长宁区2019学年初三一模数学试卷含答案

长宁区2019学年初三⼀模数学试卷含答案
长宁区2019学年第⼀学期初三数学教学质量检测试卷
（考试时间：100分钟满分：150分）
考⽣注意:
1.本试卷含三个⼤题,共25题.答题时,考⽣务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题⼀律⽆效.
2.除第⼀、⼆⼤题外,其余各题如⽆特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
⼀、选择题（本⼤题共6题, 每题4分, 满分24分）
【每题只有⼀个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上⽤2B 铅笔正确填涂】 1. 下列函数中是⼆次函数的是
（A ）2
2x
y =
；（B ）22)3(x x y -+=；（C ）122
-+=x x y ；（D ）)1(-=x x y . 2. 如图，已知在平⾯直⾓坐标系xOy 内有⼀点）
，（32A ，那么OA 与x
的夹⾓α的余切值是（A ）
23；（B ）3
2
；（C ）13133；（D ） 13132.
3. 将抛物线3)1(2
-+=x y 向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（A ） 3)1(2
--=x y ；（B ）3)3(2
-+=x y ；
（C ）1)1(2
-+=x y ；（D ）5)1(2
-+=x y . 4. 下列命题正确的是
（A ）如果b a
=，那么b a =；（B ）如果b a 、都是单位向量，那么b a =；（C ）如果)0(≠=k b k a ，那么b a
// ；
（D ）如果0=m 或0 =a ，那么0=a m
．
5. 已知在矩形ABCD 中，5=AB ，对⾓线13=AC ，⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是
（A ）⊙C 与直线AB 相交；（B ）⊙C 与直线AD 相切；（C ）点A 在⊙C 上；（D ）点D 在⊙C 内.
6. 如果点D 、E 、F 分别在ABC ?的边AB 、BC 、AC 上，联结EF DE 、，且AC DE //，那么下列说法错误的是
（A ）如果AB EF //，那么AB BD AC AF ::=；（B ）如果AC CF AB AD ::=，那么AB EF //；（C ）如果EFC ?∽BAC ?，那么AB EF //；（D 如果AB EF //，那么EFC ?∽BDE ?.
第2题图
⼆、填空题（本⼤题共12题, 每题4分, 满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7. 计算：=++-)(3)2(2b a b a
▲．
8. 如果
2
3
=-y x x ，那么y x 的值等于▲．
9. 已知点P 在线段AB 上，且满⾜AP AB BP ?=2
，则
AB
BP
的值等于▲． 10. 已知抛物线2
)1(x a y +=的开⼝向上，则a 的取值范围是▲． 11. 抛物线122
-=x y 在y 轴左侧的部分是▲．（填“上升”或“下降”） 12. 如果⼀条抛物线经过点)5,2(A ，)5,3(-B ，那么它的对称轴是直线▲．13. 如图，传送带把物体从地⾯送到离地⾯5⽶⾼的地⽅，如果传送带与地⾯所成的斜坡的坡度
4.2:1=i ，那么物体所经过的路程AB 为▲⽶．
14. 如图，AC 与BE 交于点D ，?
=∠=∠90E A ，若点D 是线段AC 的中点，且10==AC AB ，则
BE 的长等于▲．
15. 如图，在ABC Rt ?中，?
=∠90BAC ，点G 是重⼼， 4=AC ，3
1tan =
∠ABG ，则BG 的长是▲．
16. 已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆⼼距为17，则这两圆的公共弦长为▲． 17. 如果直线l 把ABC ?分割后的两个部分⾯积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做ABC ?的“完美分割线”．已知在ABC ?中，AC AB =，ABC ?的⼀条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平⾏于
BC ，若2=AB ，则BC 的长等于▲．
18. 如图，在ABC Rt ?中，?
=∠90ABC ，2=AB ，4=BC ，点P 在边BC 上，
联结AP ，将ABP ?绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则B B '的长等于▲．
三、解答题（本⼤题共7题, 满分78分）
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）
计算：22sin 30tan 60cot 45cos 60cos30sin 45-?+?
-
．
第15题图第18题图
A
B
第13题图
传送带第14题图
E D
B C
A
20．（本题满分10分，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题4分）
如图，在梯形ABCD 中，点E 、 F 分别在边AB 、CD 上，BC EF AD ////，
EF 与BD 交于点G ，5=AD ，10=BC ，
32
=EB AE ．（1）求EF 的长；
（2）设a AB =，b BC =，
那么=DB ▲；=FC ▲（⽤向量a 、b 表⽰）．
21．（本题满分10分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题5分）
如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，且AC BC =，联结AO 、CO ，并延长CO 交弦AB 于点D ，34=AB ，6=CD （1）求OAB ∠的⼤⼩；
（2）若点E 在⊙O 上，AO BE //，求BE 的长．
22．（本题满分10分）
图1是⼀台实物投影仪，图2是它的⽰意图，折线C B A O ---表⽰⽀架，⽀架的⼀部分
B A O --是固定的，另⼀部分B
C 是可旋转的，线段C
D 表⽰投影探头，OM 表⽰⽔平桌⾯，
OM AO ⊥，垂⾜为点O ，且7cm =AO ，?=∠160BAO ，OM BC //，cm 8=CD ．
将图2中的BC 绕点B 向下旋转?
45，使得BCD 落在D C B ''的位置（如图3所⽰），此时OM D C ⊥''，OM D A //'，16cm ='D A ，求点B 到⽔平桌⾯OM 的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1 cm ）
23.（本题满分12分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题7分）
如图，在ABC ?中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，
AE 与CD 交于点F ．若AE 平分BAC ∠，AE AC AF AB ?=?
（1）求证：AEC AFD ∠=∠；
（2）若CD EG //，交边AC 的延长线于点G ，
求证：BD FC CG CD ?=?．
第20题图 A B C
D E F
G
图1
第21题图 A
B
C
D O
图3
M
D '
O
A B
C ' 45°
160°
第23题图
G
A
C E D
F 图2 M O A B
160°
C D
24.（本题满分12分，每⼩题4分）
如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++=2
3
1经过点)1,6(B 、)0,5(C ，且与y 轴交于点A ．
（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；
（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的⼀点，过点P 作OA PQ ⊥，交线段OA 的延长线于点Q ，如果=∠45PAB ，求证：PQA Δ∽ACB Δ；
（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的⼀点，且点F 关于AC 的对称点F '恰好在上述抛物线
上，求F F '的长．
25.（本题满分14分，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题4分）
如图，已知在ABC Rt ?中，?
=∠90C ，8=AC ，6=BC ，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且CQ AP =，过点P 作AB PM ⊥，垂⾜为点M ，联结PQ ．以PM 、PQ 为邻边作平⾏四边形PQNM ．设x AP =，平⾏四边形PQNM 的⾯积为y ．（1）当平⾏四边形PQNM 为矩形时，求PQM ∠的正切值；
（2）当点N 在ABC ?内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点P 且平⾏于BC 的直线经过平⾏四边形PQNM ⼀边的中点时，直接写出x 的值．
A
B
C
备⽤图
A
B
C
P Q
M N
A
B
C
备⽤图
x
长宁区2019学年第⼀学期初三数学参考答案和评分建议
2019.1
⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ．⼆．填空题：（本⼤题共12题，满分48分） 7．b a
-5； 8．3； 9．
215-； 10．1->a ； 11．下降； 12．2
1
-=x ； 13．13； 14．56； 15．
310
4； 16．17
240； 17．424-； 18．5102．
三、（本⼤题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）解：原式= 2
12321
1)3(2
12-+
-? (6分) =
1
32
- (2分) =13+ (2分) 20．（本题满分10分，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题4分）解：（1）∵
32=EB AE ∴35=EB AB ， 5
2
=AB AE （1分）∵AD EF // ∴EB AB
EG AD =
∵5=AD ∴35
5=EG ∴ 3=EG （2分）
∵BC EF // ∴DC DF BC GF = ⼜∵BC EF AD //// ∴DC
DF
AB AE =
∴AB AE BC GF = ∵10=BC ∴5
2
10=GF ∴4=GF （2分）
∴743=+=+=GF EG EF （1分）
（2）21-=，
10
3
53+= （2分+2分） 21．（本题满分10分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题5分）解：（1）设圆O 的半径为r ,则OD 的长为r -6 （1分）
∵CD 过圆⼼O , AC BC = ∴322
1
==
AB AD ，AB CD ⊥（1分）在ADO Rt ?中，?
=∠90ADO ∴ 2
2
2
OD AD AO +=
∴2
22)6()32(r r -+= ∴4=r （2分）在
ADO Rt ?中，?=∠90ADO ， 2
3
432cos ===
∠AO AD BAO ∴ ?
=∠30BAO （1分） (2) 过点O 作 BE OH ⊥，垂⾜为点H ，∴BH BE 2= （1分）∵ AO BE // ∴?
=∠=∠30OAB EBA （1分）联结BO ，∴ 4==AO BO ∴?
=∠=∠30OAB OBA
∴?
=∠+∠=∠60OBA EBA OBH （1分）在OBH Rt ?中，?
=∠90BHO ， BO
BH OBH =
∠cos ∴260cos 4==?
BH （1分）∴42==BH BE （1分） 22．（本题满分10分）解：过点B 作C D ''的垂线交C D ''的延长线于点E ，延长OA 交BE 于点F ，
设x E C ='，由题意可知：
=∠70EBA ，?='∠45C EB ，8=''D C ，16='=D A EF ，8+='=x E D AF （4分）
在 C BE Rt '?中，?
='∠90C BE ， E
C BE
C EB '=
'∠cot 得 x E C E C C EB E C BE ='='='∠'=?
45cot cot （1分）∴ 16-=-=x EF BE BF （1分）在 BFA Rt ?中，?
=∠90BFA ， BF AF ABF =
∠tan 得16
870tan -+=?
x x ∴5.2936
.0136
.081670cot 170cot 816=-?+≈-+=
x （1分）∴cm 455.44785.2978≈=++≈++=+=x AO AF FO ．（1分）
∴点B 到⽔平桌⾯OM 的距离约为45cm （1分） 23．（本题满分12分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题7分）证明：
（1）∵AE AC AF AB ?=? ∴
AF
AE
AC AB =
（1分）∵AE 平分BAC ∠∴CAF BAE ∠=∠（1分）∴ABE ?∽ACF ? （1分）∴ACF B ∠=∠（1分）⼜∵BAE B AEC CAF ACF AFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,
∴AEC AFD ∠=∠（1分） (2)∵AEC AFD ∠=∠，CFE AFD ∠=∠∴AEC CFE ∠=∠（1分）
∴CE FC = （1分）
∵CD EG // ∴CEG DCB ∠=∠ G ACF ∠=∠
⼜∵B ACF ∠=∠∴G B ∠=∠（2分）∴BCD ?∽GEC ? （1分）
∴
CG BD
CE CD =
（1分）∴CG
BD FC CD =
即BD FC CG CD ?=?．（1分） 24．（本题满分12分，每⼩题4分）解：（1）∵抛物线n mx x y ++=
2
3
1过点)1,6(B 、 )0,5(C ∴ =++?=++?0553
1166312
2
n m n m ∴=-
=5
38n m （2分）∴53
8
312+-=x x y （1分）
令0=x 得5=y ，∴点A 的坐标为)5,0( （1分）（2）∵)5,0(A ，)1,6(B ，)0,5(C ∴25=AC ，2=BC ，132=AB
∴222BC AC AB += ∴?
=∠90ACB
⼜∵OA PQ ⊥∴?
=∠90PQA ∴ACB PQA ∠=∠（1分）∵)5,0(A ，)0,5(C ∴OC OA =，∵?=∠90AOC ∴?
=∠=∠45OCA OAC （1分）∵?
=∠+∠+∠+∠180CAO BAC PAB QAP ， ?
=∠45PAB
∴?
=∠+∠90BAC QAP ∵?
=∠+∠90BAC ABC ∴ABC QAP ∠=∠（1分）
∴PQA Δ∽ACB Δ （1分）（3）设点B '是点B 关于直线AC 的对称点，则2=
='BC C B ，?=∠='∠90ACB B AC
过点B 作x B ⊥'G 轴，垂⾜为点G ∵?
=∠+'∠90OCA CO B ， ?
=∠45OC A ，
∴?
='∠45CO B ∴1=='GC G B ∴），（1-4B ' （1分）
∵点F '同时在线段B A '与抛物线上，∴设)53
8
31,
(F 2+-'x x x 分别过点F '，B '作轴y H F ⊥'，轴y H ⊥''B ，垂⾜分别为H 、H '，则H B H//F '''∴H A AH H B H F B A F A '=
'''='' 即6
313842x
x x -= ∴27=x （1分）⼜∵AC F F ⊥'，AC B B ⊥' ∴B //B F F '' ∴ B B F F B A F A '
'
=
'' ∴ 8
7427
=='''=''H B H F B B F F （1分）
∵222==BC BB ∴
8
722='F F ∴247
='F F （1分）
25．（本题满分14分，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题4分）
解：（1）∵四边形PQNM 是矩形∴?=∠90MPQ ∵AB PM ⊥，∴?=∠90PMB
∴?=∠+∠180PMB MPQ ∴AB PQ // ∴CPQ A ∠=∠（1分）在ABC Rt ?中，?
=∠90C ，8=AC ，6=BC ，∴10=AB ， 5
3
106sin ===
AB BC A ∴在PMA Rt ?中，?
=∠90AMP ，AP A AP PM 5
3
sin =?= （1分）在PCQ Rt ?中，?
=∠90C ，CQ CPQ CQ PQ 3
5
sin =∠=
∵CQ AP = ∴AP PQ 3
5
=
（1分）∴ 259
3
553tan =
==∠AP AP
PQ PM PQM （ 1分）（2）过点Q 作AB QH ⊥，垂⾜为点H 在ABC Rt ?中，?
=∠90C ，8=AC ，6=BC ，10=AB
∴ 54108cos ===
AB AC A ， 5
3
106cos ===AB BC B ∴在PMA Rt ?中，?
=∠90AMP ，x AP A AP AM 5
454cos ==?= （1分）
在BHQ Rt ?中，?
=∠90BHQ ，x CQ BC BQ -=-=6 ∴ )6(5
3
cos x B BQ BH -=
= （1分）
∴ x x x BH AM AB MH 5
1532)6(535410-=---=--= （1分）由（1）知，x PM 5
3
=
，∴)7
24
0(2532596)51532(532<<-=-=?=x x x x x MH PM y （ 2+1分）（3） 43200或59
400 （ 2+2分）。