中考数学习题精选：新定义型问题(含参考答案)

中考数学习题精选： 一、选择题
1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10. 则（-2）☆3的值为
A ．10
B ．-15
C . -16
D ．-20 答案：D 二、填空题
3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么， 2△6 = ， 2()
3
-△(3)-= ． 答案：24，-6
4．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF
AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．
如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，
作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°．
答案60
5、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．
图2
图1
E A
三、解答题
6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：
a
c
=b ad bc d -．例如：1214-23=-2.34
××= （1）按照这个规定，请你计算
5624的值．
（2）按照这个规定，当
52
12
2
4
2=-+-x x 时求x 的值． 答案（1）5
62
4
=20-12=8 ………………………………………………………………………2 （2）由 52
122
4
2=-+-x x 得
522422
1
=++-)()(x x ...............................................................4 解得，x = 1 (5)
7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：
（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .
例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;
（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;
（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 答案.
解：（1）﹣5……………………..２分
（2）1 ……………………..４分
（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5 ∴5
23
x k =
+ ∵k 是整数 ∴2k +3=±1或±5
∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分
8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝
3(35)123-⨯---=．
（1）求(2)-⊙1
32
的值；
（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义
的运算：m ⊕n ＝ （用含m ，n 的式子表示）．
答案 解：（1）(2)-⊙11
3
2(23)122
=-⨯-+- 4=-.
（2）答案不唯一，例如：m n ⊕=(1)m n +.
9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B
的“确定圆”的示意图．．．
． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；
（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，
使得点A ，B
的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；
（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线3
3y = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围． 解：（1）25π； ………………… 2分 （2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积 为9π，
∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．
①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，
∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴322
BE AE ==
．
∴3232
22
B
（，． A
B
y
x
l'
l
E
C
D B
B'
3
A
②当0b <时，则点'B 在第四象限．
同理可得'2
2
B ．
综上所述，点B
的坐标为
22-（，
或22
-（． ………………… 6分
（3）5m -≤或11m ≥．
10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，
如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点． 已知：点C (3，4)
（1）下列各点中， 与点C 互为
反等点；
D (-3，-4)，
E （3，4），
F （-3，4）
（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若
在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围； （3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中
线段CG 的两个交点互为反等点， 求r 的取值范围．
解：(1)F ……1分 (2) -3≤p x ≤3 且p x ≠0 ……4分
(3)4 < r≤5 ……7分
11. （2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为 线段AB 的伴随点．
（1）当t =-3时，
①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN 5=，求b 的取值范围； （2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针
旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围． 解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P . ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.
…………………………………………………………4分 如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值. ………………………………………………………5分 ∴ b 的取值范围是3≤b ≤5. ………………………………………6分
（2）t 的取值范围是-
1
2.2
t ≤≤……………………………………8分 12．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下
定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2
2121y y x x ．
已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．
图1
图2
（1）连接BC，在点D(1
2
，0)，E(0，1)，F(0，
1
2
)中，可以成为点A和线段BC的“中
立点”的是____________；
（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；
（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的
取值范围．
解：（1）点A和线段BC
（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、
半径为1的圆上运动.
因为点K在直线y=- x+1上，
设点K的坐标为（x，- x+1），
则x2+（- x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.
所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分
（3）（说明：点N与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、
半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.）
所以点N的横坐标的取值范围为-6≤x N≤-2. ………8分
13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P
为
C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．
（1）已知点A 的坐标为(1,0)，
A 的半径为2，
①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是
____________；
②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐
标的取值范围；
（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围． 解（1）①
A 的反射点是M ，N ． ………………1分
②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，
G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．
可求得点D 的横坐标为32
2
-
． 同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为22
-，22，322．
点P 是
A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对
称点'P 在A 上，则'OP OP =.
∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ． 反之，若13≤≤OP ，
A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的
垂直平分线经过原点，且与
A 相交．因此点P 是
A 的反射点．
∴点P 的横坐标x 的取值范围是32222≤≤x -
-，或23222
≤≤
x ． ………………4分
（2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -． (7)
分
y
x
P
O
C T P’
14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ
k CQ
+=
，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQ
CQ
）．
已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1
，当r =
①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．
②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．
②当k =r 的取值范围．
（3）若存在r
的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的
点”，直接写出b 的取值范围．
x
解：（1．………………………………………………………………………… 1分
②是．……………………………………………………………………………2分 （2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点
M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM ⊥CM ． ∵ (1,0)Q -，(1,0)C ，r =1， ∴ 2CQ =，1CM =． ∴
MQ =
此时2MQ
k CQ
== 3分
②如图10，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不
妨设QN ＜QM ，点N ，M 在x 轴下方时同理）． 作CD ⊥QM 于点D ，则MD=ND ．
∴ ()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=． ∵ 2CQ =， ∴ 2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==．
∴ 当k DQ =
此时1CD ==．
假设⊙C 经过点Q ，此时r = 2． ∵ 点Q 在⊙C 外，
∴ r 的取值范围是1≤r ＜2． …………………………………………… 5分
图9 图10
（3）b ＜ 7分 15. （2018北京怀柔区一模）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA ⋅PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．
①在点P 1（2,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ；
②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；
(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x
轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．
解：(1)①P 1（2,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图， 在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m ≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H.
因为OH=2，在Rt △DOE 中，可知OE=22.
可得b 1=22.同理可得b 2=-22.
∴b 的取值范围是:22-≤b ≤22. …………………………………………………6分
(2)x>3或 3-<x . …………………………………………………………………………8分
16. （2018北京平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.
（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；
（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．
解：（1）60； ······························································································ 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°． 过点C 作CE ⊥DE 于E ．
∴D （4,5）或()2,5-． (3)
∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． (5)
（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)
17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2
L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有
12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值1
2
PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．
例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的
两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点
M 、N ，因为总有1
2
''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲
似比为
1
2
r r ，“曲心”为O'． （1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物
线2
y x =、2
12
y x =
分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“2
12
y x =
”改为“2
1y x m
=
”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．
图2
C 2
C 1
N
M
O'图1
Q 2Q 1L 2
L 1
P
解：（1）是．
过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．
（3）m 的取值范围是m ＞1，
k 与m 之间的关系式为k 2=m 2-1 ． ……… 8分
18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.
例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4.
（1）①点A （2，5-）的最大距离为 ；
②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为 ； （2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；
（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.
x
y –1–2–3–4–51
2
3
4
5–1
–2–3–4–5
1
2345O
解：（1）①5……………………… 1分
②5±……………………… 3分 （2）∵点C 的最大距离为5，
∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分
分别把5x =±，5y =±代入得：
当5x =时，7y =-，
当5x =-时，3y =，
当5y =时，7x =-，
当5y =-时，3x =，
∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分
（3）5r ≤≤…………………………………7分
19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x
轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”. 下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图. （1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 . （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，
① 当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的
坐标及经过点N 的反比例函数的表达式；
② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出
r 的取值范围 .
备用图
答案：（1）6； …………………………………………………………………………1分 （2）① B （6,0） ………………………………………………………………………2分
N （1,5）或N （5,1） …………………………………………………………4分
x
y 5
=
； ……………………………………………………………………………5分 ② 2
3
230-
<<r 或229>r . …………………………………………………8分
20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点． （1）当⊙O 的半径为3时， 在点P 1（1,0），P 231），P 3（7
2
,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；
（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；
（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E 22，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．
y x
671
5325432-1
-16
O 14x
y B A 715
325432
-1
-16O 1
4P
Q
答案： 解： （1）P 2，P 3； ………………2分 （2）由勾股定理可知，OP =5，
以点O 为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP 于点Q ，R ，可知PQ =PR =1，此时P 是⊙O 的和睦点；
若⊙O 半径r 满足0<r <4时，点OP -r >1，此时，P 不是⊙O 的和睦点； 若⊙O 半径r 满r >6时，r -OP >1，此时，P 也不是⊙O 的和睦点；
若⊙O 半径r 满足4<r <6时，设⊙O 与射线OP 交于点T 即PT <1时，可在⊙O 上找一点S ，使PS =1，此时P 是⊙O 的和睦点； 综上所述，46r ≤≤． ………………4分
（3）523A x --≤≤， 211A x ≤≤． ………………8分
21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.
（1）当⊙O 的半径为1时，
①在点P 1（
1
2
3），P 2（0，－2），P 350）中，⊙O 的“离心点”是 ；
②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；
（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线12
1
+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.
解：（1）①2P ，3P ； ……2分
②设P （m ,－m ＋3），则()532
2=+-+m m . …3分
解得11=m ，22=m . ……4分 故1≤m ≤2. ……6分
（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分
22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：
射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA
QA
≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．
已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．
（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P
的坐标________；
（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2
BAO ∠=
，求点B 的纵坐标t 的
取值范围；
（3
）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙
O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．
解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分
（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，
且使得
1
tan 2
OAM ∠=
，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，
得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B . 作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，
∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .
∴ 1
tan tan 2
HMC OAM ∠=∠=
. ∴
1
2
MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，1
2
CH y =
， ∴ 522AC AH CH y =+=
=，解得45y =，即点M 的纵坐标为4
5
.
又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为
8
5
， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：
48
55
t ≤≤. ……………3分
由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：84
55
t -
≤≤-.……………4分
∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -
≤≤-或4
85
5t ≤≤.
（3）41b -≤≤-或14b ≤≤- ………………7分
23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.
(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (
21，1)、N (1，2
1
)中，是“关系点”的 ； (2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标；
x
y
–1
1
–1
1
G
P
O (3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．
解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P 作PG ⊥x 轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （x ，2x ）
∵OG 2+PG 2=OP 2 ………………………………………………………………………………4分 ∴x 2+4x 2=1 ∴5x 2=1
∴x 2=
5
1
∴x =5
5±
∴P (
5
5，55
2)或P (55-，552-)……………………………………………………5分
(3)r =
5
5
6或 4117≤<r …………………………………………………………7分
24、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）以点P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以
它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”， 射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含1PN ，2PN ）. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .
（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B 、(20)C 属于点P
的摇
摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；
（2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少
为_________°；
（3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒ 时
的摇摆区域内，求a 的取值范围．
备用图
解：（1）点B ，点C ； …………………………………………2分 （2）90°………………………………………………………3分 （3）当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 左边的射线相切时如图28-1
∵点(2,3)P 的摇摆角为60° ∴30KPF ∠=︒，3PF =
在Rt △PFK 中， tan tan 30KF
KPF PF
∠=∠︒=
在
可求得KF =
∵30KPF ∠=︒，
∴60PKF ∠=︒
在Rt △PFK 中， sin sin 60QW QKF KW
∠=∠︒=，
可求得KW =
∴22OW OF KF KW =-+=
当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图28-2
同理可求得OW
∴2a ≤
x
x
25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出
如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当
O 的半径为1时，
①点11
(,0)2
P
,2P ,3(0,3)P
中，O 的关联点有_____________________.
②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是O 的关联点，求点P 的横
坐标x 的取值范围.
（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.
备用图 备用图
答案：（1）12P P 、 ………2分
（2）如图，以O 为圆心，
2为半径的圆与直线y=1交于12
,P P 两点.线段12P P 上的动点P （含端点）都是以O 为圆心，1为半径的圆的关联点.故此x ≤≤
P2
P1
y
x
-5
-4
-3
-1
5
4
3
2
1
-5-4-3-2-15
4
3
2
-2
O O
1
…………………………………………………………6分
（3）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点.
正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点
∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点
故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，221
-为半径的圆.
综上所述，2213
r
-≤≤.………………………..8分
26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．
①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)
（2）①连结MN ，
∵OM =ON =4，
∴Rt △OMN 是等腰直角三角形． 过O 作OA ⊥MN 于点A ，
∴点M ,N 关于直线OA 对称． .......................................................... 3 由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． ................................. 4 ∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ． ................................................. 5 ②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n =52； ..... 6 当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0；.................. 7 ∴m －n 的取值范围是0＜m －n ≤52 . (8)
27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，
点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．
．
（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”
的顶角为_________°；
（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”
为等边三角形，求直线CD 的表达式；
（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线x
y 3
-
=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．
解：（1）120º； ……………………………………………………………2分
（2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，
∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标
为)343(，
或)343(，-，进一步得直线CD 的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分
（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分
28、（2018北京通州区第一学期期末）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段
PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线
段PQ 的长度为0. 当⊙O 的半径为2时：
（1）若点⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________； （2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标；
（3）直线()03
3
>+-
=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.
答案：
29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，
(2,2)B -．对于给定的线段
AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．
①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；
（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，
且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．
答案：
30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任
意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.
例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、
B 、
C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的
“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.
（1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是 ；
（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为 ；
B
C –1–2–3–4123
4
–1–2
–3
–4
1
234
A
O x
y
（3）已知点D (1，0).
①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；
②若直线l ：1
2
y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．
（备用
图）
解：（1）点R ……………………… 1分 （2）−2或3……………………… 3分
（3）①画出如图所示的图像……………………… 5分
②5
2
m ≥或2m ≤-……………………… 7分
31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：
若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y =x 时，
①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-
，2
2）中，直线m 的平行点是 ； y x
D O A
–1–2–3–4–5123
4
5
–1
–2–3–4–5
1
2
345y
x
D O A
–1–2–3–4–5123
45
–1
–2–3–4–5
1
2
345y D
O A –1–2–3–4–5123
45–1–2–3–4
–5
1
234
5
②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.
（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直
接写出n 的取值范围．
答案：（1）①P 2，P 3 (2)
分
② 解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1
的直线.
设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .
如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1. 由直线m 的表达式为y =x ，可知∠OAB=∠OBA =45°. 所以OB=2.
直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q . 连接OQ 1，作Q 1N ⊥y 轴于点N ，可知OQ 1=10. 在Rt △OHQ 1中，可求HQ 1=3. 所以BQ 1=2.
在Rt △BHQ 1中，可求NQ 1=NB=2.
所以ON=22.
所以点Q 1的坐标为（2，22）.
同理可求点Q 2的坐标为（22-，2-）.……………………………4分
如图2，当点B 在原点下方时，可求点Q 3的坐标为（22，2）点Q 4的坐标为 （2-，22-）. ………………………………………………………6分 综上所述，点Q 的坐标为（2，22），（22-，2-），（22，2），（2-，
22-）.
（2）334-
≤n ≤3
3
4. ……………………………………………………………8分
32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线2
14
y x =
上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线21
4
y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则
PH PF =.
基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线2
14
y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线2
14
y x =
的关联点.
（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线2
14
y x =
的关联点是______ ；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，
，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线2
14
y x =
的关联距离d 的取值范围；
②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线2
14
y x =
的关联点，
则t 的取值范围是__________. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分
（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，
，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线2
14
y x =
的下方， ∴.d MF =
∴.AF d CF ≤≤
∵=4=29AF CF ，，
∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分
②33 1.t --2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分
33、（2018北京房山区二模）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为
圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”. （1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （－12，32 ），M （0，－1）中，⊙O 的“关
联点”为 ；
（2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为 5 ，求n
的值；
（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线4
43
y x =-
+与 x 轴，y 轴分别交于点A ，B . 若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围. 解：（1）① F ，M.………………………………………………………………………2′
（注：每正确1个得1分） （2）如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H . ∵PH =1，QH =n ，PQ =5 ∴由勾股定理得，PH 2+QH 2=PQ 2 即(2
2215n +=
解得，2n =或－2. ………………………………………………………4′
（3）由4
43
y x =-
+，知A （3，0），B （0，4） ∴可得AB =5
I. 如图2（1），当⊙D 与线段AB 相切于点T 时，连接DT .
则DT ⊥AB ，∠DTB =90° ∵OA DT
sin OBA AB BD
∠=
= ∴可得DT =DH 1=6
5
∴16
5
m =
…………………………………………………5′ II. 如图2（2）, 当⊙D 过点A 时，连接AD .
由勾股定理得DA =OD 2+OA 2=DH 2=13 ……………………6′ 综合I ，II 可得：6135m -≤≤-或6
135
m ≤≤………………………………8′
34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q
，之间的“直距”定
义为：2
121y y x x D PQ
-+-=.
例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN
D =-+---=.
y
x
T 图21()
D B
A
O
H 1
y
x
D B
A
O
H 2
已知点A (1，0)、点B (-1，4). （1）则_______=AO
D ，_______=BO D ；
（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.
答案. （1）1AO D =，5BO D =；（2）如图：
解法1：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.
设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则222x x +-+=，则点C 的坐标为（0，2）或42
(,)33
-.
解法2：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.
点C 与点O 之间的“直距CO D ”为2的运动轨迹为以点O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2）
或42
(,)33
-. ………………5分
（3）EO D 的取值范围为45EO D -≤≤+7分
35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标
之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在
所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-． （1）写出函数21y x =-的限减系数；
（2）0m >，已知1
y x
=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．
（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．
答案28．解：（1）函数21y x =-的限减系数是2；
（2）若1m >，则10m ->，（1m -，
1
1
m -）和（m ，1m ）是函数图象上两点，
111
01(1)m m m m -=-<--，与函数的限减系数4k =不符，∴1m ≤． 若102m <<
，（1t -，11t -）和（t ，1
t
）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，
则0t m <≤，1111(1)
t t t t -=---，
∵(1)0t t -->，且2211111
(1)()()24244
t t t m --=--+≤--+<，
∴11
41
t t ->-，与函数的限减系数4k =不符. ∴12
m ≥． 若
112m ≤≤，（1t -，11t -）和（t ，1t
）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，111
1(1)
t t t t -=---，
∵(1)0t t -->，且2111
(1)()244
t t t --=--+≤，
∴11141(1)t t t t -
=≥---，当1
2t =时，等号成立，故函数的限减系数4k =． ∴m 的取值范围是
1
12
m ≤≤． （3）11-n ≤≤．
36．（2018北京市东城区初二期末）
定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.
（1）
若1,a b =直接写出,a b 的“如意数”c ；
（2） 如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤
（3）已知2
=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3
2
31,c x x =+-，则b =
(用含x 的式子表示) .解：（1
） 1.
2c =分
222
4,(4)()(4)()44444(m 2)05a m b m
c m m m m m m c m m c （2）分
分=-=-∴=-⨯-+-+-=-+-=-+-=--∴≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2
6b x =+（3）分
37.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于
a 的最大
整数，称
[]a 为a 的根整数，例如：[]39=，[]310=.
(1)仿照以上方法计算：
[]=4_______;[]=26________.
（2）若
[]1=x ，写出满足题意的x 的整数值______________.
如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次
[][]13310=→=，这时候结果为1.
（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________. 解：(1)2, 5 (2)1,2,3 (3) 3 (4)255
38.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）下列分式: ①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④22
2
()a b a b -+. 其中是“和谐分式”是
(填写序号即可)；
（2）若a 为正整数，且
21
4
x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值;
（3） 在化简22
3
44
a a b
ab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形:
小东：22344
=a a ab b b b -⨯-原式223244a a ab b b =--()()
2223
232
44a b a ab b ab b b --=- 小强：22344=a a ab b b b -⨯-原式 ()22244a a b a b b =--()()
2
2
44a a a b a b b --=- 显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单， 原因是： ，
请你接着小强的方法完成化简. 解：（1）②………………1分。