〖数学专题〗北师大版九年级数学上专题(十一)含答案：相似三角形中的辅助线作法归类

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北师大版九年级数学上册相似三角形解答题培优专题(含答案)

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形：（2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ，动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似【解析】【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果．【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==，故答案为：2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==，设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时，可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==．故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝，综上所述，满足条件的BD 的长为355．【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒，故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==，故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化，由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=，在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==；（3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形．【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形，易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=，当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-．故答案为：5，1，41045-．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=，而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ，在△ E 和△CED 中，，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ，四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=，解得：80t 41=，综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC，即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP，即8=614x x-，解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

2024-2025学年度北师版九上数学-专题7-相似三角形中常作的辅助线【课件】

线交 BC 于点 F ， FG ⊥ AB 于点 G . 求证： FG2＝ CF ·BF .
证明：如答图，延长 GF ，与 AC 的延长线交于点 H .
∵ CD ⊥ AB ， FG ⊥ AB ，∴ CD ∥ FG .
∴△ ACE ∽△ AHF ，△ ADE ∽△ AGF .
∴

＝

＝

∵ BH ＝3 AH ，
∴ S△PA D ∶ S四边形 AHCD ＝2∶7.
∴PA∶ AB ＝1∶2.
∵ S四边形 AHCD ＝21，
∴PA∶ PB ＝1∶3.
∴ S△PA D ＝6. ∴ S△ PBC ＝54.
∵ AD ∥ BC ，∴△PA D ∽△ PBC .
∴ S△ HBC ＝ S△ PBC ＝27.
.
又∵点 E 为 CD 的中点，∴ ED ＝ EC .
∴ FG ＝ FH .
由题意知，∠ FCH ＝∠ FGB ＝90°，∠ CFH ＝∠ GFB ，
∴△ CFH ∽△ GFB . ∴
（2）过一点作垂线来构造“垂直”型.在作辅助线时，要考虑所添加的辅助线是否
能够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或等角、等线段，从而为证
明三角形相似或进行相关的计算与证明创造条件.
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数学九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
数学九年级上册 BS版
类型一作平行线构造“A”型或“X”型
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如图，已知 BD 为△ ABC 的高，点 E 在边 AB 上，∠ BEC ＝60°， BE ＝2 CD ， CE
与 BD 相交于点 F ，求

北师大版初三数学上册应用相似三角形测量

初三数学中考备考专题复习-----应用相似三角形测量导学案户县第四职校马卫红学习目标：使学生识记相似三角形的判定条件和性质，综合运用其有关知识解决问题。

并了解应用相似三角形解决测量问题的基本模型和方法步骤。

一、知识点梳理：1三角形相似的识别方法有三个：（1）___________ 的两个三角形相似；（2） ______ 的两个三角形相似；（3） ______ 的两个三角形相似；2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段_________;平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段_______ 。

故平行---相似。

3、相似三角形的对应角___ ，对应____ 、___ 、____ 、___ 、____ 的比都等于相似比；面积比等于相似比的____ •4、相似三角形的基本图形（请同学们自己画一画）三、学以致用：应用类型1:方法1:如图，为了估算河的宽度，使AB丄BC, ECL BC用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD= 120米，DO60米，EO 50米，求两岸间的大致距离.方法2:我们在河对岸选定一目标点A,在河的一边选点D和E,使DEL AD,然后选点B,作BC// DE,与视线EA相交于点C。

此时，测得DE BG BD就可以求两岸间的大致距离AB 了。

此时如果测得DE= 120m距离ABoBO 60m BD= 50m 求两岸间的大致小试牛刀:1、如图，在△ ABC中, DE// BC, ADDB1-，贝U下列结论中正确的是（2A. AEAC1 B DE _ 1 C AADE 的周长2 . BC " 2 . ABC 的周长1 ADE的面积D.3 ABC的面积2、如图，点P是ABCD4上的一点，射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有（）。

A. 0对B. 1 对C. 2 对D. 3 对B 应用类型2:方法1：例1：古代数学家测量金字塔高度的方法是：为了测量金字塔的高度0B先竖一根已知长度的木棒EF,比较棒子的影长FD与金字塔的影长0A即可近似算出金字塔的高度0B如果EF=2m FD= 3m 0A= 201m 求金字塔的咼度OBB3、如图，在△ ABC中，/ C= 90°, AO 1，BO .3，点P为AC的中点，过点P沿直线剪去△ ABC的一个角，使剪去的三角形与△ ABC :, 相似，则共有剪法（）’-A. 2种B. 3 种C . 4种D. 5 种方法2:点C处放置平面镜,测得CB=132m求AB 的长。

北师大版数学九年级上相似三角形的性质及判定知识点总结习题型总结(学生版)

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛中考要求相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

北师大版九年级上册数学[《探索相似三角形相似的条件》知识点整理及重点题型梳理](基础)

新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，12是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．【答案与解析】举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

北师大版九年级数学上册相似三角形复习微专题《相似三角形的实际应用》靶向专题提升练习

相似三角形复习微专题:《相似三角形的实际应用》靶向专题提升练习专题一：利用相似三角形测高1. 如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为( )A.3.5 mB.3.85 mC.4 mD.4.2 m2. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)( )A.4mB.6mC.8mD.12m3.在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m,则这栋楼的高度为m.4.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米.(1)求路灯A的高度;(2)当王华再向前走2米,到达F处时,他的影长是多少?专题二：利用相似三角形测距离1.如图1,小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架,如图2是晒衣架的侧面示意图,经测量:OC=OD=126 cm,OA=OB=56 cm,且AB=32 cm,则此时C,D两点间的距离为.2.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中卷第九勾股中记载(译文):“今有一座长方形小城,东西向城墙长7里,南北向城墙长9里,各城墙正中均开一城门,走出东门15里处有棵大树,问走出南门多少步恰好能望见这棵树?”(注:1里=300步)你的计算结果是:出南门步而见木.3. 某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离.根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD 上，有三位技术人员分别测量出以下三组数据：①BC，EC；②DE，DC，BC；③EF，DE，BD.根据所测数据，能求出A，B间距离的有______.(填上所有能求出A，B间距离的序号)4.如图,有一把剪刀,AB=2.5BC,DB=2.5BE,有一长方体,宽PQ=10 cm,想用剪刀的A,D两点夹住P,Q两点,那么手握的位置点C,点E的距离应该是多少cm?专题三：利用相似三角形计算面积1.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置.已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.若AA′=1,则A′D等于( )A.2B.3C.4D.2.如图,点D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若S△DOE ∶S△COA =1∶25,求S△BDE与S△CDE的比.3.如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E 是AB的中点,连接EF.(1)求证:EF∥BC;(2)若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.类型四：位似图形1. 如图,已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,点P是位似中心,若点B的坐标为(2,4),点E的坐标为(-1,2),则点P的坐标为.2.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,0),C(0,0).以点C为位似中心,在x轴下方作△ABC的位似图形△A1B1C1,使放大前后相似比为1∶2,请画出图形,并求出△A 1B1C1的面积.3. 如图，AB表示一个窗户的高度为1.8m，AM，BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，求光线透过窗户能照射到的地面宽度MN的长.相似三角形复习微专题:《相似三角形的实际应用》靶向专题提升练习(解析版)专题一：利用相似三角形测高1. 如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为( A)A.3.5 mB.3.85 mC.4 mD.4.2 m2. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)( C)A.4mB.6mC.8mD.12m3.在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m,则这栋楼的高度为54m.4.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米.(1)求路灯A的高度;(2)当王华再向前走2米,到达F处时,他的影长是多少?【解析】(1)设BC=x米,AB=y米,由题意得,CD=1米,CE=3米,EF=2米,身高MC=NE=1.5米,∵△ABD∽△MCD,△ABF∽△NEF,∴=,=,即=,=,解得∴路灯A的高度为6米.(2)如图,连接AG交BF延长线于点H,∵△ABH∽△GFH,GF=1.5米,BH=3+3+2+FH=8+FH,∴=,即=,解得FH=(米).答:当王华再向前走2米,到达F处时,他的影长是米.专题二：利用相似三角形测距离1.如图1,小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架,如图2是晒衣架的侧面示意图,经测量:OC=OD=126 cm,OA=OB=56 cm,且AB=32 cm,则此时C,D两点间的距离为72 cm.2.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中卷第九勾股中记载(译文):“今有一座长方形小城,东西向城墙长7里,南北向城墙长9里,各城墙正中均开一城门,走出东门15里处有棵大树,问走出南门多少步恰好能望见这棵树?”(注:1里=300步)你的计算结果是:出南门315步而见木.3. 某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离.根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD 上，有三位技术人员分别测量出以下三组数据：①BC，EC；②DE，DC，BC；③EF，DE，BD.根据所测数据，能求出A，B间距离的有___③___.(填上所有能求出A，B间距离的序号)4.如图,有一把剪刀,AB=2.5BC,DB=2.5BE,有一长方体,宽PQ=10 cm,想用剪刀的A,D两点夹住P,Q两点,那么手握的位置点C,点E的距离应该是多少cm?【解析】∵AB=2.5BC,DB=2.5BE,∴=.又∵∠ABD=∠CBE,∴△ABD ∽△CBE, ∴==,则=,解得:EC=4,答:点C,点E 的距离应该是4 cm. 专题三：利用相似三角形计算面积1.如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置.已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.若AA′=1,则A′D 等于( B )A.2B.3C.4D.2.如图,点D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,且DE ∥AC,AE,CD 相交于点O,若S △DOE ∶S △COA=1∶25,求S △BDE 与S △CDE 的比.【解析】∵DE∥AC,∴△DOE ∽△COA. 又∵S △DOE ∶S △COA =1∶25,∴=. ∵DE∥AC,∴==,∴=,∴S △BDE 与S △CDE 的比是1∶4.3.如图所示,在△ABC 中,BC>AC,点D 在BC 上,且DC=AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F,点E 是AB 的中点,连接EF. (1)求证:EF ∥BC;(2)若△ABD 的面积是6,求四边形BDFE 的面积.【解析】(1)∵DC=AC,CF 平分∠ACD ,∴点F 为AD 的中点. 又∵点E 为AB 的中点,∴EF 为△ABD 的中位线,∴EF∥BC. (2)由(1)得EF ∥BC,∴△AEF ∽△ABD, ∴S △AEF ∶S △ABD =1∶4. 又∵=,∴S 四边形BDFE ∶S △ABD =3∶4. ∵S △ABD =6,∴S 四边形BDFE =. 类型四：位似图形1. 如图,已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形,点P 是位似中心,若点B 的坐标为(2,4),点E 的坐标为(-1,2),则点P 的坐标为 (-2,0) .2.如图,已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,0),C(0,0).以点C 为位似中心,在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1,使放大前后相似比为1∶2,请画出图形,并求出△A 1B 1C 1的面积.3. 如图，AB表示一个窗户的高度为1.8m，AM，BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，求光线透过窗户能照射到的地面宽度MN的长.【解析】∵BN∥AM，∴∠CNB=∠CMA，∠CBN=∠CAM，∴△CNB∽△CMA，∴=，=，∴CM=4.2，∴MN=CM-CN=2.7(m).答：光线透过窗户能照射到的地面宽度MN的长为2.7m.。

数学专题三角形中的常用辅助线

数学专题——三角形中的常用辅助线一、方法概述几何的难点就在辅助线。

辅助线如何添？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

（一）找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

（二）三角形中常见辅助线的作法：（1）延长中线构造全等三角形；（2）利用翻折，构造全等三角形；（3）引平行线构造全等三角形；（4）作连线构造等腰三角形。

二、典型例题（一）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：BD=2CE。

1、思路分析：（1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用（2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来2、解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用，不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

（二）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：ΔABC是等腰三角形。

1、思路分析：（1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

（2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形。

九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案

相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：　1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，， . 又∵∽，相似比为. 的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=, 由△ADE∽△ACB得， S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CBAB CB ==即,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC SS⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2，∴AC=6，∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，B F=.5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2． ∵AE︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4． ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6． ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． ∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽. (2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。

北师版九上数学专题7相似三角形中常作的辅助线(课外培优课件)

的长为
15
4
.
⁠
（第6题图）
数学九年级上册 BS版
【解析】如图，过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F . ∵ DE 是 AC 的垂直平
分线，∴ AD ＝ CD ，∠ DEC ＝90°， AE ＝ EC ＝5.∵△ ABD 的
周长为26，∴ AB ＋ BD ＋ AD ＝26.∴ AB ＋ BD ＋ DC ＝ AB ＋ BC

∴ ＝，＝ . 又∵ AD ＝ CE ，

∴ ＝，＝ . ∴ ＝ .

∴ AB ·DF ＝ BC ·EF .
答图
数学九年级上册 BS版
8. 如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，点 D 为 AB 的中点，点
C. 5 cm
D. 6 cm
）
数学九年级上册 BS版
2.
4
如图，在△ ABC 中，已知 BD ⊥ AB 交 AC 于点 D ， AD ＝
7
AC ， AB ＝2，∠ ABC ＝150°，则△ DBC 的面积是（ A ）
（第2题图）
3 3
A.
14
9 3
B.
14Βιβλιοθήκη 3 3C.7
6 3
D.
7
数学九年级上册 BS版
别在 x 轴和 y 轴上，且 OA ＝5， OC ＝3.若把矩形 OABC 绕着点 O
按逆时针方向旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 A1处，则点 C
9
12
− ，
5
5
的对应点 C1的坐标为

北师大版九年级数学上思维特训(十一)含答案：相似三角形中的辅助线作法归类

思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF.图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E .(1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出ADAB的值；(2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出ADAB 的值(用含a 的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题．老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中ADAB的值．图11－S －4类型二作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AFAE的值．图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BMDM ＝______；(2)若n ＝2，如图②，求证：BM ＝6DM ；(3)当n＝________时，M为BD的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S－66．2017·朝阳已知：如图11－S－7，在△ABC中，点D在AB上，E是BC的延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F.(1)猜想证明：如图①，在△ABC中，若AB＝BC，学生们发现：DF＝EF.下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可通过证△DFG≌△EFC得出结论；思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可通过证△ADF≌△HEF得出结论．……请你参考上面的思路，证明DF＝EF(只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图①)，过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图②，在△ABC中，若AB＝AC，∠ABC＝2∠BAC，ABBC＝m，请你用尺规作图在图②中作出AD的垂直平分线交AC于点N(不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FNAC的值．图11－S －7类型三作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BCAC；(2)若BC ＝6，AC ＝8, CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图①，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图②，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图③，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF的值，并说明理由．图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图②，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF ∥CA ，求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．图11－S－10详解详析1．解：如图，过点O 作OM ∥BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ， ∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ，∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b .∵OM ∥BC ， ∴△BEF ∽△MEO ， ∴BF MO ＝BEME，即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG ∥CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点， ∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF .∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AFBF.3．解：(1)甲同学的想法：如图①，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF . ∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CFCB .∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图②，过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG . ∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CFCB.∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF .∵E 为DF 的中点， ∴ED ＝EF ， ∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13.∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图④，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝EDEF .∵DEEF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DG BC. ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG . ∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG ∥AF .又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点， ∴EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA . ∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°. 又∵∠AMD ＝60°， ∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC －∠MAD ＝30°，即∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BECE＝1.在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)．∵∠BAM ＝∠ABM ＝30°，∴AM ＝BM ， ∴BM DM＝2. (2)证明：∵∠AMD ＝∠ABD ＋∠BAE ＝60°， ∠CAE ＋∠BAE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CAE . 又∵BA ＝AC ，∠BAD ＝∠ACE ＝60°， ∴△BAD ≌△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF ∥BD 交AE 的延长线于点F ， ∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②，由①×②得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM .(3)∵M 为BD 的中点，∴BM ＝MD . ∵△BAD ≌△ACE ， ∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ， ∴AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·MEBM④，由③×④得CD＝5－12DA，∴n＝5－12.6．解：(1)思路1：如图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵DG∥BC，∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF，∴∠A＝∠DGA，∴DA＝DG.∵AD＝CE，∴DG＝CE.又∵∠DFG＝∠EFC，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF.思路2：如图②，过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵EH∥AB，∴∠A＝∠H.∵∠ECH＝∠BCA，∴∠H＝∠ECH，∴CE＝EH.∵AD＝CE，∴AD＝EH.又∵∠AFD＝∠HFE，∴△DF A≌△EFH，∴DF＝EF.(2)结论：MF＝AM＋FC.证明：如图③，由思路1可知：DA＝DG，△DFG≌△EFC，∴FG＝FC.∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM . ∵MF ＝FG ＋GM ， ∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图④所示．连接DN ，过点D 作DG ∥CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2∠BAC ，设∠BAC ＝x ，则∠B ＝∠ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝∠ADN ＝36°.∵∠ADG ＝∠B ＝72°，∴∠NDG ＝∠A ＝36°. 又∵∠DGN ＝∠AGD ，∴△GDN ∽△GAD ， ∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG ∶FC ＝DG ∶DA ＝1∶m . ∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )，∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1，∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP ⊥BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝∠DPN ＝90°.又∵∠C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即∠MDQ ＋∠MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即∠MDP ＋∠NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝∠NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQDP.∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN ＝BCAC .(2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1， DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4.∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43.又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53.8．解：(1)1∶2 BD ∶BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD ∶AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ， ∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE ∶AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ，∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE ∶AF ＝OD ∶AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF的值是1.理由如下：由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABCS △ABC ＝1.9．解：(1)∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF . ∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝∠BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5.(2)连接AM 交EF 于点O ，如图①，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝∠MFE ， ∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ， ∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ， ∴四边形AEMF 为菱形．设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x . ∵四边形AEMF 为菱形， ∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ， ∴CM CB ＝CE CA ＝EMAB，即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103.∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ，∴EF ＝2×43×2094103＝4109.(3)如图②，过点F 作FH ⊥BC 于点H ， ∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ，∴CN ∶NH ＝CE ∶FH ，即1∶NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4∶7.设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH ∶AC ，即(4－7x )∶3＝4x ∶4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。

(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形

学生编号学生姓名授课教师辅导学科九年级数学教材版本下教课题名称相似三角形课时进度总第（）课时授课时间 10月23日教学目标掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质和判定方法方法解决实际问题。

重点难点重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形．同步教学内容及授课步骤知识点归纳：知识点1、有关相似形的概念(1)、形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）、如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）、在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

（3）、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ，即512AC BC AB AC -==，简记为：512-长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

北师大版九年级上册4.7相似三角形性质(包含答案)

北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕相似三角形的性质〔1〕〔含答案〕一、选择题：1、两个相似三角形的对应高之比为 1：2，那么它们的对应中线之比是〔〕：2 ：3 ：4 ：82、等腰△ABC和△DEF相似，相似比为3：4，那么它们底边上对应高线的比为〔〕A.3：4B.4：3C.1：2 ：13、假设两个相似三角形的对应高的比是 9:16，那么它们对应的对角线的比为〔〕A.9:16B.16:9C.3:4D.4:34、如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、BE分别是△ABC的高线和中线，A'D'、B'E'分别是△A'B'C'的高线和中线，且 AD=4，A'D'=3，BE=6，那么B'E'=〔〕3579A. B. C. D.2222第4题图第5题图5、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE//BC，且AD:BD=4:5，那么△ADE与△ABC的对应高的比是〔〕A.1:4B.1:3C.4:5D.4:96、两个相似三角形的相似比是2:7，它们的对应中线的差是25，那么较大的三角形的中线长为〔〕7、如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，如果△ABC的高线AH长8cm，底边BC的长为10cm，设DG=xcm，DE=ycm，那么y关于x的函数关系式为〔〕1/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕A.y4xB.y5xC.y 4x8 D.y5x85454第7题图第8题图8、如图，点光源P在在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是，那么AB与CD的距离是〔〕A.二、填空题：9、如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个三角形的对应高之比是______，对应角平分线之比是_______；10、△ABC∽△A'B'C'，AB1，AB边上的中线CD=4cm，那么A'B'边上的中线AB2C'D'=_____；11、两个相似三角形的对应中线之比是1：3，且较大的三角形最长边是18cm，那么较小三角形的最长边为_____cm；12、顺次连接三角形三边的中点，所形成的三角形与原三角形的对应中线的比是_______；三、解答题：13、如下列图，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是边AB，DF上的中线，AC=9cm，CB=12cm，DE=3cm；（1〕求CM，DN的长；2〕CM的值与相似比有什么关系？可得到什么结论？EN2/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕14、如图，AF是△ABC的高，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，DE交AF于点G；AD=10，AB=30，AC=24，GF=12；1〕求AE的长；（2〕求点A到DE的距离；3/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕15、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，点D ，E 分别在AB ，AC 上；如果以A ，D ，E 为顶点的三角形和△ABC 相似，且对应角平分线的比是1，试求AD ，AE 的长；416、有一批形状、大小相同的直角三角形不锈钢钢片，如下列图①；在△ABC 中，∠C=90°，BC=3cm ，AC=4cm ；分别采取如图②③所示的两种方法截取一个正方形不锈钢钢片，且使正方形的面积较大；试判断哪种方法更好些，并说明理由；4/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕参考答案：1~8 AAADD CDB9、1：4，1：4；10、8cm；11、6；12、1：2；12、〔1〕，；〔2〕CM的值等于相似比；结论：相似三角形对应中线的比等于相似比；EN14、〔1〕AE=8；〔2〕点A到DE的距离是6；15、，AE=2；16、图②的截法更好些；5/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕6/6。

北师大版-数学-九年级上册-相似三角形中的操作题

相似三角形中的操作题实验操作性题目，一般先设置材料背景，让学生在通过实际操作的基础上设计有关问题.使学生在数学活动中，通过手脑并用，获得初步体验，促进学生生动、活泼、积极主动的发展，这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，现从07年中考试题中采撷两例与相似有关的操作题，供读者参考.例1 (07乐山)如图1，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10.直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时(点P 与A ，D 不重合)，一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt △AEP ∽Rt △DPC”成立．(1)当∠CPD=030时，求AE 的长；(2)是否存在这样的点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．分析:本题考查相似三角形的性质和解直角三角形的有关知识. (1)在Rt △DPC 中，根据∠CPD 的正切求PD ，进而求AP ，再根据“Rt △AEP ∽Rt △DPC”，对应直角边成比例求得AE 的长;(2)存在性探索题目，假设满足条件的点P 存在，设DP=x ，则AP=10-x ，仍然根据“Rt △AEP ∽Rt △DPC”，对应直角边成比例求得AE 的长，若求得的AE≤4，说明存在，否则不存在.解:(1)在Rt △PCD 中，由,tan PDCD CPD =∠得.3430tan 4tan 0==∠=CPD CD PD ∴AP=AD-PD=10-34，由Rt △AEP ∽Rt △DPC 知,CD AP PD AE =∴.12310-=⋅=CDPD AP AE (2)假设存在满足条件的点P ，设DP=x ，则AP=10-x. 由Rt △AEP ∽Rt △DPC 知,2=AP CD ∴,2104=-x 解得x=8，此时AP=2，AE=4符合题意．评注:存在型问题的解题思路是:先假定探索的对象存在，以此为依据进行计算或推理，若推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的结论.例2 (07芜湖)如图2，在直角坐标系中△ABC 的A 、B 、C 三点坐标为A (7，1)、B (8，2)、C (9，0)．(1) 请在图中画出△ABC 的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC 同在P 点一侧);(2)求线段BC 的对应线段B C ''所在直线的解析式．分析: (1) 点P (12，0)为位似中心，相似比为3，于是在射线PC 截取C P '=3PC ，连接PA 并延长，在射线PA 上截取PA A P 3='，同理找出B '，顺次连接C B A '''，△C B A '''即为所求.(2)欲求线段B C ''所在直线的解析式，需求B '和C '点的坐标，这可通过两三角形相似来实现.解:(1)画出A B C '''△，如图3所示．(2)作BD x ⊥轴， B E 'x ⊥轴，垂直分别是D ，E 点．∴B E '∥BD ．∴B E PE PB BD PD PB''==． ∵B (8，2)，∴8OD =，2BD =． ∴1284PD =-=．∵A B C '''△与△ABC 的相似比为3，∴3PB PB'=．∴324B E PE '==．∴6B E '=，PE =12． ∵PO =12．，∴E 与O 点重合，线段B E '在y 轴上．∴B '点坐标为(0，6)．同理':3PC PC =:1．又∵PC OP OC =-=1293-=，∴'9PC =．∴'1293OC =-=．∴'C 点坐标为(3，0)．设线段B C ''所在直线的解析式为y kx b =+．则6003k b k b=⋅+⎧⎨=⋅+⎩ ∴26k b =-=，．∴线段B C ''所在直线解析式为26y x =-+．评注:位似是特殊的相似，本题考查了同学们对位似变换知识的理解和运用.位似变换中，对应点连线经过位似中心，而对应点到位似中心的距离比等于位似比是关键.快乐套餐:1.(杭州)如图4，用放大镜将图形放大，应该属于( )A ．相似变换B ．平移变换C ．对称变换D ．旋转变换2.(成都)如图5，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(),a b ，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为( )A.(),2a b --B.()2,a b --C. ()2,2a b --D.()2,2b a --3.(青岛)如图6是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm.4.(仙桃)小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是米.5.(荆州)如图7是一张简易的活动小餐桌，现测的OA ＝OB ＝30㎝，OC ＝OD ＝50㎝，桌面离地面的高度是40㎝，则两条桌腿的张角∠COD 的度数为．参考答案:1. A2. C3.164. 6.45. 120°提示:如图1，过点O 作OF ⊥CD ，延长FO 交AB 于E ， ∵OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，∴53==OC OB OD OA ，∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴,53==OC OB OF OE ∴,5340=-OF OF ∴OF=25cm ∴OF=21OD ， ∴∠ODF=030，∴∠DOF=060，∴∠COD=2∠DOF =0120.DC B A 40O 图1 E F 图6D CB A40㎝ O图7 图5。

九年级数学上册第4章图形的相似第11课时相似三角形的性质(1)(课后作业)习题课件 (新版)北师大版

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7.已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm，AD，A′D′分别为△ABC与△A′B′C′的中线，下列结论中： ①AD∶A′D′＝4∶3； ②△ABD∽△A′B′D′； ③△ABD∽△A′B′C′； ④△ABC与△A′B′C′对应边上的高之比为4∶3. 其中结论正确的序号是_①__②__④___．（填序号）
（2）求CD的长． ∵△ABC∽△DAC，AD=2，AC=4，BC=6，
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3.用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm 变为5 cm，那么看到的图形的高是原来的( A ) A．5倍 B．15倍 C．25倍 D．1倍 4.已知△ABC∽△A1B1C1，AB∶A1B1＝3∶5，BE， B1E1分别是它们的对应中线，则BE∶B1E1＝ ___3_:_5_______．
第四章图形的相似
第11课时相似三角形的性质（1）
作业本
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一、选择或填空题（每题10分，共70分） 1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( A ) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 2．两个相似三角形对应高的比为1∶2，那么它们对应中线的比为( A ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8
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5．两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角形对应边上的中线为___1_2_____． 6.如果两个相似三角形对应边的比为1∶2 ，那么：（1）它们的相似比为__1_：__2___；（2）它们对应边上的高的比为__1_：__2___；（3）它们对应角的平分线的比为_1_：__2____．
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9.如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°， ∠D=117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠ACB的度数；

数学北师大版九年级上册相似三角形及应用

北师大（2011）版九年级数学上册回顾思考：相似三角形及应用课标呈现考查内容：1．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．2．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．3．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明．4．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．5．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．教学流程：（一）考点梳理夯实基础 1．比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a b ＝c d，就称a ，b ，c ，d 四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例线段的性质： ⑴基本性质：a b ＝c d ⇒ad ＝bc (bd ≠0)；a b ＝b d⇒b 2＝ad ； ⑵合比性质：a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±dd ；⑶等比性质：若a b ＝c d＝…＝m n(b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋n ＝ab3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 4．相似三角形性质：__________⑴相似三角形的对应边__________，对应角__________．⑵相似三角形的对应高的比，_________________与__________都等于相似比 ⑶相似三角形周长的比等于_______，相似三角形面积的比等于__________．【答案】⑴成比例，相等；⑵对应角平分线的比，对应中线的比；⑶相似比，相似比的平方 5．相似三角形的判定：⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似：(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应夹角相等，那么这两个三角形相似： (4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 6．相似三角形的几种典型图形（二）自主练习（三）例题解析（四）拓展提高（五）回顾总结学生谈收获和体会 (六)作业布置:同步练习。

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证：BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设B C E ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，例3G ．求例5、式，BC CE BC CD 2∴BC 2＝2CD ·AC ．证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC=AE ．∴∠EBC=90°，B C E C又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC ，∴△EBC ∽△BDC ∴BC CE CD BC =即BC AC CD BC 2= ∴BC 2＝2CD ·AC ．证法三（构造BC 21）：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 21．又∵AB=AC ， ∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE ∽△BCD ． ∴BC AC CD CE =即BCAC CD BC =21∴BC 2＝2CD ·AC ．证法四（构造BC 21）：如图，取∵BD ⊥AC ∴∠又∵AB=AC 22CD ·AC ．说明：在解题中方法要灵活，思路要开阔．AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE，AE BE 3=，求B ∠的度数；1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE 的值 k =，则k BE 3=BA 、CD 交于点FAF 3=∴k AF 2=，E 为BF 的中点∴BCF ∆为等边三角形故︒=∠60B解法2 如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F则DF CE ⊥，得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF ∆为等边三角形故︒=∠=∠601B解法3 如图作EC AF //交CD 于G ，交BC 的延长线于F作AB GI //，分别交CE 、BC 于点H 、I则GI CE ⊥，得矩形AEHGCE AF // ∴3==AEBE CF BC ，又AD BC 3=∴AD CF =，故G 为CD 、AF 的中点以下同解法1可得CGI ∆是等边三角形故︒=∠=∠601B解法4 如图，作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且AB FG ⊥读者可自行证得ABF ∆是等边三角形，故︒=∠60B解法5 如图延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD可证得A 为FD 的中点，则k AH 2=，故︒=∠601ACF ACD S S ∆∆=，FEC AECD S S ∆=四边形故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==（2）由（1）、（2）两式得AE BE 4= 即4=AEBE 解法4（割补法）如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则AD CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=，∴s S S ABCD ABG 5==∆梯形∴21212153h BG h BC S S ABG EBC ⋅⋅⋅⋅==∆∆，又43=BG BC ∴5421=h h ，∴54=AB BE ，故4=AEBE 说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3G ．求∵AD CH ，解法2：，即AB解析：取CF 的中点G ，连接BG ．∵B 为AC 的中点，∴BG ：AF=1：2，且BG ∥AF ，又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点．∴EF ：BG=1：2．故EF ：AF=1：4，∴AF ：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．解法1：过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ，∵O 是AC 中点，OM ∥CB ，∴M 是AB 的中点，即a MB 21=，∴OM 是△ABC 的中位线，b BC OM 2121==，且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．∴△BEF ∽△MOE ，∴EM BE OM BF =，即c a c b BF +=221解法2：如图4-8，延长EO 与AD ∴AG=FC=b-BF ，∵BF ∥AG ∵c a c bBF 2+=解法3CN BE =．c a 2+=. 的平分线．求证：CD BD AC AB =．分析1常应注意平行线的作用，在没有平行AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系∥AD ，交BA 的延长线于E ．在△BCE 中，∵DA ∥CE ，∴AE BA DC BD =①又∵CE ∥AD ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ，∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴AC=AE ．代入②式得AC AB DC BD =．分析2由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2：如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．于是EA=ED ．又∵DC BD EA BE =，∴EA BE ED BE AC AB ==，∴CD BD AC AB =.分析3欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．证法3：如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ．∵∠1=∠2，∴∠1=∠E ，AB=BE ．又∵AC BE DC BD =，∴CD BD AC AB =.分析4由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D证法4如图4—12，过D 点作DE ∥易证四边形AEDF 由△BDE ∽△DFC 又∵AC AB DE BE =。

2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专项突破11相似三角形相关的四种常用作辅助线的方法

∠ FAE ＝∠ PDE ，∠ AFE ＝∠ DPE ，∴△ AEF ∽△
DEP .

又∵ E 是 AD 的中点，∴ ＝＝1.

∴ PE ＝ EF ＝ PF . ∴ BP ＝2 PF ＝4 EF . ∴ BE ＝5 EF .
∴ BE ∶ EF ＝5∶1.
1
2
3
4
方法2
作垂线
2. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， P 是 AB
上一点， Q 是 PC 上一点(不是中点)， MN 过点 Q 且 MN ⊥
CP ，分别交 AC ， BC 于点 M ， N . 求证： PA ∶ PB ＝
CM ∶ CN .
1
2
3
4
证明：过点 P 作 PE ⊥ AC 于点 E ， PF ⊥ CB 于点 F ，易得
延长线段
3. 如图，在Rt△ ABC 中， CD 为斜边 AB 上的高， E 为 CD
的中点， AE 的延长线交 BC 于点 F ， FG ⊥ AB 于点 G . 求
证： FG2＝ CF ·BF .
1
2
3
4
证明：延长 GF 与 AC ，交于点 H .
∵ CD ⊥ AB ， FG ⊥ AB ，
∴ CD ∥ FG ，∠ ADE ＝∠ AGF .

∵ AB ⊥ AC ，∴ AM ＝ CM ＝ BC . ∴∠ MAC ＝∠ C .
又∵ BD ＝ DC ，∴∠ DBC ＝∠ C .
∴∠ CAM ＝∠ DBC .
又∵∠ C ＝∠ C ，∴△ MAC ∽△ DBC . ∴
1
2
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