数学复习：第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用.函数模型及其应用

2．8 函数模型及其应用
1．函数的实际应用
(1)基本函数模型：
函数模型函数解析式
一次函数
模型
二次函数
模型
指数型函数模型f（x）＝ba x＋c(a,b，c 为常数，a＞0且a≠1，
b≠0)
对数型函数模型f（x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a＞0且
a≠1，b≠0）
幂型函数模型f(x)＝ax n＋b（a，b为
常数，a≠0)
比较
函数
性质
y＝a x（a
＞1）
y＝
log a x(a
＞1）
y＝x n
（n＞
0）
在(0,
＋∞)
上的
单调
性
单调
____函
数
单调
____
函数
单调
____
函数
增长
速度
越来越
____
越来
越
____
相对
平稳
图象
的
变化
随x值
增大，
图象与
____轴
接近平
随x值
增大，
图象
与
____
随n值
变
化而
不同
行轴接
近平
行
2。

函数建模
（1）函数模型应用的两个方面：
①利用已知函数模型解决问题；
②建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测．(2）应用函数模型解决问题的基本过程：、、、.
自查自纠
1．（1）f(x）＝ax＋b(a,b为常数，a≠0）
f(x）＝ax2＋bx＋c(a，b,c为常数,a≠0)
(2)增增增快慢y x
2．审题建模解模还原
手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低错误!,则现在价格为2 560元的手机,两年后价格可降为（）
A．900元
B．810元
C．1 440元D．160元
解：半年降价一次，则两年后降价四次，
其价格降为2 560×错误!错误!＝810元．故选B.
（错误!)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05,lg1。

3≈0。

11,lg2≈0.30)（)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
解：设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12％）x＝200，解得x＝log1。

12错误!＝错误!≈3。

80，因资金需超过200万，则x取4,即2019年．故选B。

(错误!）某部门为实现当地菜价稳定,提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q 与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中,运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（)
解：运输效率（单位时间的运输量）逐步提高,即对应曲线上的点的切线斜率逐渐增大，只有B项符合要求．故选B.
规定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)＝1.06(0。

50×＋1)(单位：元）给出,其中m〉0，记为大于或等于m的最小整
数，如＝4，＝3，＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为________元．
解：因为f（5.5）＝1.06(0.50×＋1)＝1.06（0。

50×6＋1)＝4.24。

故填4.24.
某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析,每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x(x∈N)满足如图所示的二次函数关系，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润错误!最大．
解：由图象知，营运总利润y＝-（x-6）2＋11.
所以营运的年平均利润错误!＝-x-错误!＋12。

当且仅当x＝5时，
y
x取最大值．故填5.
类型一幂型函数模型
为迎接2017年“双十一网购狂欢节"，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售某产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一"的销售量p万件与促销费用x万元满足：p＝3-错误!（其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本（10＋2p）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为错误!元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
(1)将该产品的利润y万元表
示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解:（1）由题意知，y＝错误! p-x-(10＋2p)，
将p＝3—错误!代入化简得:y ＝16-错误!-x(0≤x≤a)．
（2)y＝17—错误!≤17—2错误!＝13，
当且仅当错误!＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当a≥1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大；
当a〈1时，y＝17-错误!在上单调递增，所以x＝a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a<1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大．
【点拨】①列函数关系式时，注意自变量的取值范围;②求最值这里运用了均值不等式法,要特别注意取等条件．通常换元法、导数法也是解这类题比较常用的方法；③本题中函数的定义域含有参数，所以要对参数进行分类讨论来确定函数的最大值在何处取到，结果也要分别列出．
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x（单位:元/千克）满足关系式y＝错误!＋10(x—6）2.其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克
时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时,y＝11，所以错误!＋10＝11，a＝2.
（2)由(1）可知,该商品每日的销售量
y＝错误!＋10(x—6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x-3)错误!
＝2＋10（x—3)(x-6）2，3〈x<6.
从而，f ′（x)＝30(x—4)（x—6)．
于是，当x变化时，f ′(x),f （x)的变化情况如下表：
x（3,4）4（4,6) f ′
（x)
＋0—
f(x)↗
极大
值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x）在区间（3,6）内的极大值点,也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
类型二指数型函数模型
一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10
年，为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的错误!,已知到2016年为止,森林剩余面积为原来的错误!.
(1）求每年砍伐面积的百分比；
(2）到2016年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3）从2016年起，还能砍伐多少年?
解：(1）设每年降低的百分比为x（0＜x＜1），
则a（1-x）10＝错误!a,即(1-x）10＝错误!,
解得x＝1—错误!错误!.
(2)设经过m年剩余面积为原来的错误!,
则a(1—x）m＝错误!a，即错误!错误!＝错误!错误!,
即错误!＝错误!,解得m＝5。

故到2016年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从2016年起还能砍伐n 年，
则n年后剩余面积为错误! a(1—x)n。

令错误!（1—x)n≥错误!a，即(1-x)n≥错误!，
所以错误!错误!≥错误!错误!，解得n≤15.
故从2016年起还能砍伐15年．
【点拨】此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y＝a（1＋x）n（其中a为基础数,x为增长率，n为时间）
的形式表示．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知对应求解．
（错误!)某种树苗栽种时高度为A（A为常数)米，栽种n 年后的高度记为f（n)．经研究发
现，f（n)近似地满足f(n)＝
9A
a＋bt n，
其中t＝232-，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A。

已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
解：由题意知f(0）＝A,f(3）＝3A。

所以错误!解得a＝1，b＝8。

所以f(n）＝错误!，其中t＝232-。

令f（n）＝8A,得错误!＝8A，解得t n＝错误!,
即232n-＝错误!＝2-6,所以n＝9.
答：栽种9年后,该树木的高度是栽种时高度的8倍．
类型三对数型函数模型
某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈时,奖金为y万元，且y＝log a x，y∈，且年销售额越大，奖金越多;③年销售额超过64万元，按年销售额的10％发奖金．
(1）求奖金y关于x的函数解析式；
（2)某营销人员争取年奖金y∈(万元),年销售额x（万元）在什么范围内．
解：（1)依题意y＝log a x在x∈上为增函数，
所以有错误!⇒a＝2，
所以y＝错误!
(2）易知x≥8.
当8≤x≤64时，要使y∈,
则4≤log2x≤10⇒16≤x≤1 024，
所以16≤x≤64。

当x＞64时，要使y∈⇒40≤x≤100，
所以64＜x≤100。

综上可得,当年销售额x在（万元)内时,y∈(万元)．
【点拨】注意根据题中条件找准对应量,列出函数解析式(这里是分段式)，再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值"问题．
（错误!）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是(单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位:万元)随投资收益x（单位：万元)的增加而增加,且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20％.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件;
（2）现有两个奖励函数模型：(Ⅰ）y＝错误!x＋1;（Ⅱ)y＝log2x—2。

试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：（1)设奖励函数模型为y ＝f(x)，则该函数模型满足的条件
是：
①当x∈时，f（x）是增函数；
②当x∈时，f（x）≤5恒成立;
③当x∈时，f(x）≤错误!恒成立．
（2）对于函数模型（Ⅰ)y＝
错误!x＋1，它在上是增函数，满足条件①;
但当x＝80时,y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司
要求．
对于函数模型(Ⅱ）y＝log2x-2，它在上是增函数,满足条件①；
当x＝100时，y max＝log2100—2＝2log25〈5,即f(x）≤5恒成立，满足条件②;
设h（x)＝log2x-2—错误!x，则h′(x)＝错误!-错误!，又x∈,所以错误!≤错误!≤错误!，所以h′（x）≤错误! -错误!＜错误!—错误!＝0，所以h（x)在上是递减的，因此h(x）≤h(10）＝log210—4<0，即f（x）≤错误!恒成立，满足条件③.
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型y＝log2x—2符合公司要求．
类型四分段函数模型
某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时，每吨为1。

80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3。

00元．某月甲、乙两户共交水费y
元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x（吨)．
(1）求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解:（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨,y＝1。

8（5x＋3x)＝14。

4x；
当甲的用水量超过4吨且乙的用水量不超过4吨时，即5x>4且3x≤4时，y＝4×1。

8＋3x×1.8＋3(5x—4）＝20。

4x-4。

8。

当乙的用水量超过4吨,即3x〉4时，
y＝2×4×1。

8＋3×＝24x-9。

6。

所以y＝错误!
（2)由于y＝f（x)在各段区间上均单调递增；
当x∈错误!时，y≤14.4×错误! <26。

4;
当x∈错误!时，y≤20。

4×错误!—4。

8<26。

4；
当x∈错误!时，令24x-9。

6＝26.4，解得x＝1。

5。

所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨,
付费S1＝4×1。

8＋3。

5×3＝17。

70(元）；
乙户用水量为3x＝4.5吨,
付费S2＝4×1.8＋0。

5×3＝8。

70(元）(或26.4—17。

7＝8.70（元））．
【点拨】对于分段函数应用题，尤其是求值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合
起来．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集,最大(小）值是各段上最大（小）值中最大（小)的．
（错误!)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种把二氧化碳处理转化为可利用化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y（元)与月处理量x（t）之间的函数关系可近似地表示为y＝错误!且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1)当x∈时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？
解:（1)当x∈时，设该项目获利为S,
则S＝200x-错误!
＝—错误!x2＋400x-80 000＝-
错误!(x—400）2，
所以当x∈时,S<0,因此该项
目不获利．
当x＝300时，S取得最大值
-5 000，
所以国家每月至少补贴 5
000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意，可知二氧化碳每
吨的平均处理成本为
错误!＝错误!
①当x∈时，曲线是二次函数图象的一部分,当t∈时，曲线是函数y＝log a（t-5）＋83(a〉0且a≠1）图象的一部分．根据专家介绍,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式;
(2)教师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由．
解：（1)t∈（0,14]时，
设p＝f（t)＝c(t-12)2＋82（c<0),
将（14，81）代入得c＝—错误!，
所以t∈(0，14]时，p＝f(t）＝—错误!（t—12）2＋82；
t∈时，将(14，81）代入y＝log a(t-5）＋83，得a＝错误!，
所以p＝f(t)＝错误!
（2）当t∈（0，14］时，由-错误!（t-12）2＋82≥80，
解得12-2错误!≤t≤12＋2错误!，所以t∈．
当t∈(14，40］时,由log错误! (t-5）＋83≥80，解得5〈t≤32，所以t∈（14，32］，所以t∈，
即教师在t∈时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．
11．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形）被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取
一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的定义域．
（2）求矩形BNPM面积的最大值．
解:(1）如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8-y,EQ＝x—4，
在△EDF中,错误!＝错误!，
即错误!＝错误!，所以y＝-错误!x ＋10,
定义域为{x｜4≤x≤8｝．
（2)设矩形BNPM的面积为S，
则S（x）＝xy＝x错误!＝—错误! (x-10)2＋50，（4≤x≤8)
所以S(x）是关于x的二次函数，当x∈时S（x）单调递增，所以当x＝8米时，矩形BNPM 面积最大，最大值为48平方米．答:矩形BNPM面积的最大值为48平方米．
(错误!)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1，l2的距离分别为20千米和 2.5千
米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝错误!(其中a,b为常数）模型．
(1)求a,b的值；
（2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
解：(1）由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40),(20，2.5），将其分别代入y＝错误!,得错误!解得错误!
(2）①由(1）知，y＝错误!（5≤x≤20)，则P错误!，
所以y′＝-错误!，
所以切线l的方程为y—
1 000
t2＝—错误!（x-t），
设在点P处的切线l交x，y 轴分别于A，B两点,
则A错误!，B错误!，
所以f(t）＝错误!＝错误!错误!，t ∈；
②设g(t)＝t2＋错误!，则g′（t)＝2t-错误!，
令g′(t)＝0，解得t＝10 2.
当t∈（5，10错误!）时，g′（t）＜0，g(t)是减函数；
当t∈（10错误!，20）时，g′（t）＞0，g（t)是增函数，
故t＝10错误!时，函数g(t)有极小值也是最小值，
所以g(t)min＝300,此时f(t）min
＝15错误!.
答：当t＝10错误!时,公路l的长度最短，最短长度为15错误!千米．。