三角函数的概念课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

左边= cos x(1 sin x) cos x(1 sin x) cos x(1 sin x) 1 sin x =右边．
(1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x
cos2 x
cos x
所以，原式成立．
证法二：因为(1－sinx)(1+sinx)=1－sin2x=cos2x=cosxcosx，
新知探究
3．发现规律
问题3 前面研究了三角函数值的符号规律，你认为接着可以研究什么问题？ 答案： 可以研究取值的规律．
新知探究
3．发现规律
追问1 （1）三角函数的取值规律中，你认为有哪些特殊情况值得研究？ （2）前面研究过终边相同的角，那么它们的三角函数值之间有什么关系 呢？请用符号语言表示你发现的规律．
2．应用规律
追问 你能对“例1”这种题型总结出它的解题步骤吗？
步骤：第一步，先根据条件判断角所在的象限； 第二步，分类讨论确定其中一个三角函数值的符号； 第三步，利用基本关系求出其他的三角函数值解．
新知探究
2．应用规律
例2 求证： cosx 1 sin x ． 1 sin x cosx
答案：证法一：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1+sinx≠0，于是
而48°是第一象限角，所以tan(－672°)＞0； （4）因为tan3π＝tan(π+2π)=tanπ，而π的终边在x轴上，所以tanπ=0．
新知探究
4．应用规律
例3 求下列三角函数值：
（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；
（2）cos 9π ；
4
（3）tan ( 11π ) ．
三角函数的概念
环节二 三角函数的概念（二）
确定方案
问题1 前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为 接下来应研究三角函数的哪些问题？
答案：根据一般函数的研究路径，接下来应该研究三角函数的图象与性质， 但是三角函数与其他函数不同，三角函数是通过单位圆上点的坐标或坐标比值定 义的，而单位圆具有丰富的几何性质，这种性质反映到三角函数上，就会呈现出 丰富的性质．所以，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角 函数所特有的性质．
且1－sinx≠0，cosx≠0，所以
cos x 1 sin x
1 sin cos x
x．
新知探究
3．探究延伸
问题2 总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数 性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？
答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规 律、三角函数的取值规律（相等）入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基 本关系．自然地，我们还可以进一步研究三角函数取值互为相反数等其他关系 的规律．
（2）本节课在三角函数定义的基础上，研究了三角函数的两条性质，它的 研究方法和幂函数、指数函数等函数性质的研究方法有什么不同？
归纳总结
答案：（1）
归纳小结
归纳总结
归纳小结
（2）对于幂函数、指数函数和对数函数，都是从代数角度进行论证的．三 角函数的这两条性质是依据三角函数定义，结合平面直角坐标系、单位圆的性质 得到的．三角函数是通过单位圆定义的，单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角 函数，而单位圆具有丰富的几何性质，所以，我们可以从定义出发，结合单位圆 可以直接得到三角函数独有的一些性质．
如果α是第三象限角，那么cosα＜0．于是cosα= 16 4 ，
25 5
从而 tan sin ( 3) ( 5) 3 ； cos 5 4 4
如果α是第四象限角，那么cosα＞0．于是cosα= 从而tan sin ( 3) 5 3 ．
cos 5 4 4
1百度文库 4，
25 5
新知探究
新知探究
4．应用规律
例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
（1）cos 250°； （3）tan(－672°)；
（2）sin( π )；
4
（4）tan 3π．
解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0； （2）因为是第四象限角，所以sin ( π )＜0；
4
（3）因为tan(－672°)＝tan(48°－2×360°)＝tan 48°，
答案：因为有两个方程，三个未知数sinα，cosα，tanα，所以已知其中一个 可以求出另外两个，简称“知一求二”．
新知探究
2．应用规律
例1 已知sinα= － 3，求cosα，tanα的值．
5
答案：因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α+cos2α=1得cos2α=1－sin2α=1－ ( 3)2 16 ； 5 25
用集合语言表示的结果是： 当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}时，sinα＞0； 当α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}时，sinα＜0； 当α∈{β|β=kπ，k∈Z}时，sinα=0．其他两个函数也有类似结果．
新知探究
2．应用规律
例1
求证：角θ为第三象限角的充要条件是
sin tan
0, ① 0.②
答案：先证充分性．因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的 终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象 限角．
再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．
答案： （1）三角函数值相等、互为相反数等等． （2）发现终边相同的角的三角函数值相等．用符号语言表示为： sin(α+k∙2π)=sinα，cos(α+k∙2π)=cosα，tan(α+k∙2π)=tanα，其中k∈Z． 这组公式称为“诱导公式一”．
新知探究
3．发现规律
追问2 （1）观察诱导公式一，你发现三角函数的取值有怎样的变化规律？ 它反映了圆的什么特性？
归纳小结
问题3 回顾本单元学习内容，并回答下面问题： （1）本单元知识发生发展过程的基本脉络是怎样的？在上一节的基础上 进一步完善本单元的知识结构图？ （2）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现 这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？
归纳小结
答案： （1）基本脉络是：现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本 质—下定义—研究性质；本单元的知识结构图：
归纳小结
（2）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然 与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三 个概念，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现 了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．
三角函数的概念
环节三 同角三角函数的基本关系
新知探究
1．发现规律
问题1 诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等．而三个三 角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标唯一确定的，所以它们之间一定 有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
答案：如图，设P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点． 过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形， 而且OP＝1.由勾股定理OM²＋MP²＝1．因此x²＋y²＝1．
6
解：（1）sin1480°10′=sin(40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；
（2）cos 9π cos( π 2π) cos π 2 ；
4
4
42
（3）tan(
11π )
π tan(
2π)
tan
π
3．
6
6
63
归纳小结
归纳总结
问题4 （1）本节课学习了哪些知识点，你能在上节课的基础上继续完善本 单元的知识结构图吗？
（2）你认为诱导公式一有什么作用？ 答案： （1）诱导公式一体现了三角函数值有“周而复始”的变化规律， 这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映． （2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角 函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的 性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．
新知探究
1．发现规律
问题2 由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你发 现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律？如何用集合语言表示 这种规律？
答案：对于正弦函数，当角α的终边位于x轴上方时，sinα＞0；当角α的终边位 于x轴下方时，sinα<0；当角α的终边位于x轴上时，sinα=0．
即同一个角的三个三角函数之间的关系： sin2α+cos2α=1．
新知探究
并且当角α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立．
根据三角函数的定义，有：sin tan， kπ π，k∈Z．
cos
2
即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
追问 从方程的角度观察同角三角函数关系，你能发现它有什么作用？