高三全国卷理科数学高考考前基础复习课件,一轮复习课件： 计数原理、概率、随机变量及其分布
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(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相 同．( × )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完 成这件事．( √ )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方 法是各不相同的．( √ )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任 何一个单独的步骤都能完成这件事．( × )
5．[教材习题改编]从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．
解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为 两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都 是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3 ＝6种．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种 不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝ ②m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③完成一 件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原 理与④分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都 可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤分步有关，各个步骤 ⑥相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6 个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝ 8(个)．
答案：8
2.
如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一 个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少 种不同的涂色方法( )
2．椭圆
x2 m
＋
y2 n
＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，
n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
解析：因为焦点在x轴上，m>n，以m的值为标准分类，分 为四类：第一类：m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类：m ＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m>n，n有2 种选择；第四类：m＝2时，使m>n，n有1种选择．由分类加法 计数原理，符合条件的椭圆共有10个．
答案：63
悟·技法 1.分步乘法计数原理的实质 分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，过成一件事要分为 若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能完成 该件事，只有当个步骤都完成后，才算完成这件事． 2．使用分步乘法计数原理的原则 (1)明确题目中的“完成这件事” 是什么，确定完成这件 事需要几个步骤，且每步都是独立的． (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一 定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成， 这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的 积就是完成事件的方法总数.
二、必明 3 个易误点 1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重 复计数．
2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间 接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复．
3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好” 等词的含义．
【小题热身】
考向三 两个计数原理的综合应用 [互动讲练型]
[例] 如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D， E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的 两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．288种 B．264种 C．240种 D．168种
解析：分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有
考向二 分步乘法计数原理[自主练透型] 1．(2016·课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
解析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路 径的条数，最后求出最短路径的总条数．
A．24 B．72 C．84 D．120
解析：
如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按 A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：
(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要 不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)： 有4×3×2×2＝48(种)．
(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不 与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有 4×3×1×3＝36(种)．共有84种．故选C.
计数原理、概率、随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 排列与组合 二项式定理 随机事件的概率 古典概型 几何概型 离散型随机变量及其分布列 二项分布、正态分布及其应用 离散型随机变量的均值与方差
计数原理、概率、随机变量及其分布
y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对
(4
C．15
D．21
解析：因为P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q， 所以x∈{y,2}． 所以当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况； 当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况． 故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14. 答案：B
答案：6
6.
如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城 到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共 有________条不同的路线．
解析：不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)． 答案：32
考向一 分类加法计数原理[自主练透型]
1．已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，
第一节 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
【知识重温】
一、必记3个知识点 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同 的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案 中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①m1＋m2 ＋…＋mn种不同的方法．
(1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解.
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则 称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”， 由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
答案：B
2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数 的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组 成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有 重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字 的三位数的个数为900－648＝252，故选B.
(3)排列数公式 Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④n－n！m！. Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤n！，规定0！＝1.
2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个⑥不同的元素中取m(m≤n) 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组 合．
从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的 最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向
路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如题图，从E到 F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再 从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所 以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短 路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为 6×3＝18.
2．某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5 种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为
() A．3＋5 C．35
B．3×5 D．53
解析：根据题意，某人参加该项测试，第一关有3种测试 方案，即有3种测试方法，第二关有5种测试方案，即有5种测 试方法，则有3×5种不同的测试方法．
(2)组合数的定义：从n个⑦不同元素中取出m(m≤n)个元素 的⑧所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的组合数，用符号Cnm表示．
(3)组合数公式 Cnm＝⑨AAmnmm＝⑩nn－1n－m2！…n－m＋1＝⑪m！nn！－m！.
(4)组合数的性质 性质 1：Cnm＝⑫Cnn－m. 性质 2：Cnm＋1＝⑬Cmn －1＋Cnm(m≤n，n∈N*，m∈N*)．
答案：C
4.
如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落 导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点 脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种 C．13种 D．15种
解析：按照焊接点脱落的个数进行分类． 若脱落1个，则有(1)，(4)共2种； 若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共6 种； 若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种； 若脱落4个，有(1,2,3,4)共1种． 综上共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况． 答案：C
答案：B
3．如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其 中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电 路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共 有__________________种．
解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只 要有一个焊接点脱落，则电路就不能，故共有26－1＝63(种)可 能情况．
答案：10
悟·技法 1.分类加法计数原理的实质 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为 若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独 立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． 2．使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准， 都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
答案：C
第二节 排列与组合
【知识重温】
一、必记2个知识点 1．排列与排列数 (1)排列的定义：一般地，从n个①不同元素中取出m(m≤n) 个元素，按照一定的②顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ③所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，记为Anm.
答案：B
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共 有( )
A．50个 B．45个 C．36个 D．35个
解析：根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情 况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个， 4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意 的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
二、必明2个易误点 1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方 法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只 是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联 的．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)．
A
3 4
种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A
3 4
×2＝48(种)方
法；
第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A
3 4
种方法，再涂
点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．
由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂
法．
答案：B
悟·技法 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完 成这件事．( √ )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方 法是各不相同的．( √ )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任 何一个单独的步骤都能完成这件事．( × )
5．[教材习题改编]从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．
解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为 两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都 是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3 ＝6种．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种 不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝ ②m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③完成一 件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原 理与④分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都 可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤分步有关，各个步骤 ⑥相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6 个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝ 8(个)．
答案：8
2.
如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一 个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少 种不同的涂色方法( )
2．椭圆
x2 m
＋
y2 n
＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，
n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
解析：因为焦点在x轴上，m>n，以m的值为标准分类，分 为四类：第一类：m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类：m ＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m>n，n有2 种选择；第四类：m＝2时，使m>n，n有1种选择．由分类加法 计数原理，符合条件的椭圆共有10个．
答案：63
悟·技法 1.分步乘法计数原理的实质 分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，过成一件事要分为 若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能完成 该件事，只有当个步骤都完成后，才算完成这件事． 2．使用分步乘法计数原理的原则 (1)明确题目中的“完成这件事” 是什么，确定完成这件 事需要几个步骤，且每步都是独立的． (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一 定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成， 这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的 积就是完成事件的方法总数.
二、必明 3 个易误点 1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重 复计数．
2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间 接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复．
3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好” 等词的含义．
【小题热身】
考向三 两个计数原理的综合应用 [互动讲练型]
[例] 如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D， E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的 两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．288种 B．264种 C．240种 D．168种
解析：分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有
考向二 分步乘法计数原理[自主练透型] 1．(2016·课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
解析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路 径的条数，最后求出最短路径的总条数．
A．24 B．72 C．84 D．120
解析：
如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按 A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：
(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要 不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)： 有4×3×2×2＝48(种)．
(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不 与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有 4×3×1×3＝36(种)．共有84种．故选C.
计数原理、概率、随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 排列与组合 二项式定理 随机事件的概率 古典概型 几何概型 离散型随机变量及其分布列 二项分布、正态分布及其应用 离散型随机变量的均值与方差
计数原理、概率、随机变量及其分布
y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对
(4
C．15
D．21
解析：因为P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q， 所以x∈{y,2}． 所以当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况； 当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况． 故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14. 答案：B
答案：6
6.
如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城 到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共 有________条不同的路线．
解析：不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)． 答案：32
考向一 分类加法计数原理[自主练透型]
1．已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，
第一节 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
【知识重温】
一、必记3个知识点 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同 的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案 中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①m1＋m2 ＋…＋mn种不同的方法．
(1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解.
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则 称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”， 由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
答案：B
2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数 的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组 成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有 重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字 的三位数的个数为900－648＝252，故选B.
(3)排列数公式 Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④n－n！m！. Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤n！，规定0！＝1.
2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个⑥不同的元素中取m(m≤n) 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组 合．
从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的 最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向
路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如题图，从E到 F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再 从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所 以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短 路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为 6×3＝18.
2．某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5 种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为
() A．3＋5 C．35
B．3×5 D．53
解析：根据题意，某人参加该项测试，第一关有3种测试 方案，即有3种测试方法，第二关有5种测试方案，即有5种测 试方法，则有3×5种不同的测试方法．
(2)组合数的定义：从n个⑦不同元素中取出m(m≤n)个元素 的⑧所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的组合数，用符号Cnm表示．
(3)组合数公式 Cnm＝⑨AAmnmm＝⑩nn－1n－m2！…n－m＋1＝⑪m！nn！－m！.
(4)组合数的性质 性质 1：Cnm＝⑫Cnn－m. 性质 2：Cnm＋1＝⑬Cmn －1＋Cnm(m≤n，n∈N*，m∈N*)．
答案：C
4.
如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落 导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点 脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种 C．13种 D．15种
解析：按照焊接点脱落的个数进行分类． 若脱落1个，则有(1)，(4)共2种； 若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共6 种； 若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种； 若脱落4个，有(1,2,3,4)共1种． 综上共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况． 答案：C
答案：B
3．如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其 中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电 路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共 有__________________种．
解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只 要有一个焊接点脱落，则电路就不能，故共有26－1＝63(种)可 能情况．
答案：10
悟·技法 1.分类加法计数原理的实质 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为 若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独 立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． 2．使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准， 都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
答案：C
第二节 排列与组合
【知识重温】
一、必记2个知识点 1．排列与排列数 (1)排列的定义：一般地，从n个①不同元素中取出m(m≤n) 个元素，按照一定的②顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ③所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，记为Anm.
答案：B
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共 有( )
A．50个 B．45个 C．36个 D．35个
解析：根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情 况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个， 4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意 的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
二、必明2个易误点 1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方 法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只 是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联 的．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)．
A
3 4
种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A
3 4
×2＝48(种)方
法；
第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A
3 4
种方法，再涂
点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．
由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂
法．
答案：B
悟·技法 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路