运动图像、追及相遇问题

运动图象、追及和相遇问题
一、运动图象
1. 位移—时间（x t -）图象：
物体运动的x t -图象表示物体的位移随时间变化的规律，与物体的运动轨迹无任何直接关系。

图1中三条直线对应的x t -关系式分别为0x x vt =+、x vt =、0'()x v t t =-，都是匀速直线运动的图象。

纵轴截距x 0表示0=t 时，a 在b 前方x 0处；横轴截距t 0表示c 比b 晚出发t 0时间；斜率表示运动速度的大小，易见
＞；交点P 可反映t 时刻c 追及b 。

2. 速度—时间（t v -）图象： 物体运动的图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体的运
动轨迹也无任何直接关系。

图2中、、、四条直线对应的关系式分别为=常数、=0+、=、=0－。

是匀速运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度图象，纵轴截距0表示
、的初速度，
横轴截距
m t 表示匀减速直线运动的速度等于零时所需要的时间，斜率表示运
动的加速度，斜率为负值（如
）对应于匀减速直线运动。

图线下方覆盖的
面积表示运动的位移。

两图线的交点P 可反映在时刻两个运动（和）有
相同的速度。

3. x t -图象与t v -图象的比较：
图3和下表是形状一致的图线在x t -图象与t v -图象中的比较。

x t -图象
图象 ① 表示物体做匀速直线运动（斜率表示
速度）。

① 表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度）。

② 表示物体静止。

② 表示物体做匀速直线运动。

③ 表示物体静止。

③ 表示物体静止。

④ 表示物体向反方向做匀速直线运动；初位移为x 0。

④ 表示物体做匀减速直线运动；初速度为v 0。

⑤ 交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移。

⑤ 交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度。

⑥ 0～t 1时间内物体的位移为x 1。

⑥ t 1时刻物体速度为v （图中阴影部分面积表示质点在0～t 1时间内的位移）。

4. 运用图象时需注意的问题
（1）首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所表示的物理量及它们的
函数关系。

特别是对那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。

（2）要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。

①点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态。

②线：表示研究对象的变化过程和规律，如v －t 图象中的图线若为倾斜的直线，则表示物体做匀变速直线运动。

③斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。

如x －t 图象的斜率表示速度大小，v －t 图象的斜率表示加速度大小。

④面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应．如v －t 图线与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。

⑤截距：表示横、纵坐标表示的两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。

由此往往能得到一个很有意义的物理量.
二、追及和相遇问题
1. 追及问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者距离有极值的临界条件。

“追及”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：
①初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体的速度相等，即乙甲v v =。

②匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即乙甲v v =。

判断此种追赶情形能否追上的方法是：假定在追赶过程中两者能达到同一速度，比较此时的位置大小，若x x >甲乙，则能追上，若x x <甲乙，则追不上，且两物体速度相等时，两物体的间距最小；
③速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）
a 、若二者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离。

b 、若速度相等时，有相同位移，则刚好能追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件。

c 、若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值。

2. 追及问题的解题思路是：
（1）分清前后两物体的运动性质；
（2）找出两物体运动的位移、时间关系； （3）列出位移的方程；
（4）当两物体速度相等时，两物体间距离出现极值。

能力提升类
1 t ＝0时，甲、乙两汽车从相距70 km 的两地开始相向行驶，它们的v －t 图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间。

下列对汽车运动状况的描述正确的是
A. 在第1小时末，乙车改变运动方向
B. 在第2小时末，甲、乙两车相距10 km
C. 在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D. 在第4小时末，甲、乙两车相遇
2甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v －t 图象如图所示，图中△OPQ 和△OQT 的面积分别为x 1和x 2（x 2＞x 1），初始时，甲车在乙车前方x 0处
A. 若x 0＝x 1＋x 2，两车不会相遇
B. 若x 0＜x 1，两车相遇2次
C. 若x 0＝x 1，两车相遇1次
D. 若x 0＝x 2，两车相遇1次
3. 如图所示，有一质点从t ＝0时刻开始，由坐标原点出发沿v 轴的方向运动，则以下说法不．
正确的是（ ） A. t ＝1 s 时，质点离开原点的位移最大
B. t ＝2 s 时，质点离开原点的位移最大
C. t ＝4 s 时，质点回到原点
D. 0到1 s 与3 s 到4 s 质点的加速度相同
4. 利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体运动的图象。

某同学在一次实验中得到的运动小车的速度—时间图象如图所示，以下说法错误的是（ ）
A. 小车先做加速运动，后做减速运动
B. 小车运动的最大速度约为0.8 m/s
C. 小车的位移一定大于8 m
D. 小车做曲线运动
5. 小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取g ＝10 m/s 2.则下列说法不．
正确的是（ ） A. 小球下落的最大速度为5 m/s
B. 小球第一次反弹的初速度的大小为3 m/s
C. 小球能弹起的最大高度为0.45 m
D. 小球能弹起的最大高度为1.25 m
6.如图所示，为三个运动物体的v －t 图象，其中A 、B 两物体是从不同地点出发，A 、C 是从同一地点出发，则以下说法正确的是（ ）
A. A 、C 两物体的运动方向相反
B. t ＝4 s 时，A 、B 两物体相遇
C. t ＝4 s 时，A 、C 两物体相遇
D. t ＝2 s 时，A 、B 两物体相距最远
7、 甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。

为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。

在某次练习中，甲在接力区前x 0＝13.5 m 处作了标记，并以v ＝9 m/s 的速度跑到此标记处时向乙发出起跑口令。

乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。

已知接力区的长度L ＝20 m 。

求：
（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a ；
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

8 、A 、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。

当 B 车在A 车前84 m 处时，B 车速度为4 m/s ，且正以2 m/s 2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B 车加速度突然变为零。

A 车一直以20 m/s 的速度做匀速运动。

经过12 s 后两车相遇。

问B 车加速行驶的时间是多少？
9. A 车从静止开始以2
/1s m a A =的加速度前进，A 车后相距为m s 250=处，B 车以
s m v B /6=的速度沿A 车运动的方向匀速追赶A 车，能否追上A 车？若追不上，求两车间
的最小距离s 。

（两车都可看作质点）
参考答案:
1、BC
2、ABC 、
3、A
4、D
5、D
6、C
7、解：设甲从离接力区13.5 m 处到追上乙所用时间为t ，乙从开始起跑到被甲追上，所跑的路程为x ，甲、乙二人所用时间相等。

（1）对甲：13.5＋x
v ＝t
对乙：x ＝1
2
at2，且v ＝at ＝9 m/s
由以上各式可解得：a ＝3 m/s2，t ＝3s ，x ＝13.5 m （2）完成交接棒时，乙离接力区末端的距离为 L －x ＝20 m －13.5 m ＝6.5 m.
8、解：设A 车的速度为v A ，B 车加速行驶时间为t ，两车在t 0时相遇。

则有 0t v s A A = ①
))((2
1
02t t at v at t v s B B B -+++=
② 式中，t 0 =12s ，s A 、s B 分别为 A 、B 两车相遇前行驶的路程。

依题意有 s s s B A += ③
式中 s ＝84 m 。

由①②③式得[]0
)(22002=--+-a s t v v t t t A B ④ 代入题给数据v A =20m/s ，v B =4m/s ，a =2m/s 2
，
有 0108
242=+-t t ⑤ 解得t 1=6 s ，t 2=18 s ⑥
t 2＝18s 不合题意，舍去。

因此，B 车加速行驶的时间为 6 s 。

9、. 解：当A B v v >时s BA 减小，B 追上A 前A B v v =时两者间距离最小。

设经时间t 1后
A B v v =，即t a v A B ⋅=，得s s a v t A B 61
6
===。

由m m t a s A A 18612
1
2122=⨯⨯==
m m t v s B B 3666=⨯=⋅= 知B A s m s s >+=+)2518(0
故B 追不上A
两车间的最小距离m s s s s B A 70=-+=。