第三章 一元流体动力学基础(第三次)

p2
u22 2g
w
)
dQ
Q
hw dQ
有：
(Z1
p1
112 ) Q
2g
(Z2
p2
2
22
2g
)
Q
hw
Q
含义:单位时间内流入上游断面的能量, 等于单位时 间内流出下流断面的能量,再加上流段损失的能量。
单位重量流体的能量方程：
Z1
p1
112
2g
Z2
p2
2
22
2g
hw
工程中应用非常广泛的恒定总流能量方程，或称
动力学三大方程
质
量
守
三
恒
大 守
能 量
恒 定
守 恒
律
动
量
守
恒
连
续
方
程
恒
定
能 量 方 程
流 三 大
方
动 量
程
方
程
第三章 一元流体动力学基础
问题1、过流断面的压强分布 问题2、恒定总流能量方程 学习要求：理解并熟记恒定总流能量方程
学习进程
静力学→[相对平衡] →动力学
恒定元流能量方程 恒定总流能量方程
【解】单位质量重力在各轴向的分量为：
z
x
X1 0 Y1 0 Z1 g
H
a
单位质量牵引惯性力在各轴向的分量为：
X2 a Y2 0 Z2 0
质点所受质量力为重力与牵引惯性力之合，即：
X X1 X2 a
Y Y1 Y2 0 Z Z 1Z2 g
根据流体平衡微分方程的综合式：
dp (Xdx Ydy Zdz)
代入单位质量力的合力，有： dp (adx gdz)
对上式积分得：
p (ax gz) C
积分常数 C 的求法如下：
边界条件：在坐标原点处，x = z =0，p = pa
将该边界条件代入 p (ax gz) C ，得：C pa
将C pa 回代上式，得液面以下任一点处绝对压强：
p pa (ax gz)
有能量输入：
Z1
p1
112
2g
Hi
Z2
p2
2
22
2g
hw
有能量输出：
Z1
p1
112
2g
Z2
p2
2
22
2g
hw
H0
(4)方程的推导是在两断面间没有分流或合流的情 况下得出的。如果有分流或合流情况, 但单位能量方 程的形式并不改变,但分流对能量损失值有影响。
1）有分流的情况
根据能量守恒原理，从1-
pa
(
a g
x
z)
液面下任一点处相对压强：
p
p
pa
(
a g
x z)
自由面绝对压强： p pa
自由面相对压强：
p
p
pa
0
(
a g
x
z)
( a x z) 0
g
z a x g
该式即为匀加速直线运动时液体
z
的自由面方程。
x
显然，自由面是过坐标原点的一
O
个倾斜面，与水平面夹角为 ， 且 tan a / g。
实际流体总流的能量方程是元流能量方程在 两断面范围内的积分。
(Z1
A1
p1
u12 ) dQ
2g
(Z2
A2
p2
u22 2g
w
)
dQ
Q
hw dQ
(1) 势能的积分
单位时间通过 断面的流体势能
(
p
Z
)dQ
(
p
Z
)
dQ
p Z 在断面上保持不变，故两断面势能积分为：
1-1截面：
( p1
Q1
Z1)dQ
（2）渐变流 渐变流是近似的均匀流，均匀流的性质可近似地 用到渐变流中，即渐变流过流断面上的压强分布满 足流体静力学规律。
渐变流没有严格的定义，流动能否按渐变流处理， 关键是看得到的结果是否满足工程精度要求。
§3.8 恒定总流能量方程
问题的提出： 总流是无数元流之和
1
v1
dA1
2
dA2
v2
连续性假定
d2
d2
μ称为文丘里管的流 量系数，一般约为 0.95-0.98
若考虑水头损失，实际流量会减小，则 Q K h
【例题1】如图所示，一等直径的输水管,管径为d=100mm， 水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为H=2m， 若不考虑水流运动的水头损失，求管道中输水流量。
分析：Q=vA
1
1
解：对1-1、2-2断面列能量方程式： 0
Z1
pa
v12 2g
Z2
pa
v22 2g
hw
其中：Z1
0, v12 2g
0, Z2
0, hw
0
所以有：2v2g2 2
可解得： V2 4g 6.26m / s
则：
Q
d
4
2
V2
3.14 0.12 4
6.26 0.049m3 / s
2H
0 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【例题2】如下图,大气压强为97kN/m2。收缩段的 直径应当限制在什么数值以上，才能保证不出现空 化 。 已 知 水 温 为 40oC,γ=9.73kN/m3,ρ=992.2kg/m3, 汽化压强p′=7.38kN/m2。
为恒定总流的伯努利方程。
沿程阻力
沿程水头损失：沿管长均匀发生的水头损失。
局部水头损失：局部障碍（管道弯头、各种接头、
闸阀、水表等）引起的水头损失。
局部阻力
关于恒定总流量能量方程的一些补充说明：
(1)方程的推导是在恒定流的前提下推导的。客观 上虽然不存在绝对的恒定流，但大多数流动，流速 随时间变化缓慢，方程仍然适用。
1
3
1 断面在单位时间内输入液 体的总能量应=从2-2断面和 Q1
Q3
3-3断面输出液体的总能量+
1
两支水流的能量损失，
23 2 Q2
从 1-1断面流到2-2断面，其单位重量液体的水头损
失为hw1-2；
1
从1-1 断面流到3-3 断 Q1 面，单位重量液体的水
头损失为hw1-3，于是：
1
3 Q3
23 2 Q2
( z1
p1
1v12
2g
) Q1
(z2
p2
g
2 v22
2g
) Q2
Q2hw12
( z3
p3
g
3v32
2g
) Q3
Q3hw13
1
Q1
又 Q1= Q2＋Q3 1
Q2[(z1
p1
1v12
2g
)
(
z2
p2
2 v22
2g
)
hw12
3 Q3
23 2 Q2
Q3[(z1
p1
1v12
2g
)
(
z3
p3
3v32
功能原理
理想不可压缩流体恒定流动模型
Z1
p1
u12 2g
Z2
p2
u22 2g
上式为理想不可压缩流体恒定元流能量方程， 或称为恒定元流伯努利方程。
理想不可压缩流体恒定总流能量方程：
(Z1
p1
u12 ) dQ
2g
(Z2
p2
u22 ) dQ
2g
实际液体恒定元流的能量方程：
Z1
p1
u12 2g
Z2
p2
u22 2g
3
Q2 [( z2
p2
2 v22
2g
)
(
z3
p3
3v32
2g
)
hw13
]
0
同理可得
z1
p1
1v12
2g
z3
p3
3v32
2g
hw13
z2
p2
2v22
2g
z3
p3
3v32
2g
hw23
流量方程的应用——文丘里流量计
以管轴线为高程基准面，暂不计水
头损失，对1-1、2-2断面列能量方
程式：
均匀流: 质点流速的大小和方向均不变
绝对
渐变流
非均匀流
相对
急变流
质点流速大小不变
流体流动 质点流速方向不变
不存在 直线惯性力 不存在 离心惯性力
均匀流受力特点
重力 压力
静止流体
粘滞阻力
均匀流
渐变流
均匀流 急变流 均匀流
三、过流断面上的压强分布 （1）均匀流 压强分布沿过流断面服从流体静力学规律。
z
H h 2R2
2g
2 (H h)g
R
H
x
h
h O
h ?
R
H h 2(H h)
抛物线所围的体积等于同 高圆柱体体积的一半。
1 2
l
1 2
l
内容回顾
核心问题1： 恒定总流的连续性方程
质量守恒 连续性方程
Qv11A1
Q2 = v2 A2
Q vA
适用条件： 恒定、不可压缩的总流，且没有支流与
穷究于理，成就与工
流体力学
北方民族大学化工学院
任课教师：康亚明
作业点评
习题3-13: 运送液体的槽车以匀加速a做直线运动，槽 车静止时，车内液体的高度为H。(2) 求槽车在等加速 运动过程中的自由面方程与压力分布；(1)证明距离自 由面以下垂直距离h处的压力可表示为p=p0+ρgh（p0 为自由面的压力）。
§3.7 过流断面的压强分布
一、问题的提出
元流方程 + 连续性方程
压强沿流线的分布
实际流体总流的能量方程：
(Z1
p1
u12 ) dQ
2g
(Z2
p2
u22 2g
hw ) dQ
(1) 压强在过流断面上的分布问题； (2) 流速的变化问题；
二 、均匀流与非均匀流
渐变流可以近似 按均匀流处理
流体流动
Q 2g
2g Q
2g
u2 udA u3 dA u3 A
A 2g
2g A
2g
引入平均流速v，用动能修正系数来修正：
故：
u2 udA
u2 dQ
A 2g v3
A
Q
2g v2
Q
2g
2g
u2 dQ v3 A v2 Q
Q 2g
2g
2g
α反映过流断面流速分布情况, 对于均匀流，α=1; 流速分布越不均匀, α值越大。一般情况,分布较均 匀的流动, α=1.05-1.10。
2g
)
hw13
]
0
上式中，等式左端两项分别表示了各股水流的输入 总机械能与输出的总机械能和水头损失之差，应分别 为零，因此有：
z1
p1
1v12
2g
z2
p2
2v22
2g
hw12
z1
p1
1v12
2g
z3
p3
3v32
2g
hw13
2）有汇流的情况
根据能量守恒原理，从1-1 断面及2-2断面在单位时间内 输 入 的 液 体 的 总 能 量 =3-3 断 面输出的总能量+两支水流的 水头损失。
y
液面下任一点与自由面的铅直距离：
z
h
a g
x0
z0
p
pa
(
a g
x
z)
pa
h
x
h • x0 z0
A(x0, y0, z0 )
a
习题3-15：一开口圆筒形容器绕其立轴等速旋转, 已知容器半 径R=150mm, 高度H=500mm, 静止时液面高度h=300mm,问当 转速n为多少转时,水面刚好到达容器的上边缘。
1
1
v
1
,Q
1
2 v 2,Q2
2
3
v3 ,Q3
3
( z1
p1
g
1v12
2g
)
Q1
(z2
p2
g
2 v22
2g
)
Q2
( z3
p3
g
3v32
2g
)
Q3
hw13
Q1
hw12 Q2
又 Q3＝Q1+Q2
Q1[(z1
p1
1v12
2g
)
(
z3
p3
3v32
2g
)
hw13
]
1
1
v
1
,Q
1
2 v 2,Q2
2
3
v3 ,Q3
(
p1
Z1) dQ
Q1
(
p1
Z1) Q
2-2截面：
Q2
( p2
Z2 )dQ
(
p2
Z2 )
Q2
dQ
(
p1
Z1) Q
(2) 动能的积分
单位时间通过 断面的流体动能
u2 dQ u2 udA u2 udA
Q 2g
A 2g
2g A 2g
如果 u 沿断面均匀分布：
u2 dQ u2 dQ u2 Q
(2)方程的推导又是以不可压缩流体为基础的。但 它不仅适用于压缩性极小的流体流动，也适用于专 业上所碰到的大多数气体流动。只有压强变化较大， 流速甚高，才考虑气体的可压缩性。
(3)方程的推导是在两断面没有能量输入与输出的 情况下提出的。如果有能量的输出（如中间有水轮 机或汽轮机）或输入（如中间有水泵或风机），则 在方程两边增加相应能量项。
hw
h表w示单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损
失的能量，称为水头损失。
实际流体恒定总流能量方程：
(Z1
p1
u12 ) dQ
2g
(Z2
p2
u22 2g
hw ) dQ
核心问题3、 恒定元流能量方程中各项的物理含义
Z 表示单位重量流体所具有的势能；
p / 表示单位重量流体的压能；
u2 / 2g 表示单位重量流体所具有的动能。
均匀流
uv
u v 非均匀流
(3) 能量损失的积分
hw dQ
Q
含义：单位时间内流过断面的流体克服流段阻力 做功所损失的能量。
为计算方便，引入平均单位能量损失 hw ：
hw dQ hw Q
Q
将各部分代入积分形式的实际流体总流能量方程:
(Z1
A1
p1
u12 ) dQ
2g
(Z2
A2
汇流。
流速之比与面积之比的关系：
v1 : v2
: : v
1 A1
:
1 A2
: :
1 A
分流时有： Q1 Q2 Q3
v1A1 v2 A2 v3 A3
合流时有： Q2 Q1 Q3
v2 A2 v1A1 v3 A3
v1
Q1
v Q3 3
v2
Q2
v1
Q1
v2
Q2
Q3
v3
核心问题2： 恒定元流能量方程
p / 表示单位重量流体的压强水头；
u2 / 2g 表示单位重量流体的速度水头。
位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头