2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
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网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝30°. ∴BC＝2CD＝4 cm.
∴BD＝ − ＝ − ＝2 (cm).
∴AB＝BD－AD＝(2 －2) cm.
2.[2022·金华]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝
人教版八年级下
第 十 七 章
17.1
第3课时
勾 股 定 理
勾股定理
应用勾股定理解数学问题
在数轴上作出表示 的点的步骤：第一步：利用勾股定
理画出长为 的线段；第二步：在数轴上以原点为圆
心，以长为 的线段为半径画弧与数轴的正方向相交，
交点即为所求的点.
知识点1用勾股定理解几何问题
1.[2023·宁夏 新趋势 ·学科内综合]将一副直角三角尺和一把
宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的
顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上
沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角尺的斜边分
别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是( B )
A.(2－ ) cm
B.(2 －2) cm
C.2 cm
D.2 cm
【点拨】
如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，
S△ABC＝3a2.
(4)若△ABC三边的长分别为 + ， + ，
2 ＋ (m＞0，n＞0且m≠n)，试运用构图法求出这个
三角形的面积.
【解】在由相邻两边长为m，n的小长方形组成的长方形网
格中，构造△ABC如图③所示，
S△ABC＝5mn.
BC＝10 cm，CD＝AB＝8 cm.由折叠的性质可得AF＝AD＝
10 cm，EF＝DE.
在Rt△ABF中，BF＝ − ＝6 cm.
∴FC＝BC－BF＝4 cm.
设EC＝x cm，则EF＝DE＝(8－x)cm.
在Rt△CEF中，FC2＋CE2＝EF2，即42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3，∴DE＝5 cm.
AB'C'C的所有边长相加计算即可求解.
知识点2用勾股定理解坐标问题
3.(母题：教材P26练习T2)如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点
A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B
的坐标为( D )
A.(0，5)
B.(5，0)
C.(6，0)
D.(0，6)
(第3题)
4.[2023·山西]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六
【点拨】
题中60°的锐角可能是∠BAC，也可能是
∠ABC；点P可能在线段AB上，也可能在线段AB的
延长线上.
.
利用勾股定理求图形的面积
9.[2023·丽水 新考法·条件变式法]如图，分别以a，b，m，n为
边长作正方形，已知m＞n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4.
(1)若a＝3，b＝4，则图①中
阴影部分的面积是
25 ；
(2)若图①中阴影部分的面积
为3，图②中四边形ABCD的
面积为5，则图②中阴影部分的面积是
.
【点拨】
由题意可得a 2 ＋b 2 ＝3，图②中四边形ABCD是直
角梯形.
∵AB＝m，CD＝n，BC＝m＋n，
∴ (m＋n)(m＋n)＝5.
∴(m＋n)2＝10.
∵am－bn＝2，an＋bm＝4，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋ED2＝125，
∴AE＝5 cm.
易错点图形位置不明确时，考虑问题不全而漏解
8.[2022·通辽 新考法·分类讨论法]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A，
B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为
或9或3
PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为( C )
A.20
B.22
C.24
D.30
7.[新考法 翻折对称法]如图，沿过点A的直线折叠长方形纸
片ABCD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8 cm，
BC＝10 cm，求BF，CE及折痕AE的长.
【解】在长方形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝
，EM＝2，
∴点M的坐标为(3 ，－2).
故选A.
5.(母题：教材P27练习T1)请你用作图工具在如图的数轴上作
出表示 的点A和表示1＋ 的点B，保留作图痕迹，不
写作法.
【解】如图所示.
知识点3勾股定理与图形折叠
6.如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两
点恰好落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
∴a2m2－2abmn＋b2n2＝4①，
a2n2＋2abmn＋b2m2＝16②.
①＋②并整理得(a2＋b2)(m2＋n2)＝20.
∵a2＋b2＝3，
2
2
∴m ＋n ＝ .
∵(m＋n)2＝10.
2
2
2
∴(m＋n) －(m ＋n )＝10－ .
∴2mn＝ ，即mn＝ .
∵题图②中阴影部分三角形的其中两边是两正方形的对
小正方形的边长均为1)，再在网格中画出格点三角形
ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图
①所示，这样不需求△ABC的高，而借助网格就能计算出
△ABC的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线
上：
；
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC的面积的方法叫做构图法.若△ABC
三边的长分别为 ， ， ，请利用图②中的正方形
角线，
∴这两边构成的角为45°＋45°＝90°.
∴阴影部分三角形为直角三角形，其两直角
边的长分别为 ＋ ＝ m， ＋
＝ n，
故阴影部分的面积为 × m× n＝mn＝ .
利用勾股定理探求最小值
10.[新考法 类比法]如图，C为线段BD上一动点，分别过点
B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB＝5，
30°，BC＝2 cm，把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到
△A'B'C'，连接CC'，则四边形AB'C'C的周长为
2 )
cm.
(第2题)
(8＋
【点拨】
根据平移的性质得BC＝B'C'＝2 cm，AA'＝BB'＝CC'
＝1 cm.由30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB＝
2BC＝4 cm，再由勾股定理求得AC＝2 cm.把四边形
边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边
形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，
Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(－
2 ，3)，(0，－3)，则点M的坐标为( A )
A.(3 ，－2)
B.(3 ，2)
C.(2，－3 )
D.(－2，－3 )
【点拨】
连接PF，如图，设正六边形的边长为a，
DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值.
【解】AC＋CE＝ ＋ ＋ ＋
＝ （ − ） + ＋ + .
(2)点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
【解】当A，C，E三点共线时，AC＋CE
的值最小.
(3)根据(1)(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 + ＋
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝30°. ∴BC＝2CD＝4 cm.
∴BD＝ − ＝ − ＝2 (cm).
∴AB＝BD－AD＝(2 －2) cm.
2.[2022·金华]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝
人教版八年级下
第 十 七 章
17.1
第3课时
勾 股 定 理
勾股定理
应用勾股定理解数学问题
在数轴上作出表示 的点的步骤：第一步：利用勾股定
理画出长为 的线段；第二步：在数轴上以原点为圆
心，以长为 的线段为半径画弧与数轴的正方向相交，
交点即为所求的点.
知识点1用勾股定理解几何问题
1.[2023·宁夏 新趋势 ·学科内综合]将一副直角三角尺和一把
宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的
顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上
沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角尺的斜边分
别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是( B )
A.(2－ ) cm
B.(2 －2) cm
C.2 cm
D.2 cm
【点拨】
如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，
S△ABC＝3a2.
(4)若△ABC三边的长分别为 + ， + ，
2 ＋ (m＞0，n＞0且m≠n)，试运用构图法求出这个
三角形的面积.
【解】在由相邻两边长为m，n的小长方形组成的长方形网
格中，构造△ABC如图③所示，
S△ABC＝5mn.
BC＝10 cm，CD＝AB＝8 cm.由折叠的性质可得AF＝AD＝
10 cm，EF＝DE.
在Rt△ABF中，BF＝ − ＝6 cm.
∴FC＝BC－BF＝4 cm.
设EC＝x cm，则EF＝DE＝(8－x)cm.
在Rt△CEF中，FC2＋CE2＝EF2，即42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3，∴DE＝5 cm.
AB'C'C的所有边长相加计算即可求解.
知识点2用勾股定理解坐标问题
3.(母题：教材P26练习T2)如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点
A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B
的坐标为( D )
A.(0，5)
B.(5，0)
C.(6，0)
D.(0，6)
(第3题)
4.[2023·山西]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六
【点拨】
题中60°的锐角可能是∠BAC，也可能是
∠ABC；点P可能在线段AB上，也可能在线段AB的
延长线上.
.
利用勾股定理求图形的面积
9.[2023·丽水 新考法·条件变式法]如图，分别以a，b，m，n为
边长作正方形，已知m＞n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4.
(1)若a＝3，b＝4，则图①中
阴影部分的面积是
25 ；
(2)若图①中阴影部分的面积
为3，图②中四边形ABCD的
面积为5，则图②中阴影部分的面积是
.
【点拨】
由题意可得a 2 ＋b 2 ＝3，图②中四边形ABCD是直
角梯形.
∵AB＝m，CD＝n，BC＝m＋n，
∴ (m＋n)(m＋n)＝5.
∴(m＋n)2＝10.
∵am－bn＝2，an＋bm＝4，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋ED2＝125，
∴AE＝5 cm.
易错点图形位置不明确时，考虑问题不全而漏解
8.[2022·通辽 新考法·分类讨论法]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A，
B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为
或9或3
PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为( C )
A.20
B.22
C.24
D.30
7.[新考法 翻折对称法]如图，沿过点A的直线折叠长方形纸
片ABCD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8 cm，
BC＝10 cm，求BF，CE及折痕AE的长.
【解】在长方形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝
，EM＝2，
∴点M的坐标为(3 ，－2).
故选A.
5.(母题：教材P27练习T1)请你用作图工具在如图的数轴上作
出表示 的点A和表示1＋ 的点B，保留作图痕迹，不
写作法.
【解】如图所示.
知识点3勾股定理与图形折叠
6.如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两
点恰好落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
∴a2m2－2abmn＋b2n2＝4①，
a2n2＋2abmn＋b2m2＝16②.
①＋②并整理得(a2＋b2)(m2＋n2)＝20.
∵a2＋b2＝3，
2
2
∴m ＋n ＝ .
∵(m＋n)2＝10.
2
2
2
∴(m＋n) －(m ＋n )＝10－ .
∴2mn＝ ，即mn＝ .
∵题图②中阴影部分三角形的其中两边是两正方形的对
小正方形的边长均为1)，再在网格中画出格点三角形
ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图
①所示，这样不需求△ABC的高，而借助网格就能计算出
△ABC的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线
上：
；
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC的面积的方法叫做构图法.若△ABC
三边的长分别为 ， ， ，请利用图②中的正方形
角线，
∴这两边构成的角为45°＋45°＝90°.
∴阴影部分三角形为直角三角形，其两直角
边的长分别为 ＋ ＝ m， ＋
＝ n，
故阴影部分的面积为 × m× n＝mn＝ .
利用勾股定理探求最小值
10.[新考法 类比法]如图，C为线段BD上一动点，分别过点
B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB＝5，
30°，BC＝2 cm，把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到
△A'B'C'，连接CC'，则四边形AB'C'C的周长为
2 )
cm.
(第2题)
(8＋
【点拨】
根据平移的性质得BC＝B'C'＝2 cm，AA'＝BB'＝CC'
＝1 cm.由30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB＝
2BC＝4 cm，再由勾股定理求得AC＝2 cm.把四边形
边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边
形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，
Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(－
2 ，3)，(0，－3)，则点M的坐标为( A )
A.(3 ，－2)
B.(3 ，2)
C.(2，－3 )
D.(－2，－3 )
【点拨】
连接PF，如图，设正六边形的边长为a，
DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值.
【解】AC＋CE＝ ＋ ＋ ＋
＝ （ − ） + ＋ + .
(2)点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
【解】当A，C，E三点共线时，AC＋CE
的值最小.
(3)根据(1)(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 + ＋