求解数列不等式证明问题的方法

解题宝典
证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度
较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不
等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题
的方法，以供大家参考.
一、利用数列的单调性
我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等
式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的
变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的
关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构
造出新数列，利用数列的单调性证明结论.
例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和
S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列
{}b
n
满足关系式a
n(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n
项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.
证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，
将其代入到a
n(2b n-1)=1中可得b n
=log23n3n-1，
T
n=b1+b2+⋯+b n=log2(
32×65×⋯×3n3n-1)，
则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3
ù
û
×23n+2.
设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，
则
f(n+1)
f(n)=
(3n+3)3
(3n+5)(3n+2)2，
变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，
则数列{}
f(n)单调递增.
因此f(n)≥f(1)>1，
则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，
所以3T n+1>log2(a n+3).
本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论
出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作
差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性
证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调
性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构
造出新数列才能发现其单调性.
二、放缩法
放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运
用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕
着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的
传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某
些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩
（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要
把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.
例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n
+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a
2
+a2a
3
+⋯+a n a
n+1
<n2.
证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，
则
a
k
a
k+1
=2k-1
2k+1-1=
2k-1
2(2k-12)<
2k-1
2(2k-1)=
12，
所以
a1
a2+
a2
a3+⋯+
a
n
a
n+1
<12+12+⋯+12=n2.
故
a
k
a
k+1
=2k-1
2k+1-1=
12·2k+1-2
2k+1-1=
12(1-1
2k+1-1)
=12-1
3×2k+2k-2≥
12-13×1
2k(k=1,2,3,⋯)，
即
a1
a2+
a2
a3+⋯+
a
n
a
n+1
≥12-13(12+122+⋯+12n)
=n2-13(1-12n)>n2-13.
综合上述分析，即可证明不等式
n
2-13<a1a2+a2a3
+⋯+a n a n+1<n2成立.
本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的
表达式，对不等式进行缩放，构造出
a
n
a
n+1
，再借助不等
式的传递性证明了结论.
三、导数法
对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采
用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对
函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最
储文海
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值，进而证明不等式成立.
例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+
1
3
+14+⋯+1n +1
(n ∈N*).证明：令a n =1n +1
、b n =1
n ，于是当n ≥2时，
S n -1=ln n 、
S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1
n
.
欲证明原不等式成立，需要证明
1n +1<ln n +1
n
<1n ，即证明1x +1
<ln x +1x <1x ,x ≥1.
设函数f (x )=ln x +1x -1
x +1
，对其进行求导可得
到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1
x (x +1)2<0.
令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t
<ln t <t -1,(t >1).
设函数h (t )=ln t -t -1
t ，则h ′(t )=t -1t
2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，
h (t )=ln t -t -1t
>0，即是ln t >
t -1
t
.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1
t
.综上可得，1t +1
<ln t +1t <1t ，
当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+1
4
+⋯+
1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1
n +1
.
运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求
得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.
从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.
（作者单位：江苏省华罗庚中学）
立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.
一、几何法
几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，
BC =2，AC =3，
（1）求证：
BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.
李鹏飞
图1
43。