一次函数与正比例函数ppt
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当 $b = 0$ 时，一次函数退化为正比例函数，即 $y =图像是一 条直线，其斜率为 $k$，与 $y$ 轴的交 点为 $(0, b)$。
正比例函数的图像是 经过原点的一条直线。
当 $k > 0$ 时，图像 为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下 降直线。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
01
正比例函数是一种特殊的一次函数， 其表达式为y=kx（k为常数， k≠0）。
02
当x的系数为1或-1时，一次函数 退化为正比例函数。
正比例函数的图像
正比例函数的图像是一条通过原点的 直线，这是因为当x=0时，y=0。
当k>0时，图像位于第一和第三象限 ；当k<0时，图像位于第二和第四象 限。
正比例函数的性质
04 一次函数与正比例函数的 应用
一次函数在生活中的应用
01
02
03
预测股票价格
通过分析历史数据，利用 一次函数模型预测股票价 格的走势。
计算贷款利率
利用一次函数计算固定利 率和期限下的贷款还款总 额。
确定商品销售量
根据商品价格和市场需求， 利用一次函数预测商品的 销售量。
正比例函数在生活中的应用
题目
已知函数$f(x) = kx + b(k neq 0)$的图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$， 求函数的解析式。
正比例函数的习题及解析
• 解析：由题意得函数图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$，所以有 $\left{ \begin{array}{r} k + b = 3 \
正比例函数图像可以通过一次函数图 像上移或下移得到，移动的距离为 $b$。
性质上的关系
一次函数具有线性性质，即随着 $x$ 的增大或减小，$y$ 也按相
同的比例增大或减小。
正比例函数也具有线性性质，但 其图像过原点，斜率为 $k$。
正比例函数是一次函数的一个子 集，具有一次函数的性质，如单
调性、可微性等。
一次函数与正比例函数
contents
目录
• 一次函数概述 • 正比例函数概述 • 一次函数与正比例函数的关系 • 一次函数与正比例函数的应用 • 习题与解答
01 一次函数概述
一次函数的定义
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，且 $k neq 0$。 $k$ 称为斜率，$b$ 称为截距。
正比例函数的习题及解析
k+b=-3 end{array} right.$。解得$left{ begin{array}{r} k = 3
正比例函数的习题及解析
b=0
end{array} right.$。
一次函数与正比例函数的综合习题及解析
题目
已知直线$y = kx + b(k neq 0)$ 经过点$(2, -4)$和$( - 1,6)$，求函 数的解析式，并判断点$( - 2,8)$是 否在直线上。
正比例函数的习题及解析
01
题目
已知函数$f(x) = kx + b(k neq 0)$的图象经过点$(2, -4)$，且与坐标
轴围成的三角形面积为4，求函数的解析式。
02 03
解析
由题意得函数图象经过点$(2, -4)$，所以有$-4 = 2k + b$。又因为与 坐标轴围成的三角形面积为4，所以有$frac{1}{2} |b| times |-k| = 4$。 解得$k = pm 2, b = -8$或$k = pm 2, b = 0$。
一次函数的性质
线性性质
一次函数是线性函数，其图像是 直线。
斜率性质
斜率 $k$ 决定了函数的增减性， $k > 0$ 时函数递增，$k < 0$ 时 函数递减。
截距性质
截距 $b$ 决定了函数与 $y$ 轴的 交点，即当 $x = 0$ 时，$y = b$。
02 正比例函数概述
正比例函数的定义
利用一次函数分析匀速直线运动、 简谐振动等物理现象。
解决线性规划问题
利用一次函数表示约束条件和目 标函数，解决线性规划问题。
05 习题与解答
一次函数的习题及解析
题目
解析
题目
解析
已知函数$f(x) = ax + b$，若 $f(2) = 4$，且$f(x)$在$R$上 单调递增，求$a$的取值范围。
正比例函数是特殊的一次函数， 其形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。
正比例函数是一次函数的特例， 即当 $b = 0$ 时，一次函数退
化为正比例函数。
图像上的关系
一次函数的图像是一条直线，而正比 例函数的图像是过原点的一条直线。
正比例函数图像与 $x$ 轴形成的角度 由斜率 $k$ 决定，斜率越大，角度越 小。
计算速度与距离
在匀速运动中，利用正比 例函数计算行驶的距离。
确定商品生产量
根据市场需求和生产成本， 利用正比例函数确定商品 的生产量。
计算储蓄利息
利用正比例函数计算定期 存款的利息收入。
一次函数与正比例函数在数学其他领域的应用
解决几何问题
利用一次函数表示角度、长度等 几何量，解决几何问题。
分析物理现象
解析
由题意得$left{ begin{array}{r} 4 = 2k + b
一次函数与正比例函数的综合习题及解析
6=-k+b
end{array} right.$，解得$left{ begin{array}{r} k = -2
一次函数与正比例函数的综合习题及解析
b=2
end{array} right.$。所以函数的解析式为$y = -2x + 2$。将 点$( - 2,8)$代入解析式中，得到$-4+2=8$，等式成立，所以 点$( - 2,8)$在直线上。
由题意得$f(2) = 2a + b = 4$， 又因为$f(x)$在$R$上单调递增， 所以$a > 0$。解得$a = 2, b = 0$。
已知函数$f(x) = ax + b$的图 象经过点$(1,3)$，且与$x$轴、 $y$轴的交点到原点的距离相等， 求$a$的值。
由题意得函数图象经过点 $(1,3)$，所以有$a + b = 3$。 又因为与$x$轴、$y$轴的交点 到原点的距离相等，所以有$frac{b}{a} = frac{a}{b}$。解得 $a = pm sqrt{3}, b = 3 sqrt{3}$或$a = pm sqrt{3}, b = 3 + sqrt{3}$。
当k>0时，y随x的增大而增大； 当k<0时，y随x的增大而减小。
正比例函数的图像是关于原点 对称的。
正比例函数是奇函数，因为f(x)=-f(x)。
03 一次函数与正比例函数的 关系
表达式上的关系
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，
且 $k neq 0$。
正比例函数的图像是 经过原点的一条直线。
当 $k > 0$ 时，图像 为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下 降直线。
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01
正比例函数是一种特殊的一次函数， 其表达式为y=kx（k为常数， k≠0）。
02
当x的系数为1或-1时，一次函数 退化为正比例函数。
正比例函数的图像
正比例函数的图像是一条通过原点的 直线，这是因为当x=0时，y=0。
当k>0时，图像位于第一和第三象限 ；当k<0时，图像位于第二和第四象 限。
正比例函数的性质
04 一次函数与正比例函数的 应用
一次函数在生活中的应用
01
02
03
预测股票价格
通过分析历史数据，利用 一次函数模型预测股票价 格的走势。
计算贷款利率
利用一次函数计算固定利 率和期限下的贷款还款总 额。
确定商品销售量
根据商品价格和市场需求， 利用一次函数预测商品的 销售量。
正比例函数在生活中的应用
题目
已知函数$f(x) = kx + b(k neq 0)$的图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$， 求函数的解析式。
正比例函数的习题及解析
• 解析：由题意得函数图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$，所以有 $\left{ \begin{array}{r} k + b = 3 \
正比例函数图像可以通过一次函数图 像上移或下移得到，移动的距离为 $b$。
性质上的关系
一次函数具有线性性质，即随着 $x$ 的增大或减小，$y$ 也按相
同的比例增大或减小。
正比例函数也具有线性性质，但 其图像过原点，斜率为 $k$。
正比例函数是一次函数的一个子 集，具有一次函数的性质，如单
调性、可微性等。
一次函数与正比例函数
contents
目录
• 一次函数概述 • 正比例函数概述 • 一次函数与正比例函数的关系 • 一次函数与正比例函数的应用 • 习题与解答
01 一次函数概述
一次函数的定义
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，且 $k neq 0$。 $k$ 称为斜率，$b$ 称为截距。
正比例函数的习题及解析
k+b=-3 end{array} right.$。解得$left{ begin{array}{r} k = 3
正比例函数的习题及解析
b=0
end{array} right.$。
一次函数与正比例函数的综合习题及解析
题目
已知直线$y = kx + b(k neq 0)$ 经过点$(2, -4)$和$( - 1,6)$，求函 数的解析式，并判断点$( - 2,8)$是 否在直线上。
正比例函数的习题及解析
01
题目
已知函数$f(x) = kx + b(k neq 0)$的图象经过点$(2, -4)$，且与坐标
轴围成的三角形面积为4，求函数的解析式。
02 03
解析
由题意得函数图象经过点$(2, -4)$，所以有$-4 = 2k + b$。又因为与 坐标轴围成的三角形面积为4，所以有$frac{1}{2} |b| times |-k| = 4$。 解得$k = pm 2, b = -8$或$k = pm 2, b = 0$。
一次函数的性质
线性性质
一次函数是线性函数，其图像是 直线。
斜率性质
斜率 $k$ 决定了函数的增减性， $k > 0$ 时函数递增，$k < 0$ 时 函数递减。
截距性质
截距 $b$ 决定了函数与 $y$ 轴的 交点，即当 $x = 0$ 时，$y = b$。
02 正比例函数概述
正比例函数的定义
利用一次函数分析匀速直线运动、 简谐振动等物理现象。
解决线性规划问题
利用一次函数表示约束条件和目 标函数，解决线性规划问题。
05 习题与解答
一次函数的习题及解析
题目
解析
题目
解析
已知函数$f(x) = ax + b$，若 $f(2) = 4$，且$f(x)$在$R$上 单调递增，求$a$的取值范围。
正比例函数是特殊的一次函数， 其形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。
正比例函数是一次函数的特例， 即当 $b = 0$ 时，一次函数退
化为正比例函数。
图像上的关系
一次函数的图像是一条直线，而正比 例函数的图像是过原点的一条直线。
正比例函数图像与 $x$ 轴形成的角度 由斜率 $k$ 决定，斜率越大，角度越 小。
计算速度与距离
在匀速运动中，利用正比 例函数计算行驶的距离。
确定商品生产量
根据市场需求和生产成本， 利用正比例函数确定商品 的生产量。
计算储蓄利息
利用正比例函数计算定期 存款的利息收入。
一次函数与正比例函数在数学其他领域的应用
解决几何问题
利用一次函数表示角度、长度等 几何量，解决几何问题。
分析物理现象
解析
由题意得$left{ begin{array}{r} 4 = 2k + b
一次函数与正比例函数的综合习题及解析
6=-k+b
end{array} right.$，解得$left{ begin{array}{r} k = -2
一次函数与正比例函数的综合习题及解析
b=2
end{array} right.$。所以函数的解析式为$y = -2x + 2$。将 点$( - 2,8)$代入解析式中，得到$-4+2=8$，等式成立，所以 点$( - 2,8)$在直线上。
由题意得$f(2) = 2a + b = 4$， 又因为$f(x)$在$R$上单调递增， 所以$a > 0$。解得$a = 2, b = 0$。
已知函数$f(x) = ax + b$的图 象经过点$(1,3)$，且与$x$轴、 $y$轴的交点到原点的距离相等， 求$a$的值。
由题意得函数图象经过点 $(1,3)$，所以有$a + b = 3$。 又因为与$x$轴、$y$轴的交点 到原点的距离相等，所以有$frac{b}{a} = frac{a}{b}$。解得 $a = pm sqrt{3}, b = 3 sqrt{3}$或$a = pm sqrt{3}, b = 3 + sqrt{3}$。
当k>0时，y随x的增大而增大； 当k<0时，y随x的增大而减小。
正比例函数的图像是关于原点 对称的。
正比例函数是奇函数，因为f(x)=-f(x)。
03 一次函数与正比例函数的 关系
表达式上的关系
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，
且 $k neq 0$。