〖数学专题〗北师大版九年级数学上专题(十一)含答案：相似三角形中的辅助线作法归类

思维特训(十一)相似三角形中的辅助线作法归类

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．

作辅助线的方法主要有以下几种：

(1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．

图11－S－1

类型一作平行线构造“A”型或“X”型相似

1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB 延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．

图11－S－2

2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD 于点E，交AB于点F.

求证：AE

DE＝

2AF

BF.

图11－S －3

3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝1

2

，连接DF 交AC 于点E .

(1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD

AB

的值；

(2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD

AB 的值(用含a 的代数式表示)．

思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：

甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；

丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．

请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD

AB

的值．

图11－S －4

类型二 作平行线转换线段的比

4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AF

AE

的值．

图11－S －5

5．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .

(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BM

DM ＝______；

(2)若n ＝2，如图②，求证：BM ＝6DM ；

(3)当n＝________时，M为BD的中点(直接写出结果，不要求证明)．

图11－S－6

6．2017·朝阳已知：如图11－S－7，在△ABC中，点D在AB上，E是BC的延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F.

(1)猜想证明：如图①，在△ABC中，若AB＝BC，学生们发现：DF＝EF.下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可通过证△DFG≌△EFC得出结论；

思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可通过证△ADF≌△HEF得出结论．

……

请你参考上面的思路，证明DF＝EF(只用一种方法证明即可)．

(2)类比探究：在(1)的条件下(如图①)，过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论．

(3)延伸拓展：如图②，在△ABC中，若AB＝AC，∠ABC＝2∠BAC，AB

BC＝m，请你用

尺规作图在图②中作出AD 的垂直平分线交AC 于点N (不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m 的代数式直接表示FN

AC

的值．

图11－S －7

类型三 作垂直证相似

7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .

(1)求证：DM DN ＝BC

AC

；

(2)若BC ＝6，AC ＝8, CM ＝5，直接写出CN 的长．

图11－S －8

8．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：

(1)如图①，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．

探索研究：

(2)如图②，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．

拓展应用：

(3)如图③，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OF

BF

的值，并说明理由．

图11－S －9

9．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .

(1)如图①，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；

(2)如图②，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF ∥CA ，求EF 的长；

(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF

BF

的值．