2013年全国高考试题分类汇编：导数的应用

3.2导数的应用

考点一 导数与函数的单调性

1.(2013浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )

答案 B

2.(2013天津,20,14分)设a∈[-2,0],已知函数f(x)=

(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;

(2)设曲线y=f(x)在点P i (x i , f(x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x 1x 2x 3≠0. 证明x 1+x 2+x 3>-.

证明 (1)设函数f

1(x)=x 3

-(a+5)x(x≤0),f 2(x)=x 3

-x 2

+ax(x≥0), ① f '1(x)=3x 2

-(a+5),由a ∈[-2,0],从而当-1<x<0时,

f '1(x)=3x 2

-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数f 1(x)在区间(-1,0]内单调递减.

② f '2(x)=3x 2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a∈[-2,0],所以当0<x<1时, f '2(x)<0;当x>1时, f '2(x)>0. 即函数f 2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.

综合①,②及f 1(0)=f 2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知f '(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间内单调递减, 在区间内单调递增.

因为曲线y=f(x)在点P i (x i , f(x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x 1,x 2,x 3互不相等,且f '(x 1)=f '(x 2)= f '(x 3).不妨设x 1<0<x 2<x 3,

由3-(a+5)=3-(a+3)x 2+a=3-(a+3)x 3+a, 可得3-3-(a+3)(x 2-x 3)=0, 解得x 2+x 3=,从而0<x 2<<x 3.

设g(x)=3x 2

-(a+3)x+a,则g<g(x 2)<g(0)=a. 由3-(a+5)=g(x 2)<a, 解得-<x 1<0, 所以x 1+x 2+x 3>-+,

设t=,则a=,因为a∈[-2,0], 所以t∈,

故x 1+x 2+x 3>-t+=(t-1)2

-≥-,即x 1+x 2+x 3>-.

3.(2013湖北,21,13分)设a>0,b>0,已知函数f(x)=. (1)当a≠b 时,讨论函数f(x)的单调性;

(2)当x>0时,称f(x)为a 、b 关于x 的加权平均数. (i)判断f(1),f , f 是否成等比数列,并证明f≤f;

(ii)a 、b 的几何平均数记为G.称为a 、b 的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x 的取值范围.

解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞), f '(x)==.

当a>b 时,f '(x)>0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增; 当a<b 时,f '(x)<0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减. (2)(i)计算得f(1)=>0,f=>0,f=>0, 故f(1)f=·=a b=,

即f(1)f=.①

所以f(1),f,f成等比数列.

因为≥,所以f(1)≥f.由①得f≤f.

(ii)由(i)知f=H,f=G.故由H≤f(x)≤G,得

f≤f(x)≤f.②

当a=b时,f=f(x)=f=a.

这时,x的取值范围为(0,+∞);

当a>b时,0<<1,从而<,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得≤x≤,

即x的取值范围为;

当a<b时,>1,从而>,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式,得≤x≤,

即x的取值范围为.

考点二导数与函数的极值与最值

4.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )

A.∀x∈R, f(x)≤f(x0)

B.-x0是f(-x)的极小值点

C.-x0是-f(x)的极小值点

D.-x0是-f(-x)的极小值点

答案 D

5.(2013课标全国Ⅰ,20,12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a,b的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

解析(1)f '(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.

由已知得f(0)=4, f '(0)=4.故b=4,a+b=8.

从而a=4,b=4.

(2)由(1)知f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,

f '(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2).

令f '(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.

从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时, f '(x)>0;

当x∈(-2,-ln 2)时, f '(x)<0.

故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,

在(-2,-ln 2)上单调递减.

当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).

6.(2013浙江,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.

(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;

(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.

解析(1)当a=1时, f '(x)=6x2-12x+6,所以f '(2)=6.

又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.

(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.

f '(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).

令f '(x)=0,得到x1=1,x2=a.

当a>1时,

x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) 0 单调

递增极大值

3a-1

单调

递减

极小值

a2(3-a)

单调

递增4a

3