中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题(含答案)

中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题（含答案）
一、单选题
1．二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ） A ．1
B ．2
C ．2-
D ．3
2．抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．(9,3)-
B ．(9,3)--
C ．(9,3)
D ．(9,3)-
3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（ ）
A 6m
B ．26m
C ．
)
64m
D ．()
264m
4．二次函数()2
25y x =+-的图象的顶点坐标是（ ） A ．2,5
B ．()2,5
C ．()2,5--
D ．()2,5-
5．在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y -，，，，，在抛物线22y ax ax c =-+上，当0
a >时，下列说法一定正确的是( ) A ．若120y y <，则30y > B ．若230y y >，则10y < C ．若130y y <，则20y >
D ．若1230y y y =，则20y =
6．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(1，0)
B ．(－1，0)
C ．(1，2)
D ．(－1，2)
7．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．()2
323y x =++
B ．()2
323y x =-+
C ．()2
332y x =++
D ．()2
332y x =-+
8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解
析式为2
1(3)9y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该
同学出手点A 的坐标为16
(0)9
，，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）
A ．7m
B ．7.5m
C ．8m
D ．8.5m
9．关于抛物线2(1)y x =-，下列说法错误的是( ) A ．开口向上
B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小
C ．对称轴是直线1x =
D ．顶点()1,0
10．一次函数y x a =+与二次函数2y ax a =-在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD 为14的奖杯，杯
体轴截面ABC 是抛物线2
459
y x =
+的一部分，则杯口的口径AC 为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12．下表中列出的是一个二次函致的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是（ ） x … 2- 0 1 3 …
y … 6- 4 6 4 …
A ．函数的图象开口向上
B ．函数的图象与x 轴无交点
C ．函数的最大值大于6
D ．当12x -≤≤时，对应函数y 的取值范围是
36y ≤≤
二、填空题
13．已知函数221y mx mx =++在32x -上有最大值4，则常数m 的值为 __.
14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是 _____．
15．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成
如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．
16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面上升1.5m ，则水面宽度为________．
17．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．
18．在平面直角坐标系中，抛物线2y
x 的图象如图所示，已知A 点坐标()1,1，过点A 作
1AA x ∥轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∥交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∥轴交
抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∥交抛物线于点4A ，…，依次进行下去，则点2022A 的坐标为______．
19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面下降0.5m ，那么水面宽度增加________m ．
20．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米
三、解答题
21．已知关于x 的方程2(23)0mx m x m +-+=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．
22．已知关于x 的一元二次方程x 2+x −m =0．
(1)设方程的两根分别是x 1，x 2，若满足x 1+x 2=x 1•x 2，求m 的值． (2)二次函数y =x 2+x −m 的部分图象如图所示，求m 的值．
23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可
售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。

设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．
(1)请写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；
(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？
24．一商店销售某种商品， 平均每天可售出20件， 每件盈利40元． 为了扩大销售、 增加盈利， 该店采取了降价措施， 在每件盈利不少于25元的前提下， 经过一段时间销售， 发现销售单价每降低1元， 平均每天可多售出2件． (1)若销售单价降低5元， 那么平均每天销售数量为多少件？ (2)若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价多少元？ (3)当每件商品降价多少元时， 商店可获得最大利润？ 最大利润为多少元？
25．已知拋物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的表达式． (2)连接AC ，BC ，求ABC
S
．
(3)拋物线上是否存在一点E ，使得2
3
ABE ABC S S =△△？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点2,c (1)若该二次函数图象与x 轴的一个交点是1,0
①求二次函数的表达式；
②当2t x t ≤≤-时，函数最大值为M ，最小值为N ．若3M N -=，求t 的值；
(2)对于该二次函数图象上的两点()()112,,3,A x y B y ，当11m x m +≤≤时，始终有12y y ≥．求m 的取值范围．
27．如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x 轴，立柱所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．
28．如图，抛物线y ＝3
4x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交轴于点C ，点A ，B 的坐标分别为
（-1，0），（4，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，求△CPB 的面积最大时点P 的坐标； (3)若M 是抛物线上一点，且∠MCB ＝∠ABC ，请直接写出点M 的坐标。

参考答案 1．C2．B3．B4．C5．A6．A7．A8．C9．B10．B11．C12．C 13．38
或3- 14．13x -＜＜
15． 8 128平方米##128m 2 16．2m 17．15
18．()
2
1012,1012
19．()
254 20．0.64
21．解：由已知可得： （2m -3）2-4m 2>0，且m ≠0 解之可得：3
4
m <
且m ≠0． 22．（1）解：由题意得：x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-m ， ∴-1=-m ． ∴m =1．
当m =1时，x 2+x -1=0，
此时Δ=1+4m =1+4=5＞0，符合题意． ∴m =1；
（2）解：图象可知：过点（1，0）， 当x =1，y =0，代入y =x 2+x -m ，得 12+1-m =0． ∴m =2．
23．（1）解：由题意得：30010(44)10740y x x =--=-+， 每本进价40元，且获利不高于30%， 即最高价为52元，即52x ， 故：4452x ，
10740,4452y x x =-+，
（2）解：2(40)(10740)10(57)2890w x x x =--+=--+， 当57x <时，w 随x 的增大而增大，
而4452x ，所以当x =52时，w 有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润2640元．
24．（1）解：根据题意可得：
205230+⨯=(件)
答：平均每天销售数量为30件；
（2）解：设每件商品降价x 元，则每件盈利()40x -元，平均每天可售出()202x +件，根据题意得：
()()402021200x x -+=
∴110x =，220x = ∵4025x -≥ ∴15x ≤ ∴10x =
答：若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价10元； （3）解：设每件商品降价x 元，商店可获得利润为ω元，根据题意得：
()()()2
2402022608002151250x x x x x ω=-+=-++=--+
∵20-<，15x ≤
∴当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和一元二次方程的应用，找出相等关系，根据题意正确列出二次函数的解析式和一元二次方程是解本题的关键．
25．（1）解：把()1,0A -，()3,0B 两点代入()2
30y ax bx a =++≠中，
得030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩
，
∴抛物线的表达式为223y x x =-++； （2）解：当0x =时，3y =，即()0,3C ， ∴3OC =，
∵()1,0A -，()3,0B ， ∴1OA =，3OB =， ∴4AB =，
∴11
43622ABC S AB OC =⋅⋅=⨯⨯=△，
即所求面积为6； （3）解：∵6ABC
S =，
∴22
6433
ABE ABC S S =
=⨯=△△， ∵1
42
ABE E S AB y =⋅⋅=△，
∴2E y =，
把2y =代入抛物线表达式得：2223x x =-++，解得1x =
把=2y -代入抛物线表达式得：2223x x -=-++，解得1x =
综述所述，点E 的坐标为()12或()12或(
)12-或()
12-．
26．（1）①把（2，c ），（-1，0）分别代入2
y x bx c =-++得4210
-++=⎧⎨
--+=⎩b c c
b c
解得23
b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为223y x x =-++；
②∵2223(1)4y x x x =-++=--+，
∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点坐标为（1，4），
∵t ≤x ≤2-t ,
∴t ≤2-t ,
解得t ≤1，
∴2-t ≥1，
∴当t ≤x ≤2-t 时，x =1时，函数有最大值4，即M =4，
当x =t 或t =2-t 时，函数有最小值，即N =223t t -++，
∵M -N =3，
∴()
24233t t --++=，
解得11t =+（舍去），21t =+ ∴t 的值为1；
（2）∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过点（2，c ），
∴42-++=b c c ,
解得b =2，
∴抛物线的对称轴为直线x =1，
∵A （x 1，y 1），B （3，y 2）在抛物线上，且y 1≥y 2，
∴点A 到对称轴的距离小于或等于B 点到对称轴的距离，
∴|x 1-1|≤|3-1|，
∴-1≤x 1≤3，
∵m ≤x 1≤m +1，
∴113≥-⎧⎨+≤⎩
m m ， 解得-1≤m ≤2．
27．（1）解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为2(3)5(0)y a x a =-+≠，
将()80，
代入2(3)5y a x =-+， 得：2550a +=， 解得：15
a =-， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为21(3)5(08)5
y x x =--+<<， 根据对称性质可知，水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为
21(3)5(80)5
y x x =-++-<<， 综上，水柱所在抛物线的函数表达式为21(3)5(08)5
y x x =--+<<或21(3)5(80)5
y x x =-++-<<； （2）解：为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．理由如下：
当 1.8y =时，有21(3)5 1.85
x --+=， 解得：11x =-，27x =，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
28．（1）解：将,A B 点坐标代入抛物线解析式得230434404
b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得943
b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为239344
y x x =--． （2）解：当0x =时，=3y -
∴()0,3C -
设直线BC 的解析式为y kx b =+，将,B C 两点坐标代入得403k b b +=⎧⎨=-⎩
解得343
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线BC 的解析式334
y x =-
如图1，过P 作PD AB ⊥交BC 于D ，设239,344P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,34D m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∴2334
PD m m =-+ ∴2134622CPB S
DP m m =⨯=-+ ()23262
m =--+ ∵302
-<，04m << ∴2m =时，CPB △面积最大
∴92,2P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭． （3）解：由题意知，分两种情况求解；
①如图2，作CD AB ∥，
∵CD AB ∥
∴ABC DCB ∠=∠
∴直线CD 与抛物线的交点即为点M
∵,C M 关于抛物线的对称轴直线9
343224x -
=-=⨯对称
∴()3,3M -；
②如图2，作直线CE 使ECB ABC =∠∠交AB 于F ∵ECB ABC =∠∠
∴直线CE 与抛物线的交点即为点M
∴FC FB =
设OF a =，则4FC FB a ==-
在Rt COF 中，由勾股定理得222OC FC OF =-，即()2
2234a a =-- 解得78a ∴7,08F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
设直线CE 的解析式为y kx b =+，将,C F 点坐标代入得7083
k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 解得2473
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线CE 的解析式为2437
y x =
- ∴联立2243739344y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ 解得03x y =⎧⎨=-⎩或537112549x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴531125,749M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 综上所述，MCB ABC ∠=∠时，点M 的坐标为()3,3-或531125,749⎛⎫ ⎪⎝⎭
．。