0x 连续，则)(x f ±)(x g ，)(x f )(x g ⋅，)
()
(x g x f （0)(0≠x g ），在0x 连续。

(2)复合函数的连续性
设)(x g u =在0x 连续，)(u f y =在)(00x g u =连续，则复合函数)]([x g f y =在0x 连续。

结论：初等函数在其定义区间上是连续的。

4连续函数在闭区间上的性质 (1)有界性
设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上有界。

(2)最值存在
设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值。

(3)介值定理
设)(x f 在],[b a 上连续，)()(b f a f ≠，则对)(a f 与)(b f 之间的任何数η，必存
在
),(b a c ∈，使得η=)(c f 。

(4)零点存在定理
设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(<b f a f ，则必存在),(b a c ∈，使得0)(=c f 。

例11．5．1求间断点及判断其类型)
1()(-=x x x
x f
例11．5．2设⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧>+=<-=-01cos 00tan 1)(x x x b x a x x
e x
f x
，b a ,为何值
(1))(lim 0
x f x →存在 ; (2) )(x f 在0=x 处连续。

例11．5．3证明曲线87324-+-=x x x y 在)2,1(内至少与x 轴有一个交点。

5 补充题 例11．5．4
1下列极限正确的是[)(B ]
)(C x x x 1sin 1lim ∞→不存在 )(D 1sin lim =∞→x
x
x
2 下列函数中在0=x 处连续的是[)(A ] 3若4)(lim 1
=→x f x ，则必定有[ ]。

（A ）4)1(=f (B ） )(x f 在1=x 处无定义
)(C 在1=x 的某邻域)1(≠x 中，2)(>x f ( D)在1=x 的某邻域)1(≠x 中，2)(≠x f
第12章 一元函数微分学
12.1导数的概念 一 导数的定义
1设函数)(x f y =在0x 某邻域内有定义，当自变量x 在点0x 取得改变量x ∆（0≠∆x ）时，相应地函数)(x f y =也有改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果极限 x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim
0000存在，则称函数)(x f y =在0x 可导，并称这个
极限值 为函数)(x f y =在点0x 的 导数，记作)(0x f '，0
x x y ='，
x x dx
dy
=0
x x dx
df =
2左导数，右导数
如果x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆--
→∆→∆)()(lim lim 0000
存在，则称此极限值为)(x f 在0x 处的左导数，记作)(0x f -'。

如果x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆+→∆+
→∆)()(lim lim 0000存在，则称此极限值为)(x f 在0x 处的右导
数，
记作)(0x f +'。

3如果)(x f 在),(b a 内每一点可导，则称)(x f 在),(b a 内可导。

4如果)(x f 在),(b a 内可导，且)(b f -',)(a f +'存在，则称)(x f 在],[b a 内可导。

二 导数的几何意义
函数)(x f 在0x 点的导数)(0x f '等于曲线)(x f y =在点（0x ，)(0x f ）处切线的斜率。

切线方程是))(()(000x x x f x f y -'=-，法线方程是)()
(1
)(000x x x f x f y -'-=-。

三 可导与连续的关系
可导必连续，反之不然。

四 重要结论
1)(x f 在0x 处可导)()(00x f x f -+'='⇔ 2 可导偶函数的导数是奇函数； 3 可导奇函数的导数是偶函数； 4可导周期函数的导数是周期函数。

例12.1.1用定义求函数x y 3log =的导数。

（
3
ln 1
x ） 例12.1.2 研究x y =在0=x 的连续性与可导性。

（连续不可导）
例12.1.3 求b a ,的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1ln 1)1(sin )(x b x x x a x f 在1=x 处可导。

（0,1==b a ）
例12.1.4 （1） 在曲线x y ln =上求一点，使得在该点的切线斜率为3，并求此切线方程。

（2）求曲线x e y =在1=x 处的切线方程。

（1+=x y ） （3）求过)0,0(点并与x e y =相切的直线方程。

(ex y =)
例12.1.5)(x f 在0x 可导，求下列极限
（1）h
x f h x f h )
()(lim
000--→
（2）x
x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)
()2(lim 000
例12．1．6（1）可导偶函数的导数是奇函数； （2）可导奇函数的导数是偶函数； （3）可导周期函数的导数是周期函数。

12.2 求导公式和导数运算法则 一 求导公式 1 1)(-='αααx x 2 a a a x x ln )(=' 3 a
x x a ln 1
)(log =
' 4 x x cos )(sin =' 5 x x sin )(cos -=' 6 x x 2sec )(tan =' 二 四则运算
如果)(x f ，)(x g 在点x 都可导，则 （1）)([x f ])('±x g ±'=)(x f )(x g '
（2）)([x f ])('⋅x g ⋅'=)(x f )(x g )(x f +)(x g '⋅ （3）=
'])()([
x g x f )
()
()()()(2x g x g x f x g x f '-' 三 复合函数的导数
设)]([x g f y =由)(u f y =和)(x g u =构成的复合函数，如果)(x g u =在点x 可导，
)(x g dx du '=，)(u f y =在点u 可导，)(u f du
dy '=，则复合函数)]([x g f y =在点x 可导，且dx
du
du dy dx dy ⋅
=)()]([)()(x g x g f x g u f ''=''= 例12．2．1 求导数
（1）2ln 2
22+-+=
x
x x y ，求1='x y (2) （2）x x y ln =
( x
x 2ln 1ln -) （3）x x e y x sin )1(2+= （x x e x xe x x e x x x cos )1(sin 2sin )1(22++++） （4）)()2)(1(n x x x x y +++= ，求)0(y '。

（!n ）
例12．2．2求导数
（1）)1ln(x
e y += (x
x
e e +1)
（2）3
22
+-=x x
a x y (++-3
2
2x x
xa a x a x x x
ln )12(3
22
-+-)
（3）)1ln(2x x y ++= (
2
11x
+)
（4）)1ln(21x
e y -+= (x x x e e e ---+⋅+-1)
1ln(41) （5）)
1ln(2
x e
y x
+=
- ()
1(ln 12)1ln(2222x x x
e x e x
x ++-+--- )
（6）2
2
32
x a e
y x -=- (2
2
32232
2
6x
a x e x a xe x
x ------)
（7）x y ln ln ln = (x
x x ln ln ln 1
)
（8 ) x x y -+=11ln
[)11
11(21x
x -++] 例12．2．3 f 为可导函数，求
dx dy
（1）)(ln x f y = （x
x f )
(ln '）
（2）)()(2x e f x f y += 答)()(22x x e f e x f x '+' 四 高阶导数
例12．2．4 （ 1 ） )ln(22x a x y ++=，求y ''。

[2
32
2)(-
+-x a x ]
( 2 ) 设x
e x
f 1)(-=，求x f x f x ∆'-∆-'→∆)2()2(lim。

（e
163
）
五 补充题 例12．2．5
1 对任意的x 都有)()(x f x f -=-且当00≠x 时，0)(0≠-=-'k x f ，则 2设)(x f 可导，且满足12)
1()1(lim 0-=--→x
x f f x ，则曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切
线斜率为[)(B ]
3 ⎪⎩⎪⎨⎧≤->+=-111
ln )()1(22x e
x a x x f x b 在),(+∞-∞上可导，则[)(B ]
4如图)(),(x g x f 是两个逐段线性的连续函数，
设)]([)(x g f x u =，求)1(u '的值。

( 1-) 5在曲线)0(1
+∞<<=
x x
y 上任一点),(y x P 处作切线，切线分别教x 轴与y 轴于A 和B ，则[)(B ]
)(C PB PA > )(D PB PA ,的大小关系与P 的位置有关 12.3 微分
一 定义 函数)(x f y =在x 处的微分
设函数)(x f y =在区间I 上有定义，I x x x ∈∆+00,，如果函数的改变量
)()(00x f x x f y -∆+=∆可表为)(x x A y ∆ο+∆=∆，其中A 是不依赖 x ∆的常数，
而)(x ∆ο是比x ∆的高阶无穷小，则称 )(x f y =在0x 是可微的，x A ∆叫做
)(x f y =在0x 相应于自变量改变量x ∆的微分，记作 dy ，即x A dy ∆=或Adx dy =。

)(x dy y ∆ο+=∆ 二 微分与导数的关系
函数)(x f y =在点x 处可微的充分必要条件是它在该点处可导，此时)(x f A '=即有dx x f dy )('=。

)()(x x x f y ∆ο+∆'=∆ 三 微分的几何意义
四微分的基本公式和四则运算法则
例12．3．1 （1）设x x y x 1
)21(,21+=->，求dy .[dx x x x x x x x )
21()
21ln()21()21(21
+++-+]
（2）若函数)(x f y =在0x 处的导数不为零且不为1，则当0→∆x 时该函数在0x x =处的微分dy 是[)(B ]
)(A 与x ∆等价无穷小 )(B 与x ∆同阶无穷小 )(C 与x ∆低阶无穷小 )(D 与x ∆高阶无穷小
)
(x f 3)
(x g 3
6
A
B
P
O
五补充题 例12．3．2
1（03）如果函数)(x f 在0x 处可导，)()()(000x f x x f x f -∆+=∆，则极限
)(A 等于)(0x f ' )(B 等于1 )(C 等于0 )(D 不存在
2 （04）如图)(),(x g x f 是两个逐段线性的连 续 函数，设)]([)(x g f x u =，则)1(u '的值为[)(A ]。

3（05）设)(x f 在0=x 处可导，且
n
n f 2
)1(=),3,2,1( =n ，则=')0(f [)(C ] )(A 0 )(B 1 )(C 2 )(D 3 4（06）设0)(>x f ，且导数存在，则
=+∞→)()
1(ln
lim a f n a f n n [（D ）]。

（A ） 0 (B)∞ (C) )(ln a f ' (D)
)
()
(a f a f ' 5（07）设21)2ln(tan -=x y ，则=')2
(π
y [（B ）]。

（A ）1- （B ）1 （C ）2164π+ （D ）2
168
π
+ 6 （08）若函数)(x f 可导，且2)0()0(='=f f ，则h
h f h 2
)(lim 20-→=[（Ｄ） ]。

（A ）0 （B ）1 （C ）22 （D ）4 12.4中值定理
1 罗尔定理
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则至少
),(b a ∈ξ∃使得0)(=ξ'f 。

2 拉格朗日中值定理
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则至少
2 1
3 )
(x g 4 6 8
5 7 1
2 3 4 5 )
(x f -1 y
6
),(b a ∈ξ∃使得))(()()(a b f a f b f -ξ'=-成立。

（1）如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，则)(x f 在区间I 上是一个常数。

（2）如果函数)(x f 和)(x g 在区间I 上的导数相等，则这两个函数在区间I 上至多相差一个常数。

例12．4．1 若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明方程 0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。

例12．4．2)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内0)(>'x f ， ① 当0)(=a f 时，则开区间),(b a 内0)(>x f ； ② 当0)(=b f 时，则开区间),(b a 内0)(<x f 。

例12．4．3设0>>a b ，证明
a
a
b a b b a b -<
<-ln 。

例12．4．4（1）(05) 若)(x f 的二阶导数连续，且1)(lim =''+∞
→x f x ，则对任意常数
a 必有
)(A a )(B 1 )(C 0 )(D )(a f a ''
（2）（08）函数)(x f 在),1[+∞上具有连续导数，且0)(lim ='+∞
→x f x ，则[（Ｄ） ]。

（A ）)(x f 在),1[+∞上有界 （B ）)(lim x f x +∞
→存在
（C ）))()2((lim x f x f x -+∞
→存在 （D ）0))()1((lim =-++∞
→x f x f x
12.5 洛必达法则（∞∞
,00型极限） 如果)(x f 和)(x g 满足
（1）)(0)(lim )(lim ∞==x g x f
（2）在极限点附近)(),(x g x f ''都存在，且0)(≠'x g （3）)()(lim
x g x f ''存在或无穷大 ，则 =)()(lim x g x f )
()
(lim x g x f '' 例12．5．1求极限
（1）x x e x x 23lim 2-++∞→ )(∞
∞
（0）
（2）3
0tan lim
x x x x -→)00
(
（3） x x
x ln lim +∞→ )0(
（4）)tan 11(lim 20x x x x -→ )(∞-∞ （31
）
例12．5．2已知)(x f 在),(+∞-∞内有二阶连续导数，且0)0(=f ，
又⎪⎩⎪⎨⎧≠='=0)(0)0()(x x f x e x f x x ϕ，求)(x ϕ'。

（⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=''+'≠'+-0)0(21)0(0)
()()(2x f f x x x f e x x f e x x f e x
x x ）
12.6 函数的单调性与极值
1 函数的单调性的判断法 一 函数的增减性的判断
如果函数)(x f 在),(b a 内可导，则)(x f 在),(b a 内单调递增（减）的充分必要条件是
),(b a x ∈∀，有0)(≥'x f （0≤）。

例12．6．1 求函数的单调区间
（1）214)(2
x
x
x x f ++= [↑+∞-∞),(] （2）1
2
)(2-++=x x x x f [在↑+∞--∞),3(),1,(，在↓-)3,1(),1,1(]。

二 极值 1 定义
设函数)(x f ，若),(00δ+δ-∈∀x x x （δ为某一常数）均有)()()(00x x x f x f ≠<则称0x 为)(x f 的极大值点，)(0x f 为)(x f 的极大值；若),(00δ+δ-∈∀x x x 均有
)()()(00x x x f x f ≠>则称0x 为)(x f 的极小值点，)(0x f 为)(x f 的极小值。

2 取得极值的必要条件
设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，则0)(0='x f 。

3 第一充分条件
设函数)(x f 在点0x 一个邻域内可导，且0)(0='x f （或)(0x f '不存在，但)(x f 在点0x 连续）如果当x 取0x 左侧邻近值时，0)(>'x f ，当x 取0x 右侧邻近值时，
0)(<'x f ，则函数)(x f 在点0x 处取得极大值；如果当x 取0x 左侧邻近值时，
0)(<'x f ，当x 取0x 右侧邻近值时，0)(>'x f ，则函数)(x f 在点0x 处取得极小值；如果当x 取0x 左右侧邻近值时，)(x f '恒为正或恒为负，则函数)(x f 在点0x 处没有极值。

4 第二充分条件
设函数)(x f 在点0x 有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则 如果当0)(0<''x f 时, 函数)(x f 在点0x 处取得极大值； 如果当0)(0>''x f 时, 函数)(x f 在点0x 处取得极小值。

例12．6．2 求函数32)1()(x x x f -=的单调区间和极值。

（0)0(=f 极大值，325
4
53)52(-=f 极小值）
例12．6．3（1）利用二阶导数求函数x x e e y -+=2的极值。

（22极小值）
（2）讨论方程e
xe x 21
=
-的实根个数。

（2个实根） 例12．6．4将中的函数与图中的导函数图形进行匹配。

12.7 函数的最大值最小值问题 例12．7．1求3
12
3
2)1()(--=x x x f 在区间]2,2[-上的最大、最小值。

（最大值是34)2
1
(=±
f ，最小值是3334)2(-=±f ） 例12．7．2
1（06）设正圆锥母线长为5，高为h ，底面圆半径为r ，在正圆锥的体积最大时，=h
r
[ （ C ）] (A) 2
21 (B) 1
(C)2 (D) 3
2．（07） 曲线x
x y 1
+
=的点与单位圆 122=+y x 上的点之间的最短距离为d
则[（D ） ] ( A) 1=d (B) )1,0(∈d (C) 2=d (D) )2,1(∈d
3．（08）已知0),0(3)(32x ＞k ＞kx x x f 当-+=时，总有20)(≥x f 成立，则参数k 的最小取值是[（Ｂ）]。

（A ）32 （ B ）64 （C ）72 （D ）96 12.8 曲线的凹凸、拐点及渐近线 一 曲线的凹凸、拐点
1如果曲线在其任一点切线之上（下），则称此曲线是凹（凸）的。

凹凸的分界点称为曲线的拐点。

2设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，当I x ∈时，0)(>''x f )0(<，则曲线在I 是凹（凸）的。

3如果0)(0=''x f ，且)(x f ''在0x 两侧异号，则（0x ,)(0x f ）时曲线的拐点。

二 曲线的渐近线 1垂直渐近线
当0x x →（-→0x x ，+
→0x x ）时，有∞→)(x f ，称0x x =是曲线=y )(x f 的垂
直渐近线。

2水平渐近线
当∞→x （-∞→x ，+∞→x ）时，有c x f →)(，（其中c 为常数）称c y =是曲线)(x f y =的水平渐近线。

例12．8．1 判断曲线14334+-=x x y 的凹凸，并求拐点。

（在),32(),0,(+∞-∞凹，在)3
2
,0(凸）
例12．8．2求x
e x y 1)6(+=的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。

解 （1）定义域 0≠x
（2）2
1
221
211
)3)(2(6)1()6(x
x x e x x x e x e x e y x
x x
x
-+=--=-++='， 令 0='y 得3,2=-=x x ，令 0=''y 得 13
6-=x (3)
x
)2,(--∞ 2- )136,2(-
- 136- )0,13
6(- 0 )3,0( 3 ),3(+∞ y ' + 0 - - - ⨯ - 0 + y ''
-
-
- 0 +
⨯ +
+
+
y
⋂↑
极大
⋂↓
拐点
⋃↓
⨯
⋃↓
极小
⋃↑
极大值 2
14)2(-
=-e f ，极小值3
19)3(e f =，拐点 )13
72,136(613
-
-e
（4）+∞=+→)(lim 0x f x ，（0)(l
i m 0=-
→x f x ）
，0=x 是垂直渐近线； ∞=∞
→)(l i m x f x , 无水平渐近线。

例12．8．3（1）求12+=x
e y x
的渐近线。

答 0=x 垂直渐近线，1=y 水平渐近线
（2） 证明0≠x 时，x e x +>1。

三 补充题
1 当+∞→x 时，)11ln()(x x f +=与x
x g 1
sin )(=，则[)(B ]
)(A )(x f 与)(x g 是同阶无穷小，但不等价 )(B )(x f 与)(x g 是等价无穷小 )(C )(x f 比)(x g 是高阶无穷小 )(D )(x f 比)(x g 是低阶无穷小
2 下图是关于汽车位移函数的图像。

利用图像回答下列问题。

a) 汽车的初始速度？
b) 汽车在B , C 两点哪一点速度更快？
c) 汽车在A , B , C 三点速度是增快还是减慢？ d) 在D , E 两点之间，汽车的运动状况? 3图中给出了)(x f '的图形，设有以下结论
① )(x f 的单调增区间)9,6()4,2(⋃ ②
)(x f 的单调增区间
)9,8()7,5()3,1(⋃⋃ ③ 7,5,3,1====x x x x 是)(x f 的极值点 ④ 7,5,3,1====x x x x 是曲线)(x f 拐点的横坐标 则以上结论中正确的是[)(D ]
)(A ① ，② )(B ②，③ )(C ③，④ )(D ①，④ 4设)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ， )()(x f x x f y -∆+=∆，则当0>∆x 时有[ ] 5 设)2)(1()(x x x f --=，则[)(C ]
)(A 1=x 是)(x f 的极值点，但)0,1(不是曲线)(x f 的拐点 )(B 1=x 不是)(x f 的极值点，但)0,1(也不是曲线)(x f 的拐点
)(C 1=x 是)(x f 的极值点，且)0,1(是曲线)(x f 的拐点 )(D 1=x 不是)(x f 的极值点，但)0,1(是曲线)(x f 的拐点 6（03）方程x x x x cos sin 2+=的实数根的个数是[)(B ] )(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个
7（04）如下不等式成立的是[)(B ]
)(A 在)0,3(-区间上，)3
l n (3ln x x +<- )(B 在)0,3(-区间上，)3l n (3ln x x +>-
)(C 在),0[+∞区间上，)3l n (3ln x x +>- )(D 在),0[+∞区间上，)3ln(3ln x x +<- 8 （05）函数)
2)(1()(--=
x x x
x x f 在),(+∞-∞上有[ )(D ]
)(A 1条垂直渐近线，1条水平渐近线
)(B 1条垂直渐近线，2条水平渐近线 )(C 2条垂直渐近线，1条水平渐近线 )(D 2条垂直渐近线，2条水平渐近线
9（06）如左图，曲线)(t f P =表示某工厂十年期间的产值变化情况，设)(t f 是可导函数，
从图形上可以看出该厂产值的增长速度是[（ A ）]
A. 前两年越来越慢，后五年越来越快
B ．前两年越来越快，后五年越来越慢
第13章 一元函数的积分学 13.1不定积分的概念和简单的计算 一． 原函数、不定积分的概念 1定义 对于定义在某个区间I 上的函数)(x f ,若存在函数)(x F ，对于该区间I 上的一切x 都有)()('x f x F =成立，则称此)(x F 为)(x f 的原函数。

若
)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F +)(（C 是任意常数） 是)(x f 的全体原函数，
称之为)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(， 即 ⎰+=C x F dx x f )()( 称x 为积分变量，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式。

2 ∙设)(x F ')(x f =
)(x f 为可积的奇函数，则)(x F 是偶函数 )(x f 为可积的偶函数，但)(x F 不一定是奇函数 )(x f 为可积的周期函数，但)(x F 不一定是周期函数 二. 不定积分基本计算公式
（1）C x dx x ++=⎰+111ααα )1(-≠α
（2）C x dx x +=⎰ln 1
（3）C e dx e x x +⎰=
（4）C a a dx a x x +=⎰ln 1 )1,0(≠>a a
（5）⎰+-=C x xdx cos sin （6）⎰+=C x xdx sin cos
（7）C x xdx x
dx +=⎰
=⎰
tan sec cos 22
（8）⎰+-==⎰C x xdx x
dx cot csc sin 2
2
三 不定积分的性质
（1）[]
)()(x f dx x f ='⎰
（2）⎰=dx x f dx x f d )()( (3) C x F dx x F +='⎰)()(
(4) ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 为不等于零的常数) 例13．1．1
（1）已知)(x F 是
x x
ln 的一个原函数，求)(sin x dF 。

（2） C x x x x d ++=+⎰3321
ln )21(ln
（3）dx x
x x
⎰
-cos sin 2cos C x x +-=sin cos
（4）已知)(x f 的一个原函数为x x x
sin 1sin +，求⎰'dx x f x f )()(。

例13．1．2求 ⎰-+-dx x
x x 10
521
1])5
1(5ln 2)21(2ln 51[
C x
x +- 13.2 不定积分的计算方法
1． 第一类换元法（凑微分法）
设)(u F 是)(u f 的原函数，且)(x u ϕ= 可导，则)]([x F ϕ是)()]([x x f ϕϕ'的原函数，即⎰'dx x x f )()]([ϕϕ=⎰du u f )(=C u F +)( =)]([x F ϕ+C （其中)(x u ϕ=） 例13．2．1
（1）⎰+dx x )42cos(π
))4
2sin(21(C x ++π
（2）dx x x ⎰-)
1(1
（C x x +-1ln
） （3）dx a
x ⎰
-2
21
（ C a x a x a ++-ln 21） 例13．2．2
（1） dx x x ⎰+2
21 （C x ++)21ln(412
） (2) dx x
e
x
⎰
（C e
x
+2）
（3) dx x x 3
223-⎰ （C x
+--3
ln 333
2）
例13．2．3 (1) ⎰
+)ln 21(x x dx
（C x ++ln 21ln 2
1）
(2) dx e
e x
x
⎰+1 （C e x ++)1ln(） (3) dx e
x
⎰
+11 （C e x x
++-)1ln(） 例13．2．4设
2
ln )1(22
2
-=-x x x f 且[]x x f ln )(=ϕ，求
⎰dx x )(ϕ。

答1
1
)(-+=
x x x ϕ 2．第二类换元法 设)(t x ϕ=单调可导，
)(t ϕ'0≠且)(t Φ是)()]([t t f ϕ'ϕ的原函数，
则
))(()(1x t -Φ=Φϕ是)(x f 的原函数，即 例13．2．5求dx x
x
⎰+1 3．分部积分法 设
)(),(x v x u 有连续的一阶导数,则
⎰⎰'-='dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()( 即 ⎰⎰-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u 例13．2．6 求不定积分
（1）⎰-dx xe
x 2
1 （C e xe x x +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---21
21
22）
（2）xdx x 2sin ⎰ （C x x x +⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--2sin 212cos 21）
（3）⎰xdx ln （C x x x +-ln ） （4）⎰dx e x （C x e x +-]1[2） （5）⎰xdx e x sin 例13．2．7补充题
1（05）设x x ln 2是)(x f 的一个原函数，则不定积分⎰='dx x f x )([ )(C ] 2（07）设函数)(x f 可导，且1)0(=f ，x x f =-')ln (，则=)1(f [（A ）]。

（A ）12--e （B ） 11--e （C ） 11-+e （D ） 1-e
13.3定积分的概念与性质
一.定积分的概念
设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，在],[b a 中任意插入若干分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间],[b a 分成n 个小区
]
,[],,[],,[12110n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为
,,122011x x x x x x -=∆-=∆1--=∆n n n x x x ，在每个小区间],[1i i x x -上任意取一点
i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1(n i =，并作和 ∑∆==n
i i i x f S 1
)(ξ，记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 怎样分
法，也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样取法,只要当0→λ时，和S 总趋向于确
定的极限I ,这时，称极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作
⎰b a
dx x f
)( ，
即I dx x f b a =⎰)(=∑∆=→n
i i i x f 1
0)(lim ξλ 其中)(x f 叫作被积函数，dx x f )(叫
做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做
积分区间。

二． 定积分的几何意义
在],[b a 上0)(≥x f 时，⎰b
a dx x f )(表示由曲线)(x f y =，两条直线
b x a x ==, 与x 轴所围的曲边梯形的面积; 在],[b a 上)(x f 0≤时，由曲线)(x f y =两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，
⎰b
a dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在],[
b a 上)(x f 既取得正值又取得负值时，函数)(x f 的图形某些部分在x 轴的上方，而其它部分位于x 轴的下方，⎰b
a dx x f )(的几何意义是图中阴影的代数和。

补充规定：
（1） 当b a =时，0)(=⎰b
a dx x f （2） 当
b a >时，⎰-=⎰a b b a dx x f dx x f )()( 三 定积分的性质
设)(),(x g x f 为可积函数，则
(1)⎰±b a dx x g x f )]()([ ⎰±⎰=b
a b a dx x g dx x f )()( （2）⎰=⎰b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 是常数） （3）a b dx b a -=⎰
（4）⎰b a dx x f )( =⎰+⎰b c c a dx x f dx x f )()(
(5) 如果在],[b a 上，0)(≥x f 则0)(≥⎰b a dx x f （6）],[b a 上,)()(x g x f ≤ 则，⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(
（7）dx x f dx x f b a b a ⎰≤⎰)()( )(b a <
(8)设在],[b a 上，M x f m ≤≤)(，则
)()()(a b M dx x f a b m b a -≤⎰≤- (其中M m ,是常数)
（9）如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一个数ξ，使
))(()(a b f dx x f b
a
-ξ=⎰成立。

另外，记住下面公式，常常会化简定积分的计算。

(1)⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-是偶函数是奇函数
)(,)(2)(,0)(0
x f dx x f x f dx x f a a a
（２）如果函数）x f (以T 为周期连续函数，a 是常数，则 例13.3.1比较⎰e
e
xdx 1ln 与⎰e
e
dx x 1ln 的大小。

（⎰e
e
dx x 1ln 大）
例13．3．2 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤--=a
x a x x a x a x f 00)(22，利用几何意义，求⎰-a a dx x f )(。

（
24
2
a -π）
例13．3．3设0)(>x f ，0)(,0)(<''>'x f x f ，按积分值大到小次序排序下列积分
（1）⎰---+
b
a dx a x a
b a f b f a f )]()
()()([，
（2）⎰b a dx x f )(，（3）⎰b a dx a f )(。

13.4微积分基本公式 定积分的计算 一．牛顿—莱布尼兹公式 1 变上限函数定义
设)(x f 可积，⎰=Φx
a dt t f x )()(称为变上限定积分，它是上限变量x 的函数。

2 定理 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=Φx a dt t f x )()(在],[b a 上可导，且)(])([x f x x ='Φ；如果函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x g 可导，则
例13．4．1（1）⎰+x
dt t dx d sin 0
)2ln(求
（2） 设⎰=12
)()(x
dt t f x F ，求)(x F '。

答)(22x xf -
（3）dt t
e x x F t x ⎰
=2
1
2
)(，求)(x F '。

答x 222
21
x x t
xe dt t
e +⎰
例13．4．2 （1）⎰+x
e x dt t dx
d sin )2ln( （2）⎰+x
dt t x dx d sin 0
)2ln( （3）
⎰+x
dx x x dx d sin 0)2ln( （4）⎰+x
dt t dt d sin 0
)2ln(
3 .牛顿—莱布尼兹公式
定理 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，)(x F 为)(x f 的一个原函数，即
)()(x f x F ='，则 )()()()(a F b F x F dx x f b
a b
a -==⎰
例13．4．3计算⎰
-
-22
3cos cos π
π
dx x x 答3
4
例13．4．4 设⎰+=1
2)()(dx x f e x x f x ，求⎰1
)(dx x f 和)(x f 。

二 变量替换法
设函数)(x f 在],[b a 上连续，函数)(t φ满足下列条件
(1) 函数)(t φ在区间],[βα上有连续的导数)(t φ'；
(2) a =)(αφ，b =)(βφ，且当t 在区间],[βα上变化时，关系式)(t x φ=所确定的x 的值不越出],[b a 的范围，若越出，但)(x f 在大的区间上仍连续，则有下式成立
注意：此公式也可以从右边向左边进行，这就是凑微分的方法。

例13．4．5 dx x
⎰
+4
11
（3ln 24-）
三 分部积分法
设函数)(x u 与)(x v 在区间],[b a 上具有连续的导数)(x u '与)(x v '，则有
例13．4．6 （1）dx xe x ⎰-3ln 0 （3ln 3
1
32-）
（2）dx x e e
⎰12ln [)1
1(2e -]
13.5 定积分的应用，平面图形的面积
由直线a x =,b x =曲线)(),(x g y x f y ==所围图形的面积为
⎰-=b
a dx x g x f S )()(
例13．5．1 求由曲线22x y -=，,,x y y x -==所围图形0≥y 部分面积。

（2
5
）
例13．5．2求曲线0,22=+-=y x y y x 所围图形的面积。

答2
9
)3(302=-=⎰dy y y A
例13．5．3求曲线)62(,ln ≤≤=x x y 上的一条切线，使该切线与直线6
,2==x x 及x 轴所围成平面图形面积最小。

（)4(4
1
4ln -=-x y ）
例13．5．4补充题
1已知)(x f 连续且满足⎰⎰-+=1
240
)()(dx x f x x x dt t f x ，求)(x f 。

（1243-+x x ）。

2 设)(x f ，)(x g 在），∞+0[上连续，0)(>x f ， )(x g 单调增加，则
⎰
⎰=
x x dt
t f dt
t g t f x 0
)()()()(ϕ在），∞+0[上单调增加。

3（07）若函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=⎰
-0
0,
)1(1
)(30
3
2
x a
x dt e x x f x t 在0=x 点连续，则=a [（A ）]。

（A ）9- （B ） 3- （C ） 0 （D ） 1
4设⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<=>--=⎰0,cos 10,30,1)
1(2sin )(202
x tdt x x x e e x f x x x 求)(lim 0
x f x →并讨论)(x f 在点0=x 处的连续性。

（3)0(2)(lim 0
=≠=→f x f x ，)(x f 在点0=x 处不连续）
5下列积分中，积分值等于零的是[)(C ]
6（03）设dt t t x f x
)1()(02-=⎰，则)(x f 的极值点的个数是[)(B ]
)(A 0 )(B 1 )(C 2 )(D 3
7（03）甲、乙 两人百米赛跑成绩一样，那麽[)(C ]
)(A 甲、乙 两人每时刻的瞬时速度必定一样 )(B 甲、乙 两人每时刻的瞬时速度必定不一样 )(C 甲、乙 两人至少某时刻的瞬时速度一样 )(D 甲、乙 两人到达终点的瞬时速度必定一样 8（03）设⎰π
=0)sin(cos dx x I 则[)(D ]
9（04） )(x f 为连续函数，且⎰=π
1sin )sin (xdx x x f ，
则=⎰π
cos )sin (xdx x x x f [)(C ]
10（05）设连续函数)(x f y =在],0[a 内严格单调递增，且a a f f ==)(,0)0(，若
)(x g 是)(x f 的反函数，则⎰=+a
dx x g x f 0
)]()([ )(B
11（06）设0>a ，则在[0，a]上方程04142
2
2
2=-+-⎰
⎰
dt t
a dt t a x
a
x
根的个数
为[（B ）]
（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 ( D) 3
12（06）如左图所示，函数)(x f 是以2为周期的 连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，
)(x g 是线性函数，则⎰=2
))((dx x g f [（B ）]
（A ）21 （B ）1 （C ）32 （D ） 2
3
13（08）当0≥x 时，函数)(x f 可导，有非负的反函数)(x g ，且恒等式
⎰
-=)
(1
21)(x f x dt t g 成立，则函数)(x f =[（B ）]．
（A ）12+x （B ）12-x （C ）12+x （D ）2x
14．（08）若x
e -是)(x
f 的一个原函数，则=⎰
dx x f x )(ln 1
2
1
2
[（Ａ）]。

（A ）41
- （ B ）-1
（C ）41
（D ）1。